Άθροιση

Άθροισις

Summation

Πρόσθεση
Άθροισμα
Άθροιση

Πρόσθεση
Άθροισμα
Άθροιση

Πρόσθεση
Άθροισμα
Μαθηματική Σειρά

Πρόσθεση
Άθροισμα
Μαθηματική Σειρά

Διακριτά Μαθηματικά
Αριθμητική
Αριθμοθεωρία
Αριθμός
Μαθηματική Πράξη Τελεστής

Πρόσθεση
Αθροιστικός Τελεστής

Σύμβαση Άθροισης Einstein

Μαθηματικά
Γεωμετρία
Άλγεβρα
Μαθηματική Λογική
Μαθηματική Ανάλυση Διακριτά Μαθηματικά
Τοπολογία
Γραμμική Άλγεβρα
Στατιστική
Οικονομικά Μαθηματικά

Διακριτά Μαθηματικά
Αριθμητική
Αριθμοθεωρία
Αριθμός
Τελεστής

---

Αλγεβρικές Πράξεις
Πρόσθεση
Αφαίρεση
Πολλαπλασιασμός
Διαίρεση

---

Συνολοϊκές Πράξεις
Συνολοϊκή Ένωση
Συνολοϊκή Τομή

---

Λογικές Πράξεις
Σύζευξη (Conjunction)
Διάζευξη (Disjunction)
Άρνηση (Negation)

---

Ιδιότητες Πράξεων
Ανακλαστική Ιδιότητα
Μεταθετική Ιδιότητα
Προσεταιριστική Ιδιότητα
Επιμεριστική Ιδιότητα

Άθροιση

Άθροιση
Άθροισμα
Μαθηματική Σειρά

Η Άθροιση είναι η πρόσθεση ενός συνόλου αριθμών. Το αποτέλεσμα της είναι το άθροισμα. Οι "αριθμοί" προς πρόσθεση μπορεί να είναι φυσικοί αριθμοί, μιγαδικοί αριθμοί, πίνακες, ή ακόμη περιπλοκότερα αντικείμενα. Ένα άπειρο άθροισμα είναι μιά διαδικασία γνωστή ως σειρά.

Ετυμολογία

Η ονομασία "άθροιση" σχετίζεται ετυμολογικά με την λέξη "άθροισμα".

Συμβολισμός

Το άθροισμα των 1, 2 και 4 είναι 1 + 2 + 4 = 7.

Εφόσον η πρόσθεση ικανοποιεί την Επιμεριστική Ιδιότητα, δεν παίζει ρόλο αν ερμηνεύουμε το "1 + 2 + 4" ως (1 + 2) + 4 ή ως 1 + (2 + 4). Το αποτέλεσμα είναι το ίδιο, οπότε οι παρενθέσεις συνήθως παραλείπονται σε ένα άθροισμα.

Η πρόσθεση ικανοποιεί επίσης Αντιμεταθετική Ιδιότητα, οπότε η σειρά με την οποία γράφονται οι όροι δεν επηρεάζει το άθροισμα.

Εάν ένα άθροισμα έχει πολλούς όρους για να γραφούν όλοι διακριτά, το άθροισμα μπορει να γραφει με ένα σύμβολο αποσιωπητικών ώστε να σημειωθούν οι παραλειπόμενοι όροι. Κατά αυτό τον τρόπο, το άθροισμα όλων των φυσικών αριθμών από το 1 εώς το 100 είναι

1 + 2 + … + 99 + 100 = 5050.

Τα αθροίσματα μπορούν να αναπαρασταθούν με το σύμβολο της άθροισης, ένα κεφαλαίο σίγμα. Αυτό ορίζεται ως εξής:

$\sum_{i=m}^{i=n} x_i = x_m + x_{m+1} + x_{m+2} + \cdots + x_{n-1} + x_n$

Η υπόστιξη δίνει το σύμβολο για μιά μεταβλητή-δείκτη (dummy variable), το i. Εδώ, το i εκπροσωπεί τον δείκτη της άθροισης· - το m είναι το κάτω όριο της άθροισης, και - το n είναι το άνω όριο της άθροισης.

Επομένως, παράδειγμα:

$\sum_{x=2}^6 x^2 = 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2 = 90.$

Κάποιος συχνά βλέπει γενικεύσεις αυτού του συμβολισμού στην περίπτωση στην οποία παρέχεται μιά αυθαίρετη λογική συνθήκη, και το άθροισμα κρίνεται σκόπιμο να αναχθεί σε όλες τις τιμές που αντιπροσωπεύουν την συνθήκη. Για παράδειγμα, το:

$\sum_{0\le x< 100} f(x)$

είναι το άθροισμα της f(x) για όλους τους (ακέραιους) αριθμούς x στον συγκεκριμένο διάστημα, το

$\sum_{x\in S} f(x)$

είναι το άθροισμα της f(x) για όλους τους ακέραιους αριθμούς x σε ένα σύνολο S, και το

$\sum_{d|n}\;\mu(d)$

είναι το άθροισμα της μ(d) για όλους τους ακέραιους αριθμούς d που διαιρούν τον n.

Υπάρχουν επίσης τρόποι για την γενίκευση της χρήσης των διαφόρων συμβόλων σίγμα. Για παράδειγμα, το

$\sum_{\ell,\ell'}$

είναι το ίδιο με το

$\sum_\ell\sum_{\ell'}.$

Υπολογιστικός συμβολισμός

Τα αθροίσματα μπορούν επίσης να αναπαρασταθούν σε μια προγραμματιστική γλώσσα. Το

$\sum_{i=m}^{n} x_{i}$

υπολογίζεται από το ακόλουθο πρόγραμμα σε C / C++ / Javascript:

 sum=0;
 for(i=m; i<=n; i++)
     sum += x[i];

και το ακόλουθο πρόγραμμα σε Pascal:

 sum:=0;
 for i:=m to n do
     sum:=sum+x[i];

Ειδικές περιπτώσεις

Είναι δυνατό να προστεθούν λιγότεροι από 2 αριθμοί:

• Αν προστεθεί ο μόνος όρος x, τότε το άθροισμα είναι x.
• Αν προστεθούν μηδενικοί όροι, τότε το άθροισμα είναι μηδέν, αφού το μηδέν είναι ο ουδέτερος όρος (identity) για την πρόσθεση. Αυτό είναι γνωστό σαν το κενό άθροισμα.

Αυτές οι εκφυλισμένες περιπτώσεις συνήθως χρησιμοποιούνται μόνο όταν ο συμβολισμός της πρόσθεσης δίνει ένα εκφυλισμένο αποτέλεσμα σε μιά ειδική περίπτωση. Για παράδειγμα, αν m = n στον παραπάνω ορισμό, τότε υπάρχει μόνο ένας όρος στο άθροισμα· αν m = n + 1, τότε δεν υπάρχει κανένας.

Προσέγγιση με ορισμένα ολοκληρώματα

Πολλές τέτοιες προσεγγίσεις μπορούν να ανακτηθούν από την ακόλουθη σύνδεση μεταξύ αθροισμάτων και ολοκληρωμάτων, η οποία ισχύει για κάθε αύξουσα συνάρτηση f.

$\int_{s=a-1}^{b} f(s)\, ds \le \sum_{i=a}^{b} f(i) \le \int_{s=a}^{b+1} f(s)\, ds.$

Για πιό γενικές προσεγγίσεις, βλέπε Τύπος Euler-Maclaurin.

Για συναρτήσεις οι οποίες είναι ολοκληρώσιμες στο διάστημα $[a, b]$, το Ρημάνειο άθροισμα μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως προσέγγιση του ορισμένου ολοκληρώματος. Για παράδειγμα, ο ακόλουθος τύπος είναι το Ρημάνειο άθροισμα με ίση κατάτμηση του διαστήματος:

$\frac{b-a}{n}\sum_{i=0}^{n-1} f\left(a+i\frac{b-a}n\right)\approx \int_a^b f(x)\,dx.$

Η ακρίβεια μια τέτοιας προσέγγισης αυξάνει με τον αριθμό n των υποδιαστημάτων.

Ταυτότητες

Οι ακόλουθες είναι χρήσιμες ταυτότητες:

• $\sum_{i=1}^n x = nx$
• $\sum_{i=m}^n i = \frac{(n-m+1)(n+m)}{2}$
• $\sum_{i=0}^n i = \frac {n(n+1)}{2}$ (βλέπε αριθμητικές σειρές)
• $\sum_{i=0}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
• $\sum_{i=0}^n i^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$
• $\sum_{i=0}^n i^p = \frac{(n+1)^{p+1}}{p+1} + \sum_{k=1}^p\frac{B_k}{p-k+1}{p\choose k}(n+1)^{p-k+1}$

όπου $B_k$ είναι ο k-οστός αριθμός Bernoulli.

• $\sum_{i=m}^n x^i = \frac{x^{n+1}-x^{m}}{x-1}$ (βλέπε γεωμετρικές σειρές)
• $\sum_{i=0}^n x^i = \frac{1-x^{n+1}}{1-x}$ (ειδική περίπτωση της παραπάνω όπου m = 0)
• $\sum_{i=0}^n {n \choose i} = 2^n$ (βλέπε δυωνυμικός συντελεστής)
• $\sum_{i=0}^{n-1} {i \choose k} = {n \choose k+1}$
• $\left(\sum_i a_i\right)\left(\sum_j b_j\right) = \sum_i\sum_j a_ib_j$
• $\left(\sum_i a_i\right)^2 = 2\sum_i\sum_{j<i} a_ia_j + \sum_i a_i^2$

Ρυθμοί αύξησης

Οι ακόλουθες είναι χρήσιμες προσεγγίσεις (χρησιμοποιώντας συμβολισμό theta):

• $\sum_{i=1}^n i^c = \Theta(n^{c+1})$ για πραγματικό αριθμό c μεγαλύτερο του -1
• $\sum_{i=1}^n \frac{1}{i} = \Theta(\log n)$
• $\sum_{i=1}^n c^i = \Theta(c^n)$ για πραγματικό αριθμό c μεγαλύτερο του 1
• $\sum_{i=1}^n \log(i)^c = \Theta(n \cdot \log(n)^{c})$ για μη-αρνητικό πραγματικό αριθμό c
• $\sum_{i=1}^n \log(i)^c \cdot i^d = \Theta(n^{d+1} \cdot \log(n)^{c})$ για μη-αρνητικούς παραγματικούς αριθμούς c, d
• $\sum_{i=1}^n \log(i)^c \cdot i^d \cdot b^i = \Theta (n^d \cdot \log(n)^c \cdot b^n)$ για μη-αρνητικούς πραγματικούς αριθμούς b > 1, c, d

Εσωτερική Αρθρογραφία

• Μαθηματική Πράξη
• Γινόμενο

Ιστογραφία

• Ομώνυμο άρθρο στην Βικιπαίδεια
• Ομώνυμο άρθρο στην Livepedia
• [ ]
• [ ]

Κίνδυνοι Χρήσης

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη, την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει. "Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο, η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης" του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει." Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς, και για μακρά χρονική περίοδο, αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία, ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε. Επίσης, Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)" (όχι μόνον, της Sciencepedia αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)), αν και άκρως απαραίτητοι, είναι αδύνατον να ελεγχθούν (λόγω της ρευστής φύσης του Web), και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο. Ο αναγνώστης πρέπει να είναι εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

---

>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)

---