Science Wiki
Advertisement

Ακολουθία Fibonacci

Sequence


Sequence-01-goog

Ακολουθία

Sequence-Fibonacci-01-goog

Ακολουθία Fibonacci
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55...

Spiral-Fibonacci-01-goog

Σπείρα Fibonacci

- Μία Ακολουθία

Ετυμολογία[]

Η ονομασία "Ακολουθία" σχετίζεται ετυμολογικά με την λέξη "[[ ]]".

Ορισμός[]

Στα Μαθηματικά, οι Αριθμοί Fibonacci είναι οι αριθμοί της παρακάτω ακέραιης ακολουθίας:

Εξ ορισμού, οι πρώτοι δύο αριθμοί Fibonacci είναι το 0 και το 1, και κάθε επόμενος αριθμός είναι το άθροισμα των δύο προηγούμενων.

Σε μαθηματικούς όρους, η ακολουθία Fn των αριθμών Fibonacci ορίζεται από τον αναδρομικό τύπο:

με και . [1]

Εισαγωγή[]

Η Ακολουθία Fibonacci ονομάστηκε έτσι από τον Λεονάρντο της Πίζας, γνωστό και ως Fibonacci. Το βιβλίο του Fibonacci, το 1202, με τίτλο Liber Abaci, εισήγαγε την ακολουθία στα Μαθηματικά της Δυτικής Ευρώπης, αν και η ακολουθία είχε περιγραφεί πιο πριν από τους Ινδούς.[2][3][4] (Κατά μία πιο σύγχρονη σύμβαση, η ακολουθία εκκινεί με F0 = 0. Στο Liber Abaci, όμως, η ακολουθία εκκινεί με F1 = 1, παραλείποντας το αρχικό 0, κάτι που ακολουθείται από κάποιους ακόμη και σήμερα).

Οι Αριθμοί Fibonacci σχετίζονται με τους Αριθμούς Λούκας δεδομένου ότι είναι συμπληρωματικό ζεύγος της Ακολουθίας Λούκας, ενώ είναι άρρηκτα συνδεδεμένοι και με τη χρυσή αναλογία. Έχει αρκετές εφαρμογές σε υπολογιστικούς αλγόριθμους, όπως για παράδειγμα η τεχνική αναζήτησης Fibonacci και η δομή δεδομένων σωρός Fibonacci.

Επιπλέον υπάρχουν γραφικές παραστάσεις οι οποίες ονομάζονται κύβοι Fibonacci και χρησιμοποιούνται στις παράλληλες διασυνδέσεις και στα κατανεμημένα συστήματα.

Τέλος, οι Αριθμοί Fibonacci, εμφανίζονται και στη Βιολογία, όπως για παράδειγμα

  • η διακλάδωση στα δέντρα,
  • η διάταξη των φύλλων σε ένα στέλεχος,
  • τα στόμια του καρπού ενός ανανά,
  • η ανάπτυξη της αγκινάρας και
  • πολλά άλλα.

Ιστορία[]

Η Ακολουθία Fibonacci εμφανίζεται στα Μαθηματικά των Ινδών και συγκεκριμένα σε Σανσκριτικές Προσωδίες.[3] Στην Σανσκριτική προφορική παράδοση, δίνονταν μεγάλη έμφαση κατά πόσο οι μακρόσυρτες συλλαβές (Μ) συνέπιπταν με τις σύντομες (Σ), και μετρούσαν τα διαφορετικά πρότυπα των Μ και των Σ μέσα σε ένα προκαθορισμένο διάστημα, κάτι που οδήγησε στους αριθμούς Fibonacci. Ο αριθμός των προτύπων που γίνονται m σύντομες συλλαβές μακρόσυρτες είναι ο αριθμός Fibonacci Fm+1.[4]

Η ανάπτυξη τη ακολουθίας αποδίδεται στον Pingala (200 π.Χ.), αλλά η πρώτη ρητή αναφορά στην Ακολουθία γίνεται στα έργα του Virahanka (700 μ.Χ.), τα έργα του οποίου δεν σώζονται, αλλά μεταφέρθηκαν αυτούσια στα έργα του Gopala (1153 μ.Χ.).

Στη Δύση, οι αριθμοί Fibonacci εμφανίζονται για πρώτη φορά στο βιβλίο Liber Abaci (1202) του Λεονάρδου της Πίζας, γνωστού και ως Fibonacci.[5]

Ο Fibonacci λαμβάνει ως δεδομένο ένα ιδανικό πληθυσμό κουνελιών και κάνει τις εξής υποθέσεις: έχουμε ένα νεογέννητο ζεύγος κουνελιών (αρσενικό και θηλυκό) σε ένα αγρό, τα κουνέλια είναι σε θέση να αναπαραχθούν σε ηλικία ενός μήνα από τη γέννησή τους, έτσι ώστε στο τέλος του δεύτερου μήνα το θηλυκό να μπορεί να γεννήσει ένα ζεύγος κουνελιών, τα κουνέλια δεν πεθαίνουν ποτέ και κάθε ζεύγος κουνελιών γεννά ένα νέο ζεύγος (ένα αρσενικό και ένα θηλυκό) κάθε μήνα από τον δεύτερο μήνα και μετά.

Το ερώτημα που έθεσε ο Fibonacci ήταν: πόσα ζεύγη κουνελιών θα έχουν γεννηθεί μέσα σε ένα έτος;

  • Στο τέλος του πρώτου μήνα, ζευγαρώνουν, αλλά ακόμη υπάρχει μόνο ένα ζεύγος.
  • Στο τέλος του δεύτερου μήνα το θηλυκό γεννά ένα νέο ζεύγος, οπότε στον αγρό υπάρχουν δύο ζεύγη κουνελιών.
  • Στο τέλος του τρίτου μήνα, το πρώτο θηλυκό γεννά και δεύτερο ζεύγος, οπότε έχουμε τρία ζεύγη κουνελιών.
  • Στο τέλος του τέταρτου μήνα, το πρώτο θηλυκό γεννάει ακόμη ένα ζεύγος, το θηλυκό που γεννήθηκε δύο μήνες πριν γεννάει το πρώτο της ζεύγος, οπότε έχουμε πέντε ζεύγη κουνελιών στον αγρό.

Στο τέλος του νιοστού μήνα, το πλήθος των ζευγών των κουνελιών είναι ίσος με το πλήθος των νέων ζεύγων (n-2) προσθέτοντας το πλήθος ζευγών που υπήρχαν στον αγρό τον προηγούμενο μήνα (n-1). Αυτός είναι ο νιοστός αριθμός Fibonacci.[6]

Ο Leonardo de Pisa ή Fibonacci έζησε κοντά στην πόλη της Bejaia, η οποία αποτελούσε ένα σημαντικό εξαγωγέα κηρού την εποχή του Fibonacci (από εκεί προέρχεται και η Γαλλική εκδοχή του ονόματος της πόλης αυτής, “bougie”, που σημαίνει "κηρός" στα γαλλικά).

Μια πρόσφατη μαθηματικο-ιστορική ανάλυση της περιόδου και της περιοχής στην οποία έζησε ο Fibonacci προτείνει ότι στην πραγματικότητα οι μελισσοκόμοι της Bejaia και οι γνώσεις τους σχετικά με την αναπαραγωγή των μελισσών αποτέλεσαν την πηγή έμπνευσης της ακολουθίας Fibonacci και όχι το ευρύτερα ίσως γνωστό μοντέλο της αναπαραγωγής κουνελιών.[7].

Ο όρος «Ακολουθία Fibonacci» χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά τον 19ο αιώνα από τον Γάλλο μαθηματικό Εδουάρδο Λούκας. [8]

Λίστα των Αριθμών Fibonacci[]

Οι πρώτοι 21 αριθμοί Fibonacci Fn για n= 0, 1, 2, …, 20 είναι: [9]

F0 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 F11 F12 F13 F14 F15 F16 F17 F18 F19 F20
0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765

Υποσημειώσεις[]

  1. Lucas p. 3
  2. Susantha Goonatilake (1998). Toward a Global Science. Indiana University Press. σελ. 126. ISBN 9780253333889. http://books.google.com/?id=SI5ip95BbgEC&pg=PA126&dq=Virahanka+Fibonacci. 
  3. 3,0 3,1 Singh, Parmanand (1985). "The So-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India". Historia Mathematica 12 (3): 229–244. doi:10.1016/0315-0860(85)90021-7. 
  4. 4,0 4,1 Donald Knuth (2006). The Art of Computer Programming: Generating All Trees—History of Combinatorial Generation; Volume 4. Addison–Wesley. σελ. 50. ISBN 9780321335708. http://books.google.com/?id=56LNfE2QGtYC&pg=PA50&dq=rhythms. 
  5. Sigler, Laurence E. (trans.) (2002). Fibonacci's Liber Abaci. Springer-Verlag. ISBN 0-387-95419-8.  Chapter II.12, pp. 404–405.
  6. Knott, Ron. Fibonacci's Rabbits. University of Surrey Faculty of Engineering and Physical Sciences. http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html#Rabbits. 
  7. Scott, T.C.; Marketos, P. (March, 2014), On the Origin of the Fibonacci Sequence, MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews, http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Publications/fibonacci.pdf 
  8. Martin Gardner (1996). Mathematical Circus. The Mathematical Association of America. ISBN 0883855062.  p.133
  9. Η ιστοσελίδα [1] έχεις τους πρώτους 300 Fn και περισσότερες πληροφορίες.

Εσωτερική Αρθρογραφία[]

Βιβλιογραφία[]

Ιστογραφία[]


Κίνδυνοι Χρήσης

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες
σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια
ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι
η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη,
την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει.

"Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα
να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο,
η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης"
του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει."

Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι
όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς,
και για μακρά χρονική περίοδο,
αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία,
ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε.



Επίσης,
Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)"
(όχι μόνον, της Sciencepedia
αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)),
αν και άκρως απαραίτητοι,
είναι αδύνατον να ελεγχθούν
(λόγω της ρευστής φύσης του Web),
και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν
σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο.
Ο αναγνώστης πρέπει να είναι
εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

IonnKorr-System-00-goog



>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)


Advertisement