Αλγεβρική Ομάδα

Ομάς

Group

Αλγεβρική Ομάδα

Αλγεβρική Ομάδα

Αλγεβρική Ομάδα

Ομαδοθεωρία

---

Αλγεβρική Ομάδα
Γενική Γραμμική Ομάδα
Ορθογώνια Ομάδα
Μοναδιακή Ομάδα

---

Μαθηματική Αναπαράσταση
Μαθηματική Μήτρα

Μάγμα
Ημιομάδα
Μονοειδές Ομάδα

"Θεαματική" Απεικόνιση της Ομάδας E8

Ομαδιαία Δράση

Αλγεβρικό Μάγμα
Αλγεβρική Ομάδα

---

Ψευδομάδα (quasigroup)
Ημιομάδα (semigroup)

---

Βρόχος (Loop)
Μονοειδές (monoid)

Μετάταξη
Μαθηματική Ομάδα

Μάγμα
Ημιομάδα
Κατηγορία
Ομάδα

Ομάδα

Ομάδα
ουδετερότητα

Ομάδα
Ομαδιαίο Κέντρο

- Ένα Μαθηματικό Δόμημα.

Ετυμολογία

Η ονομασία "ομάδα" σχετίζεται ετυμολογικά με την λέξη "ομού".

Εισαγωγή

Μία ομάδα είναι ένα σύνολο στοιχείων, του οποίου η σύνθεση που υπόκειται σε ορισμένους κανόνες (νόμους).

Η έννοια της ομάδας αναγνωρίζεται ως μία από τις πλέον θεμελιώδεις στην επιστήμη των Μαθηματικών και τις εφαρμογές τους.

Ιστορική Αναδρομή

Ένα παράδειγμα ομάδας αποτελούν οι συμμετρίες ενός γεωμετρικού σχήματος. Ενώ όμως εκτενή μελέτη των συμμετριών έχουν πραγματοποιήσει τόσο οι αρχαίοι Αιγύπτιοι όσο και ο Ευκλέιδης, οι ομάδες αρχίζουν να αναγνωρίζονται ως μαθηματικές δομές μετά τον 18ο αιώνα.

Ένας από τους πρώτους μαθηματικούς που ασχολήθηκαν με τη μελέτη των ομάδων είναι ο Γάλλος Joseph-Louis Lagrange . Σημαντική επίσης συμβολή είχαν οι μαθηματικοί Augustin-Louis Cauchy, Niels Henrik Abel και Evariste Galois.

Αργότερα, ο Γερμανός μαθηματικός Felix Klein, τονίζοντας τη σημασία των ομάδων στα μαθηματικά, θεώρησε τη Γεωμετρία ως το σύνολο των ιδιοτήτων του χώρου που παραμένουν αναλλοίωτες μέσω των στοιχείων μιας ορισμένης ομάδας μετασχηματισμών.

Οικοδόμηση

Έστω Α ένα σύνολο διάφορο του κενού συνόλου
και εφοδιασμένο με μία Εσωτερική Πράξη $\ast$, δηλαδή:

$\ast :G\times G\rightarrow G$

Tότε αυτό το δόμημα $(G,\circ)$ καλείται :

• ημιομάδα, αν η πράξη είναι προσεταιριστική, δηλαδή αν ισχύει

$a\ast (b\ast c)=(a\ast b)\ast c\qquad \forall a,b,c\in G$

• Μονοειδές, αν είναι ημιομάδα και επιπλέον η πράξη έχει ουδέτερο στοιχείο, δηλαδή αν ισχύουν οι εξής δύο συνθήκες:

$a\ast (b\ast c)=(a\ast b)\ast c\qquad \forall a,b,c\in G$

υπάρχει στοιχείο του Α, το οποίο συμβολίζουμε με e και καλούμε ουδέτερο στοιχείο ,τέτοιο ώστε

$\qquad a\ast e=e\ast a=a,\qquad \forall a\in G$

• ομάδα, αν είναι μονοειδές και κάθε στοιχείο $a \in G$ έχει αντίστροφο, δηλαδή αν ισχύουν οι ακόλουθες συνθήκες:

$a\circ (b\ast c)=(a\ast b)\ast c\qquad \forall a,b,c\in G$

υπάρχει στοιχείο του G, το οποίο συμβολίζουμε με e και καλούμε ουδέτερο στοιχείο, τέτοιο ώστε

$\qquad a\circ e=e\ast a=a,\qquad \forall a\in G$

για κάθε $a \in A$ υπάρχει στοιχείο του G,το οποίο συμβολίζουμε με $a^{-1}$ και καλούμε αντίστροφο του α, τέτοιο ώστε:

$a^{-1}\ast a=a\ast a^{-1}=e\qquad \forall a\in G$

Ταξινομία

Διακρίνουμε δύο βασικά είδη ως προς τις πράξεις:

Προσθετική Ομάδα (των Αριθμών)

${\begin{matrix}\ll +\gg \;\colon G\times G\to G\\\forall x,y\in G:x+y\in G\\\forall x,y,z\in G:(x+y)+z=x+(y+z)\\\exists 0\in G\;\forall x\in G:0+x=x+0=x\\\end{matrix}}$

και Πολλαπλασιαστική Ομάδα (των μη-μηδενικών Αριθμών)

${\begin{matrix}\ll \cdot \gg \;\colon G\times G\to G\\\forall x,y\in G:x\cdot y\in G\\\forall x,y,z\in G:(x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)\\\exists 1\in G\;\forall x\in G:1\cdot x=x\cdot 1=x\\\end{matrix}}$

Σύνοψη

${\begin{matrix}\ll \ast \gg \;\colon G\times G\to G\\a\ast b\in G\;|\;\forall a,b\in G\;{\text{(closure)}}\\(a\ast b)\ast c=a\ast (b\ast c)\;|\;\forall a,b,c\in G\;{\text{(associativity)}}\\\exists \;e\in G,\;e\ast a=a\ast e=a\;|\;\forall a\in G\;{\text{(neutrobility)}}\\\exists \;a^{-1}\in G,\;a^{-1}\ast a=a\ast a^{-1}=e\;|\;\forall a\in G\;{\text{(invertibility)}}\end{matrix}}$

Μάγμα

${\begin{matrix}\ll \ast \gg \;\colon G\times G\to G\\a\ast b\in G\;|\;\forall a,b\in G\;{\text{(closure)}}\\\end{matrix}}$

Αβελιανή Ομάδα

Επιπλέον μια ομάδα καλείται αβελιανή ή αντιμεταθετική, αν ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα:

$a\ast b=b\ast a\qquad \forall a,b\in G$

Παραδείγματα

1) Η ομάδα τάξης 1, που αποτελείται από ένα μόνο στοιχείο, την μονάδα, με πράξη εσωτερικής συνθέσεως τον πολλαπλασιασμό.

$G=\{1\}$

2) Η ομάδα τάξεως 2, που αποτελείται από τους πραγματικούς αριθμούς {1, -1,} με πράξη εσωτερικής συνθέσεως τον πολλαπλασιασμό.

$G=\{1,-1\}$

3) Η ομάδα τάξεως 3, που αποτελείται από τους αριθμούς, οι οποίοι αποτελούν τις κυβικές ρίζες της μονάδας, με πράξη εσωτερικής συνθέσεως τον πολλαπλασιασμό.

$G=\{1,\;e^{2\pi i/3},\;e^{4\pi i/3}\}$

4) Η ομάδα τάξεως 4, που αποτελείται από τους μιγαδικούς αριθμούς {1,i,-1,-i}, με $i^2$ =-1, και με πράξη εσωτερικής συνθέσεως τον πολλαπλασιασμό.

$G=\{1,-1,i,-i\}$

5) Η διακεκριμένη άπειρη ομάδα των Ακεραίων Αριθμών με πράξη την πρόσθεση.

$G=({\mathbb {Z}},+)$

Εσωτερική Αρθρογραφία

• Ομαδοθεωρία
• Μαθηματική Μήτρα
• Προσθετική Ομάδα
• Πολλαπλασιαστική Ομάδα
• Συμμετρική Ομάδα
• Κυκλική Ομάδα
• τετραδική Ομάδα Klein ( = Klein four-group)
• Ομάδα Poincare
• Ομάδα Grothendieck
• Εναλλασσόμενη Ομάδα (Alternating group)
• Ομάδα Chow
• Αλγεβρική Θεμελιώδης Ομάδα
• Τοπολογική Θεμελιώδης Ομάδα
• isometry group
• diffeomorphism group or
• homeomorphism group.

Ιστογραφία

• Ομώνυμο άρθρο στην Βικιπαίδεια
• Ομώνυμο άρθρο στην Livepedia
• physics.upatras.gr
• opinionator.blogs.nytimes.com
• "Introduction to Group Theory for Physicists", Marina von Steinkirch
• docplayer.gr
• Introduction to Algebraic Structures
• vvedensky
• go.owu.edu
• Groups and Rotations
• groupprops.subwiki.org
• Groups-Representations-Invariance-Equivariance-εφαρμογές, towardsdatascience.com
• συνοπτικά users.auth.gr

Κίνδυνοι Χρήσης

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη, την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει. "Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο, η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης" του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει." Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς, και για μακρά χρονική περίοδο, αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία, ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε. Επίσης, Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)" (όχι μόνον, της Sciencepedia αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)), αν και άκρως απαραίτητοι, είναι αδύνατον να ελεγχθούν (λόγω της ρευστής φύσης του Web), και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο. Ο αναγνώστης πρέπει να είναι εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

---

>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)

---