Αλγεβρική Τοπολογία

Αλγεβρική Τοπολογία

Algebraic Topology

Αλγεβρική Τοπολογία

- Ένας Επιστημονικός Κλάδος των Μαθηματικών

Ετυμολογία

Η ονομασία "Τοπολογία" σχετίζεται ετυμολογικά με την λέξη "τόπος".

Εισαγωγή

Η αλγεβρική τοπολογία είναι ένας κλάδος των μαθηματικών ο οποίος χρησιμοποιεί εργαλεία από την Αφηρημένη Άλγεβρα για τη μελέτη τοπολογικών χώρων.

Βασικός στόχος της είναι η εύρεση αναλλοίωτων αλγεβρικών στοιχείων τα οποία ταξινομούν τους τοπολογικούς χώρους μέχρι και τον ομοιομορφισμό, αν και τα περισσότερα στοιχεία συνήθως ταξινομούν μέχρι και την ισοδυναμία ομοτοπίας.

Παρά το γεγονός ότι η αλγεβρική τοπολογία χρησιμοποιεί κυρίως την άλγεβρα για την μελέτη των τοπολογικών προβλημάτων, είναι μερικές φορές δυνατή και η χρησιμοποίηση της τοπολογίας.

Παραδείγματος χάριν, η αλγεβρική τοπολογία επιτρέπει την εύκολη απόδειξη ότι οποιαδήποτε υποομάδα μιας ελεύθερης ομάδας αποτελεί με την σειρά της μια ελεύθερη ομάδα.

Algebraic topology is a branch of mathematics that uses tools from abstract algebra to study topological spaces.

Loosely speaking, algebraic topology is a systematic way of searching for holes in manifolds and of measuring the properties of various shapes.

The basic goal is to find algebraic invariants that classify topological spaces up to homeomorphism, though usually most classify up to homotopy equivalence.

Although algebraic topology primarily uses algebra to study topological problems, using topology to solve algebraic problems is sometimes also possible.

Algebraic topology, for example, allows for a convenient proof that any subgroup of a free group is again a free group.

Μόδιοι (Modules)

(α) Μόδιοι

• Μόδιος, υπομόδιος και πηλικομόδιος.
• Πεπερασμένως παραγόμενος μόδιος.
• Ομομορφισμοί μοδίων.
• Ακριβείς ακολουθίες μοδίων.

(β) Ελεύθεροι Μόδιοι

• Ελεύθερος μόδιος,
• βάσεις μοδίων.
• Μόδιος με στρέψη και χωρίς στρέψη.
• Προβολικος και εμβολικος μόδιος.

Πλειογραμμική Άλγεβρα

• Πλειογραμμική Απεικονίση.
• τανυστικό γινόμενο μοδίων μέσω καθολικής συνθήκης.
• Ισόπεδος Μόδιος.

Ομολογία και Συνομολογία Αλυσσωτών Συμπλόκων

(α) Αλυσσωτά Σύπλοκα

• Αλυσσωτό Σύμπλοκο.
• Αλυσσωτός Μετασχηματισμός
• Κύκλημα, σύνορο και ομολογία.
• Αλυσσωτή Ομοτοπία συμπλόκων.
• ∆υϊκός ορισμός τής συνομολογίας.

(β) Ακολουθίες

• Λήμμα του Όφεως.
• Μακρά ακριβής ακολουθία.
• Ακολουθία Mayer-Vietoris.

Θεωρία Κατηγοριών

(α) Κατηγορίες

• Αντικείμενα.
• Τελικά και αρχικά αντικείμενα.
• Μορφισμοί.
• Μονικοί και επικοί μορφισμοί.
• Υποκατηγορίες.
• Πλήρεις υποκατηγορίες.

(β) Συναρτητές μεταξύ κατηγοριών.

• Συναλλοίωτοι και ανταλλοίωτοι συναρτητές.
• Επιλήσμων συναρτητής,
• ελεύθερος συναρτητής,
• δυϊκός συναρτητής,
• συναρτητής δημιουργούμενος κατόπιν αβελιανοποιήσεως,
• ταυτοτικός συναρτητής,
• συναρτητής ενθέσεως,
• συναρτητής τανυστικού γινομένου,
• Hom-συναρτητής,
• σύνθεση συναρτητών
• Προσθετικοί συναρτητές.
• Ακριβείς συναρτητές.

(γ) Φυσικοί μετασχηματισμοί μεταξύ συναρτητών.

Ομολογική Άλγεβρα

(α) Κερματισμοί R-μοδίων.

• Ύπαρξη ελευθέρων κερματισμών.
• Θεώρημα Σύγκρισης (ή «Θεμελιώδες Λήμμα» τής Ομολογικής Άλγεβρας).
• (β) Συναρτητές Tor και Ext (στρέψεως και επεκτάσεως).

(γ) Αλγεβρικά θεωρήματα συντελεστών

• αλγεβρικό θεώρημα Künneth.

(δ) Αντίστοιχα θεωρήματα για τη συνομολογία.

Τοπολογία

(α) Τοπολογικοί χώροι και υπόχωροι.

• Ομοιομορφισμοί μεταξύ τοπολογικών χώρων.
• Ταυτισμική τοπολογία,
• άθροισμα και γινόμενο τοπολογικών χώρων.

(β) Συμπάγεια, συνεκτικότητα και δρομοσυνεκτικότητα.

(γ) Ομοτοπία.

• Παραμορφωτικές συμπτύξεις.
• Συσταλτοί τοπολογικοί χώροι.

Τα αξιώματα των Eilenberg και Steenrod

(α) Τα αξιώματα που καθορίζουν θεωρίες ομολογίας και συνομολογίας.

Θεωρία ιδιάζουσας ομολογίας

(α) Κυρτά σύνολα και μονόπλοκα.

• Ιδιάζοντα μονόπλοκα και
• ιδιάζουσες αλυσσίδες.
• ιδιάζουσα ομολογία για τοπολογικούς χώρους και ζεύγη τοπολογικών χώρων.

(β) Απόδειξη για το ότι η ιδιάζουσα ομολογία πληρεί τα αξιώματα των Eilenberg και Steenrod.

(γ) Υπολογισμοί μέσω ιδιάζουσας ομολογίας.

• Θεώρημα σταθερού σημείου τού Brouwer.

(δ) Συσχετισμός πρώτης ομάδας ομοτοπίας και πρώτης ομάδας ιδιάζουσας ομολογίας ενός δρομοσυνεκτικού τοπολογικού χώρου.

(ε) Τοπολογικό Καθολικό Θεώρημα Συντελεστών και τοπολογικό θεώρημα Kunneth.

Θεωρία Μονοπλεκτικής Ομολογίας

• Προσανατολισμένα μονόπλοκα.
• Μονοπλεκτικά συμπλέγματα και τριγωνισμοί.
• Μονοπλεκτική Ομολογία
• Απόδειξη του τύπου των Euler και Poincaré, και του θεωρήματος των Borsuk-Ulam μέσω μονοπλεκτικής ομολογίας.
• Συσχετισμός ιδιάζουσας και μονοπλεκτικής ομολογίας.

Τομείς

Βασικές έννοιες από τη Γενική Τοπολογία

• Συμπαγής Ανοικτή Τοπολογία

• Η GL(n) ως Ομάδα Lie

• Cell complexes

• Πραγματικός Προβολικός Χώρος

• Μιγαδικός Προβολικός Χώρος

Ομοτοπία

• Rectracts-Παραμορφώσεις

• Ιδιότητα Ομοτοπικής επέκτασης

• Στοιχεία Ομοτοπικών ομάδων
• Καλυπτικός χώρος του κύκλου
• Πρωταρχική ομάδα του κύκλου

• Θεώρημα Scheifert-Van Kampen

• Πρωταρχικές ομάδες προσανατολισμένων επιφανειών

• Ταξινόμηση καλυπτικών χώρων

• Singular ομολογία
• Singular αλυσίδες,
• συνοριακός τελεστής

• Singular ομολογιακές ομάδες

• Ελαττωμένη ομολογία
• Αλυσιδωτή ομοτοπία
• Ακριβείς ακολουθίες
• Συνδετικός ομομορφισμός
• Ακολουθία Meyer-Vietoris

• Ομομορφισμός Hurewitz

• Θεώρημα Borsuk-Ulam για το επίπεδο

• Θεώρημα Brower

• Βαθμός Brower , Hopf

• Διανυσματικά πεδία

• Διαιρετικές άλγεβρες

• Σχετική ομολογία,
• Εκτομή

• Κελυφωτή ομολογία

• Ομολογία πραγματικού και μιγαδικού χώρου

θεματολογία

• Πολύεδρο,
• γεωμετρικά σύμπλοκα.
• Προσανατολισμός.
• Aλυσσίδες, κύκλοι, σύνορα.
• Oμάδες ομολογίας.
• θεώρημα Euler-Poincare.
• Συνεχείς απεικονίσεις.
• Προσέγγιση από απεικονίσεις συμπλόκων
• επαγόμενος ομομορφισμός στην ομολογία.
• Tο θεώρημα σταθερού σημείου του Brouwer.

• Oμοτοπικοί δρόμοι.
• Θεμελιώδης Ομάδα.
• Σχέση μεταξύ ομολογίας και θεμελιώδους ομάδας.
• Kαλυπτικές προβολές,
• ανώτερες ομάδες ομοτοπίας,
• σχετική ομολογία,
• ακριβείς ακολουθίες.

Εσωτερική Αρθρογραφία

• Μόδιος
• Τοπολογία
• Απεικόνιση Hopf

Ιστογραφία

• Ομώνυμο άρθρο στην Βικιπαίδεια
• Ομώνυμο άρθρο στην Livepedia
• math.uoc.gr
• Τοπολογία Π. Παπάζογλου
• Τοπολογία Μαρμαρίδη
• Τοπολογία Κάππου
• Κωνσταντίνου Παν. Κούλη

Κίνδυνοι Χρήσης

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη, την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει. "Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο, η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης" του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει." Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς, και για μακρά χρονική περίοδο, αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία, ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε. Επίσης, Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)" (όχι μόνον, της Sciencepedia αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)), αν και άκρως απαραίτητοι, είναι αδύνατον να ελεγχθούν (λόγω της ρευστής φύσης του Web), και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο. Ο αναγνώστης πρέπει να είναι εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

---

>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)

---