Αλγεβρική Τοπολογία

Algebraic Topology


Αλγεβρική Τοπολογία

- Επιστημονικός Κλάδος των Μαθηματικών

Ετυμολογία[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η ονομασία "Τοπολογία" σχετίζεται ετυμολογικά με την λέξη "τόπος".

Εισαγωγή[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Algebraic topology is a branch of mathematics that uses tools from abstract algebra to study topological spaces.


Loosely speaking, algebraic topology is a systematic way of searching for holes in manifolds and of measuring the properties of various shapes.

The basic goal is to find algebraic invariants that classify topological spaces up to homeomorphism, though usually most classify up to homotopy equivalence.

Although algebraic topology primarily uses algebra to study topological problems, using topology to solve algebraic problems is sometimes also possible.

Algebraic topology, for example, allows for a convenient proof that any subgroup of a free group is again a free group.

Μόδιοι (Modules)[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

(α) Μόδιοι

  • Μόδιος, υπομόδιος και πηλικομόδιος.
  • Πεπερασμένως παραγόμενος μόδιος.
  • Ομομορφισμοί μοδίων.
  • Ακριβείς ακολουθίες μοδίων.

(β) Ελεύθεροι Μόδιοι

  • Ελεύθερος μόδιος,
  • βάσεις μοδίων.
  • Μόδιος με στρέψη και χωρίς στρέψη.
  • Προβολικος και εμβολικος μόδιος.

Πλειογραμμική Άλγεβρα[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ομολογία και Συνομολογία Αλυσσωτών Συμπλόκων[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

(α) Αλυσσωτά Σύπλοκα

(β) Ακολουθίες

  • Λήμμα του Όφεως.
  • Μακρά ακριβής ακολουθία.
  • Ακολουθία Mayer-Vietoris.

Θεωρία Κατηγοριών[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

(α) Κατηγορίες

  • Αντικείμενα.
  • Τελικά και αρχικά αντικείμενα.
  • Μορφισμοί.
  • Μονικοί και επικοί μορφισμοί.
  • Υποκατηγορίες.
  • Πλήρεις υποκατηγορίες.

(β) Συναρτητές μεταξύ κατηγοριών.

  • Συναλλοίωτοι και ανταλλοίωτοι συναρτητές.
  • Επιλήσμων συναρτητής,
  • ελεύθερος συναρτητής,
  • δυϊκός συναρτητής,
  • συναρτητής δημιουργούμενος κατόπιν αβελιανοποιήσεως,
  • ταυτοτικός συναρτητής,
  • συναρτητής ενθέσεως,
  • συναρτητής τανυστικού γινομένου,
  • Hom-συναρτητής,
  • σύνθεση συναρτητών
  • Προσθετικοί συναρτητές.
  • Ακριβείς συναρτητές.

(γ) Φυσικοί μετασχηματισμοί μεταξύ συναρτητών.

Ομολογική Άλγεβρα[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

(α) Κερματισμοί R-μοδίων.

  • Ύπαρξη ελευθέρων κερματισμών.
  • Θεώρημα Σύγκρισης (ή «Θεμελιώδες Λήμμα» τής Ομολογικής Άλγεβρας).
  • (β) Συναρτητές Tor και Ext (στρέψεως και επεκτάσεως).

(γ) Αλγεβρικά θεωρήματα συντελεστών

  • αλγεβρικό θεώρημα Künneth.

(δ) Αντίστοιχα θεωρήματα για τη συνομολογία.

Τοπολογία[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

(α) Τοπολογικοί χώροι και υπόχωροι.

  • Ομοιομορφισμοί μεταξύ τοπολογικών χώρων. *Ταυτισμική τοπολογία,
  • άθροισμα και γινόμενο τοπολογικών χώρων.

(β) Συμπάγεια, συνεκτικότητα και δρομοσυνεκτικότητα.

(γ) Ομοτοπία.

  • Παραμορφωτικές συμπτύξεις.
  • Συσταλτοί τοπολογικοί χώροι.

Τα αξιώματα των Eilenberg και Steenrod[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

(α) Τα αξιώματα που καθορίζουν θεωρίες ομολογίας και συνομολογίας.

Θεωρία ιδιάζουσας ομολογίας[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

(α) Κυρτά σύνολα και μονόπλοκα.

  • Ιδιάζοντα μονόπλοκα και
  • ιδιάζουσες αλυσσίδες.
  • ιδιάζουσα ομολογία για τοπολογικούς χώρους και ζεύγη τοπολογικών χώρων.

(β) Απόδειξη για το ότι η ιδιάζουσα ομολογία πληροί τα αξιώματα των Eilenberg και Steenrod.

(γ) Υπολογισμοί μέσω ιδιάζουσας ομολογίας.

  • Θεώρημα σταθερού σημείου τού Brouwer.

(δ) Συσχετισμός πρώτης ομάδας ομοτοπίας και πρώτης ομάδας ιδιάζουσας ομολογίας ενός δρομοσυνεκτικού τοπολογικού χώρου.

(ε) Τοπολογικό Καθολικό Θεώρημα Συντελεστών και τοπολογικό θεώρημα Kunneth.

Θεωρία Μονοπλεκτικής Ομολογίας[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Προσανατολισμένα μονόπλοκα.
  • Μονοπλεκτικά συμπλέγματα και τριγωνισμοί.
  • Μονοπλεκτική Ομολογία
  • Απόδειξη του τύπου των Euler και Poincaré, και του θεωρήματος των Borsuk-Ulam μέσω μονοπλεκτικής ομολογίας.
  • Συσχετισμός ιδιάζουσας και μονοπλεκτικής ομολογίας.

Τομείς[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Βασικές έννοιες από τη Γενική Τοπολογία[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Cell complexes

Ομοτοπία[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Rectracts-Παραμορφώσεις
  • Ιδιότητα Ομοτοπικής επέκτασης
  • Στοιχεία Ομοτοπικών ομάδων
  • Καλυπτικός χώρος του κύκλου
  • Πρωταρχική ομάδα του κύκλου
  • Πρωταρχικές ομάδες προσανατολισμένων επιφανειών
  • Ταξινόμηση καλυπτικών χώρων
  • Singular ομολογία
  • Singular αλυσίδες,
  • συνοριακός τελεστής
  • Singular ομολογιακές ομάδες
  • Βαθμός Brower , Hopf
  • Διανυσματικά πεδία
  • Διαιρετικές άλγεβρες
  • Σχετική ομολογία,
  • Εκτομή
  • Κελυφωτή ομολογία
  • Ομολογία πραγματικού και μιγαδικού χώρου

θεματολογία[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Πολύεδρο,
  • γεωμετρικά σύμπλοκα.
  • Προσανατολισμός.
  • Aλυσσίδες, κύκλοι, σύνορα.
  • Oμάδες ομολογίας.
  • θεώρημα Euler-Poincare.
  • Συνεχείς απεικονίσεις.
  • Προσέγγιση από απεικονίσεις συμπλόκων
  • επαγόμενος ομομορφισμός στην ομολογία.
  • Tο θεώρημα σταθερού σημείου του Brouwer.
  • Oμοτοπικοί δρόμοι.
  • Θεμελιώδης Ομάδα.
  • Σχέση μεταξύ ομολογίας και θεμελιώδους ομάδας.
  • Kαλυπτικές προβολές,
  • ανώτερες ομάδες ομοτοπίας,
  • σχετική ομολογία,
  • ακριβείς ακολουθίες.

Υποσημειώσεις[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Εσωτερική Αρθρογραφία[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Βιβλιογραφία[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ιστογραφία[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]


Ikl.jpg Κίνδυνοι ΧρήσηςIkl.jpg

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες
σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια
ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι
η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη,
την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει.

"Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα
να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο,
η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης"
του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει."

Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι
όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς,
και για μακρά χρονική περίοδο,
αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία,
ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε.



Επίσης,
Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)"
(όχι μόνον, της Sciencepedia
αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)),
αν και άκρως απαραίτητοι,
είναι αδύνατον να ελεγχθούν
(λόγω της ρευστής φύσης του Web),
και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν
σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο.
Ο αναγνώστης πρέπει να είναι
εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

IonnKorr-System-00-goog.png



>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)


Community content is available under CC-BY-SA unless otherwise noted.