Αναδελτική Αναπαράσταση

Αναδελτική Αναπαράσταση

Nabla Representation , Del Representation,

Ανάδελτα
Εφαπτομένη
Εφαπτόμενο Διάνυσμα
Εφαπτομενικός Χώρος
Διαφορικός Τελεστής
Παράγωγος
Διαφορική Γεωμετρία

Είναι η αναπαράσταση του τελεστή ανάδελτα σε ένα σύστημα συντεταγμένων.

Ετυμολογία

Η ονομασία " Αναδελτική" σχετίζεται ετυμολογικά με την λέξη " Ανάδελτα".

Συστήματα Συντεταγμένων

Εφόσον θεωρήσουμε τρισδιάστατο Ευκλείδειο Χώρο, τότε έχουμε τρείς συνήθεις αναπαραστάσεις, ως προς τα χρησιμοποιούμενα συστήματα συντεταγμένων:

• Καρτεσιανό Σύστημα
• Κυλινδρικό Σύστημα
• Σφαιρικό Σύστημα

Πίνακας Αναδελτικών Αναπαραστάσεων

Operation	Καρτεσιανό Σύστημα (x,y,z)	Κυλινδρικό Σύστημα (ρ,φ,z)	Σφαιρικό Σύστημα (r,θ,φ)
Definition of coordinates		$\left[{\begin{matrix}x&=&\rho \cos \phi \\y&=&\rho \sin \phi \\z&=&z\end{matrix}}\right.$	$\left[{\begin{matrix}x&=&r\sin \theta \cos \phi \\y&=&r\sin \theta \sin \phi \\z&=&r\cos \theta \end{matrix}}\right.$
		$\left[{\begin{matrix}\rho &=&{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\phi &=&\operatorname {atan2} (y,x)\\z&=&z\end{matrix}}\right.$	$\left[{\begin{matrix}r&=&{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\\theta &=&\arccos(z/r)\\\phi &=&\operatorname {atan2} (y,x)\end{matrix}}\right.$
$\mathbf {A}$	$A_{x}\mathbf {\hat {x}} +A_{y}\mathbf {\hat {y}} +A_{z}\mathbf {\hat {z}}$	$A_{\rho }{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+A_{\phi }{\boldsymbol {\hat {\phi }}}+A_{z}{\boldsymbol {\hat {z}}}$	$A_{r}{\boldsymbol {\hat {r}}}+A_{\theta }{\boldsymbol {\hat {\theta }}}+A_{\phi }{\boldsymbol {\hat {\phi }}}$
$\nabla f$	${\partial f \over \partial x}\mathbf {\hat {x}} +{\partial f \over \partial y}\mathbf {\hat {y}} +{\partial f \over \partial z}\mathbf {\hat {z}}$	${\partial f \over \partial \rho }{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+{1 \over \rho }{\partial f \over \partial \phi }{\boldsymbol {\hat {\phi }}}+{\partial f \over \partial z}{\boldsymbol {\hat {z}}}$	${\partial f \over \partial r}{\boldsymbol {\hat {r}}}+{1 \over r}{\partial f \over \partial \theta }{\boldsymbol {\hat {\theta }}}+{1 \over r\sin \theta }{\partial f \over \partial \phi }{\boldsymbol {\hat {\phi }}}$
$\nabla \cdot \mathbf {A}$	${\partial A_{x} \over \partial x}+{\partial A_{y} \over \partial y}+{\partial A_{z} \over \partial z}$	${1 \over \rho }{\partial (\rho A_{\rho }) \over \partial \rho }+{1 \over \rho }{\partial A_{\phi } \over \partial \phi }+{\partial A_{z} \over \partial z}$	${1 \over r^{2}}{\partial (r^{2}A_{r}) \over \partial r}+{1 \over r\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }(A_{\theta }\sin \theta )+{1 \over r\sin \theta }{\partial A_{\phi } \over \partial \phi }$
$\nabla \times \mathbf {A}$	${\begin{matrix}({\partial A_{z} \over \partial y}-{\partial A_{y} \over \partial z})\mathbf {\hat {x}} &+\\({\partial A_{x} \over \partial z}-{\partial A_{z} \over \partial x})\mathbf {\hat {y}} &+\\({\partial A_{y} \over \partial x}-{\partial A_{x} \over \partial y})\mathbf {\hat {z}} &\ \end{matrix}}$	${\begin{matrix}({1 \over \rho }{\partial A_{z} \over \partial \phi }-{\partial A_{\phi } \over \partial z}){\boldsymbol {\hat {\rho }}}&+\\({\partial A_{\rho } \over \partial z}-{\partial A_{z} \over \partial \rho }){\boldsymbol {\hat {\phi }}}&+\\{1 \over \rho }({\partial (\rho A_{\phi }) \over \partial \rho }-{\partial A_{\rho } \over \partial \phi }){\boldsymbol {\hat {z}}}&\ \end{matrix}}$	${\begin{matrix}{1 \over r\sin \theta }({\partial \over \partial \theta }(A_{\phi }\sin \theta )-{\partial A_{\theta } \over \partial \phi }){\boldsymbol {\hat {r}}}&+\\{1 \over r}({1 \over \sin \theta }{\partial A_{r} \over \partial \phi }-{\partial \over \partial r}(rA_{\phi })){\boldsymbol {\hat {\theta }}}&+\\{1 \over r}({\partial \over \partial r}(rA_{\theta })-{\partial A_{r} \over \partial \theta }){\boldsymbol {\hat {\phi }}}&\ \end{matrix}}$
$\Delta f=\nabla ^{2}f$	${\partial ^{2}f \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}$	${1 \over \rho }{\partial \over \partial \rho }(\rho {\partial f \over \partial \rho })+{1 \over \rho ^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \phi ^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}$	${1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}(r^{2}{\partial f \over \partial r})+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta })+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \phi ^{2}}$
$\Delta \mathbf {A} =\nabla ^{2}\mathbf {A}$	$\Delta A_{x}\mathbf {\hat {x}} +\Delta A_{y}\mathbf {\hat {y}} +\Delta A_{z}\mathbf {\hat {z}}$	${\begin{matrix}(\Delta A_{\rho }-{A_{\rho } \over \rho ^{2}}-{2 \over \rho ^{2}}{\partial A_{\phi } \over \partial \phi }){\boldsymbol {\hat {\rho }}}&+\\(\Delta A_{\phi }-{A_{\phi } \over \rho ^{2}}+{2 \over \rho ^{2}}{\partial A_{\rho } \over \partial \phi }){\boldsymbol {\hat {\phi }}}&+\\(\Delta A_{z}){\boldsymbol {\hat {z}}}&\ \end{matrix}}$	${\begin{matrix}(\Delta A_{r}-{2A_{r} \over r^{2}}-{2A_{\theta }\cos \theta \over r^{2}\sin \theta }-{2 \over r^{2}}{\partial A_{\theta } \over \partial \theta }-{2 \over r^{2}\sin \theta }{\partial A_{\phi } \over \partial \phi }){\boldsymbol {\hat {r}}}&+\\(\Delta A_{\theta }-{A_{\theta } \over r^{2}\sin ^{2}\theta }+{2 \over r^{2}}{\partial A_{r} \over \partial \theta }-{2\cos \theta \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial A_{\phi } \over \partial \phi }){\boldsymbol {\hat {\theta }}}&+\\(\Delta A_{\phi }-{A_{\phi } \over r^{2}\sin ^{2}\theta }+{2 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial A_{r} \over \partial \phi }+{2\cos \theta \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial A_{\theta } \over \partial \phi }){\boldsymbol {\hat {\phi }}}&\end{matrix}}$
Differential displacement	$d\mathbf {r} =dx\mathbf {\hat {x}} +dy\mathbf {\hat {y}} +dz\mathbf {\hat {z}}$	$d\mathbf {r} =d\rho {\boldsymbol {\hat {\rho }}}+\rho d\phi {\boldsymbol {\hat {\phi }}}+dz{\boldsymbol {\hat {z}}}$	$d\mathbf {r} =dr\mathbf {\hat {r}} +rd\theta {\boldsymbol {\hat {\theta }}}+r\sin \theta d\phi {\boldsymbol {\hat {\phi }}}$
Differential normal area	${\begin{matrix}d\mathbf {S} =&dydz\mathbf {\hat {x}} +\\&dxdz\mathbf {\hat {y}} +\\&dxdy\mathbf {\hat {z}} \end{matrix}}$	${\begin{matrix}d\mathbf {S} =&\rho d\phi dz{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+\\&d\rho dz{\boldsymbol {\hat {\phi }}}+\\&\rho d\rho d\phi \mathbf {\hat {z}} \end{matrix}}$	${\begin{matrix}d\mathbf {S} =&r^{2}\sin \theta d\theta d\phi \mathbf {\hat {r}} +\\&r\sin \theta drd\phi {\boldsymbol {\hat {\theta }}}+\\&rdrd\theta {\boldsymbol {\hat {\phi }}}\end{matrix}}$
Differential volume	$dv=dxdydz\,$	$dv=\rho d\rho d\phi dz\,$	$dv=r^{2}\sin \theta drd\theta d\phi \,$
Διάφορες Ταυτότητες: $\operatorname {div\ grad\ } f=\nabla \cdot (\nabla f)=\nabla ^{2}f=\Delta f$ (Laplacian) $\operatorname {curl\ grad\ } f=\nabla \times (\nabla f)=0$ $\operatorname {div\ curl\ } \mathbf {A} =\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0$ $\operatorname {curl\ curl\ } \mathbf {A} =\nabla \times (\nabla \times \mathbf {A} )=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} )-\nabla ^{2}\mathbf {A}$ $\Delta fg=f\Delta g+2\nabla f\cdot \nabla g+g\Delta f$ Lagrange's formula for the cross product: $\mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )=\mathbf {B} (\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} )-\mathbf {C} (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )$

Εσωτερική Αρθρογραφία

• Ανάδελτα
• Λαπλασιανή

Ιστογραφία

• Ομώνυμο άρθρο στην Βικιπαίδεια
• Ομώνυμο άρθρο στην Livepedia
• [ ]
• [ ]

Κίνδυνοι Χρήσης

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη, την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει. "Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο, η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης" του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει." Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς, και για μακρά χρονική περίοδο, αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία, ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε. Επίσης, Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)" (όχι μόνον, της Sciencepedia αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)), αν και άκρως απαραίτητοι, είναι αδύνατον να ελεγχθούν (λόγω της ρευστής φύσης του Web), και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο. Ο αναγνώστης πρέπει να είναι εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

---

>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)

---