Αναλυτική Γεωμετρία
Πολύγωνα Κανονικά Πολύγωνα Τρίγωνο Τετράγωνο Πεντάγωνο Εξάγωνο Επτάγωνο Οκτάγωνο Εννεάγωνο Δεκάγωνο Ενδεκάγωνο Δωδεκάγωνο Εικασάγωνο
Πολύεδρα Πλατωνικά Πολύεδρα Τρίεδρο Τετράεδρο Πεντάεδρο Εξάεδρο Επτάεδρο Οκτάεδρο Εννεάεδρο Δεκάεδρο Ενδεκάεδρο Δωδεκάεδρο Εικασάεδρο
Γεωμετρικό Σχήμα Γεωμετρικά Σχήματα Γεωμετρική Έδρα Γεωμετρική Κορυφή Γεωμετρική Ακμή Γωνία Ευθεία Ορθογώνιο Παραλληλόγραμμο Πλάγιο Παραλληλόγραμμο Ρόμβος
Καμπύλη Καμπύλες Κύκλος Κωνική Τομή
- Ένας Επιστημονικός Κλάδος της Γεωμετρίας.
Ετυμολογία[]
Η ονομασία "Αναλυτική" σχετίζεται ετυμολογικά με την λέξη " ανάλυση".
Ιστορία[]
Η Aναλυτική Γεωμετρία και ο Διανυσματικός Λογισμός στηρίζονται σε μία μαθηματική θεωρία, η εξέλιξη της οποίας έχει δεχθεί σημαντικές επιδράσεις από τη Φυσική.
Ο γνωστός κανόνας του παραλληλογράμμου», σύμφωνα με τον οποίο το μέγεθος και η διεύθυνση της συνισταμένης 2 δυνάμεων που επενεργούν στο ίδιο σημείο, εκφράζονται από τη διαγώνιο του παραλληλογράμμου που σχηματίζουν, ήταν γνωστός από την Αρχαιότητα και εμφανίζεται σε διάφορες μορφές σε έργα του Αριστστέλη, του Αρχιμήδη και του Ήρωνα. Αυτός ο κανόνας, που υποβάλλει την ιδέα μιας γεωμετρικής πρόσθεσης, διαφορετικής από την κοινή πρόσθεση των ευθύγραμμων τμημάτων της Ευκλείδειας Γεωμετρίας χρησιμοποιήθηκε πολλούς αιώνες για το γεωμετρικό προσδιορισμό της συνισταμένης χωρίς ωστόσο να συμβάλει άμεσα στην αναγνώριση μιας τέτοιας πρόσθεσης.
Στη διάρκεια του 17ου αιώνα, η ιδιαίτερη έμφαση που δόθηκε στη μελέτη φυσικών ποσοτήτων όπως η ταχύτητα, η δύναμη, η ορμή και η επιτάχυνση, οι οποίες χαρακτηρίζονται τόσο από το μέγεθος όσο και από τη διεύθυνση τους, καθώς και η συστηματική χρήση των αρνητικών αριθμών, έφεραν στο προσκήνιο τις έννοιες του προσανατολισμένου ευθύγραμμου τμήματος και της προσανατολισμένης κίνησης.
Ο Newton για παράδειγμα στα μαθήματα Άλγεβρας που έγραψε την περίοδο 1673-1683, αναφέρει τα εξής:
Μια προέλαση μπορεί να ονομαστεί θετική κίνηση και μια υποχώρηση αρνητική κίνηση, επειδή η πρώτη αυξάνει την πορεία που έχει ήδη γίνει, ενώ η δεύτερη την ελαττώνει.
Με τον ίδιο τρόπο στη Γεωμετρία αν ένα τμήμα σχεδιασμένο προς μια κατεύθυνση Θεωρηθεί ως θετικό τότε το αρνητικό του είναι ένα τμήμα cχεδιασμένο προς την αντίθετη κατεύθυνση.
π.χ, αν το ΑΒ έχει κατεύθυνση προς τα δεξιά και το BC προς αριστερά και το ΑΒ ορίζεται να είναι Θετικό, τότε το BC θεωρείται ως αρνητικό- επειδή, όπως είναι σχεδιασμένο, ελαττώνει το ΑΒ περιορίζοντάς το στο βραχύτερο μήκος AC ή στο τίποτα, αν το C συμπίπτει με το Α ή στο λιγότερο από το τίποτα αν το BC είναι μεγαλύτερο από το τμήμα ΑΒ, από το οποίο αφαιρείται.
Είναι αξιοσημείωτο ότι την ίδια περίοδο G.W. Leίbnίz σε επιστολή του προς τον Χ. Huygens (8 Σεπτεμβρίου 1679), διατυπώνει ορισμένες γενικές ιδέες για την ανάπτυξη ενός γεωμετρικού λογισμού, ο οποίος θα επιτρέπει να εκφράζονται απευθείας, «ακόμη και χωρίς σχήματα», η θέση, οι γωνίες και η κίνηση σε αντίθεση προς τον αλγεβρικό λογισμό που εκφράζει μόνο το μέγεθος των ποσοτήτων.
Οι ιδέες αυτές, δηλαδή η ανάπτυξη ενός νέου λογισμού με προσανατολισμένα μεγέθη, άρχισαν να αναπτύσσονται στα Μαθηματικά προς τα τέλη του 18ου αιώνα, σε στενή σχέση με το ζήτημα της γεωμετρικής ερμηνείας των μιγαδικών αριθμών. Η πρώτη σημαντική εργασία πάνω σ αυτό το ζήτημα οφείλεται στον χαρτογράφο G. Wessel και δημοσιεύτηκε το1799, με τον χαρακτηριστικό τίτλο «Πραγματεία για την αναλυτική παράσταση της διεύθυνσης». Σ αυτήν την εργασία γίνεται μια απόπειρα επέκτασης, από την απλή περίπτωση των ευθύγραμμων τμημάτων που έχουν την ίδια ή αντίθετες διευθύνσεις (και εκφράζονται αναλυτικά με τη βοήθεια των θετικών ή αρνητικών αριθμών) στη γενικότερη περίπτωση τμημάτων του επιπέδου με τυχαίες διευθύνσεις.
Ο Wessel ορίζει αρχικά την πρόσθεση των (προσανατολισμένων) τμημάτων και στη συνέχεια περιγράφει τη διαδικασία πολλαπλασιασμού δυο τμημάτων.
Δυο ευθύγραμμα τμήματα μπορούν να προστεθούν, αν τα ενώσουμε με τέτοιο τρόπο, ώστε το δεύτερο να αρχίζει εκεί που τελειώνει το πρώτο και φέρουμε κατόπιν ένα ευθύγραμμο τμήμα από το αρχικό ως το τελικό σημείο των ενωμένων τμημάτων. Αυτό το τμήμα είναι το άθροισμά τους
Αν θέλουμε να ενώσουμε περισσότερα από δυο ευθύγραμμα τμήματα ακολουθούμε την ίδια διαδικασία. Τα ενώνουμε συνδέοντας το τελικό σημείο του πρώτου με το αρχικό σημείο του δεύτερου, το τελικό σημείο του δεύτερου με το αρχικό του τρίτου κ.ο.κ. Κατόπιν φέρνουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα από το σημείο που αρχίζει το πρώτο μέχρι το σημείο που καταλήγει το τελευταίο αυτό το τμήμα το ονομάζουμε άθροισμά τους:
Τη διαδικασία πολλαπλασιασμού δυο τμημάτων o Wessel την περιγράφει ως εξής:
- Πρώτον, τα τμήματα πρέπει να έχουν τέτοιες διευθύνσεις ώστε και τα δυο να βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο με τη θετική μονάδα.
- Δεύτερον, σε ότι αφορά το μήκος, το γινόμενο θα έχει προς το ένα τμήμα τον ίδιο λόγο που έχει το άλλο τμήμα προς τη μονάδα. (δηλαδή το μήκος του τμήματος-γινομένου θα είναι ίσο με το γινόμενο των μηκών των τμημάτων-παραγόντων).
- Τρίτον, αν μετατοπίσουμε τη θετική μονάδα, τους παράγοντες και το γινόμενο σε μια κοινή αρχή; τότε το γινόμενο, σε ότι αφορά τη διεύθυνσή του, Θα βρίσκεται στο ίδιο επίπεδο με τη μονάδα και τους παράγοντες και Θα αποκλίνει από τον ένα παράγοντα τόσες μοίρες και προς το ίδιο μέρος, όσο ο άλλος παράγοντας αποκλίνει από τη μονάδα- δηλαδή η γωνία διεύθυνσης του γινομένου Θα ισούται με το άθροισμα των γωνιών διεύθυνσης των παραγόντων.
Χρησιμοποιώντας αυτούς τους ορισμούς, ο Wessel έφτασε σε μια αναλυτική έκφραση των προσανατολισμένων ευθύγραμμων τμημάτων του επιπέδου με τη βοή-θεια των μιγαδικών αριθμών, δίνοντας ταυτόχρονα μια ικανοποιητική γεωμετρική ερμηνεία στους τελευταίους.
Σ αυτήν την εργασία (και ορισμένες άλλες που δημοσιεύτηκαν εκείνη την εποχή) υπάρχουν οι (βασικές ιδέες που συγκροτούν σήμερα το υπόβαθρο του διανυσματικού λογισμού του επιπέδου: Η ουσιαστική όμως ανάπτυξη του κλάδου αρχίζει μερικές δεκαετίες αργότερα, όταν οι ιδέες αυτές γενικεύονται στον τρισδιάστατο χώρο.
Το 1843, ο W.R. Hamilton δημιούργησε τη Θεωρία των κβατερνίων (quaternions), ενώ το 1844, ο Η. Grassmann, σε μια ακόμη πιο προχωρημένη γενίκευση, παρουσίασε τη Θεωρία της επέκτασης (Ausdehnungslehre).
Ο Hamilton χρησιμοποίησε συστηματικά τους όρους
- βαθμωτό (scalar) για κάθε μέγεθος, «το οποίο μπορεί να πάρει όλες τις τιμές της αριθμητικής κλίμακας (scale) από το αρνητικό ως το Θετικό άπειρο», και
- διάνυσμα (vector) για κάθε ευθύγραμμο τμήμα «με ορισμένο μήκος και ορισμένη διεύθυνση στο Χώρο». Ο όρος vector, κατά μια εκδοχή, προέρχεται από το λατινικό ρήμα vehere, που σημαίνει μεταφέρω. Ο Grassmann επίσης χρησιμοποίησε τους όρους «εσωτερικό» και «εξωτερικό» γινόμενο.
Οι θεωρίες των κβατερνίων (quoternions) και της επέκτασης υπήρξαν σημαντικά βήματα στην προσπάθεια αντιμετώπισης προβλημάτων, τόσο στα καθαρά Μαθηματικά όσο και στις Φυσικές επιστήμες. Ο Hamilton, πριν επινοήσει τα κβατέρνια, είχε παρουσιάσει σημαντικές έρευνες στην Οπτική και Δυναμική, ενώ στη συνέχεια ασχολήθηκε εντατικά με τις εφαρμογές της νέας Θεωρίας.
Επίσης, ο Grassmann, συνέλαβε τις βασικές ιδέες της Θεωρίας του μελετώντας, από τη μια μεριά, την εμφάνιση των αρνητικών αριθμών σε γεωμετρικά ζητήματα και, από την άλλη, προβλήματα της Θεωρίας των παλιρροιών.
Η παραπέρα εξέλιξη τον διανυσματικού λογισμού, που οδήγησε στην καθιερωμένη σήμερα μορφή του, επηρεάστηκε αποφασιστικά από τις εξελίξεις στη Φυσική κατά το δεύτερο μισό τον 19ου αιώνα.
Η χρήση π.χ. της θεωρίας των κβατερνίων από τον J.C. Maxwell, στο βιβλίο του «Πραγματεία πάνω στον Ηλεκτρισμό και Μαγνητισμό» (1874), οδήγησε σε ορισμένες τροποποιήσεις, με βάση τις οποίες οι φυσικοί J.W. Gibbs και Ο. Heaviside, δημιούργησαν στις αρχές της δεκαετίας του 1880 τη σύγχρονη θεωρία τον διανυσματικού λογισμού.
Τέλος, το 1888, ο G. Peano, με βάση τη Θεωρία της επέκτασης του Grassmann, θεμελίωσε αξιωματικά την έννοια του διανυσματικού χώρου.
Υποσημειώσεις[]
Εσωτερική Αρθρογραφία[]
Βιβλιογραφία[]
Ιστογραφία[]
- Ομώνυμο άρθρο στην Βικιπαίδεια
- Ομώνυμο άρθρο στην Livepedia
- Περιγραφή από το Αιγαίο Πανεπιστήμιο
- Αναλυτική Γεωμετρία, Καριπίδης
 Κίνδυνοι Χρήσης
|
|---|
|
Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες "Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι Επίσης, |
- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν
- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)