Αναλυτική Μηχανική


Κλασσική Δυναμική
Χαμιλτονιανή

Αρχή Ελάχιστης Δράσης
Αρχή Hamilton

Φυσικοί Γης
Νόμοι Φυσικής
Νόμοι Φυσικής
Θεωρίες Φυσικής
Πειράματα Φυσικής
Παράδοξα Φυσικής

Αναλυτική Μηχανική
Λαγρασιανή
- Ένας Επιστημονικός Κλάδος της Κλασσικής Μηχανικής
Ετυμολογία[]
Η ονομασία "Αναλυτική" σχετίζεται ετυμολογικά με την λέξη "Ανάλυση".
Εισαγωγή[]
Η ονομασία Αναλυτική που προσδιορίζει τον κλάδο αυτό της Δυναμικής προέρχεται από το γεγονός ότι βασίζει την μελέτη της σε δυο μονόμετρα (βαθμωτά) μεγέθη
- την Κινητική Ενέργεια και
- την Δυναμική Ενέργεια
ή σε γενικευμένες συνιστώσες δυνάμεων.
Η μαθηματική επεξεργασία της στηρίζεται στην Μαθηματική Ανάλυση
Αντίθετα η Κλασσική Μηχανική (Νευτώνεια θεωρία) βασίζει την μελέτη της στα διανυσματικά μεγέθη
Η μαθηματική επεξεργασία της στηρίζεται στην Γεωμετρία και στην Διανυσματική Ανάλυση.
Η Νευτώνεια Μηχανική είναι χρήσιμη κυρίως στη Στατική και σε απλά προβλήματα Δυναμικής.
Για πιο σύνθετα προβλήματα με πολλά σώματα, οπότε ενδεχομένως υπάρχουν και δεσμοί μεταξύ τους, υπερτερεί η Αναλυτική Δυναμική.
Επίσης, η Αναλυτική Δυναμική προεκτείνεται στην Κβαντική Φυσική και στην Σχετικιστική Φυσική.
Ιστορία[]
Η Αναλυτική Δυναμική είναι η Δυναμική αναπτύχθηκε μετά το Νεύτωνα από τους Lagrange, Hamilton, Euler και άλλους.
Η Νευτώνεια Μηχανική αποτελεί ιστορικά τον αρχαιότερο κλάδο της Θεωρητικής Φυσικής.
Οι ρίζες της τοποθετούνται το 1687, δηλ. το έτος που Isaac Newton εξέδωσε το έργο του “Philosophiae Naturalis Principia Mathematica”,
Η Αναλυτική Μηχανική θεμελιώνεται το 1788, δηλ. το έτος που ο Joseph Louis Lagrange εξέδωσε το έργο του “Mecanique Analytique”.
Οι βάσεις της Χαμιλτονιανής Μηχανικής, ως το γενικό πλαίσιο για την ενοποιημένη περιγραφή διαφορετικών φυσικών θεωριών, όπως η Μηχανική και η Οπτική, τίθενται το 1834 από τον William Rowan Hamilton
Ταξινομία[]
Η Αναλυτική Δυναμική διακρίνεται σε
Αναλυτική Δυναμική Hamilton[]

Διέπεται από τις Εξισώσεις:
Μια απλή ερμηνεία της Hamiltonian Αναλυτικής Μηχανικής προέρχεται από την εφαρμογή της σε ένα μονοδιάστατο σύστημα που αποτελείται από ένα σωματίδιο μάζας (m) .
Ας ξεκινήσουμε από την αρχή
Πρώτα ανακαλύφθηκε ο Νόμος Αριστοτέλους
Μετά ανακαλύφθηκε Νόμος Νεύτωνος
Αυτοί οι δύο Φυσικοί Νόμοι, ουσιαστικά, αποτελούν το βάθρο την Δυναμικής
Όμως, ιστορικά δεν έγινε άμεσα αντιληπτό ότι ομού αποτελούν Σύστημα Εξισώσεων
Το επόμενο βήμα ήταν αυτοί οι νόμοι να εκφρασθούν ως Διαφορικές Εξισώσεις
Το επόμενο βήμα ήταν ο περιορισμός σε Συντηρητικό Σύστημα
Σε αυτό η Ώθηση (Ω) και η Δύναμη (F) δεν είναι πλέον τυχαίες συναρτήσεις του χρόνου (t)
αλλά συγκεριμενοποιούνται.
Οπότε έχουμε:
Αντικαθιστώντας τις παραπάνω ισότητες στο σύστημα έχουμε:
Πολλαπλασιάζουμε με την 2η εξίσωση με :
Αλλά δεδομένου ότι ισχύει (νόμος παραγώγισης):
η 2η εξίσωση γράφεται:
Μεταφέροντας όλους τους όρους στο πρώτο μέλος έχουμε:
Αντικαθιστούμε, τώρα, την 1η εξίσωση στην ανωτέρω και θεωρώντας την μάζα (m) σταθερή
το σύστημα των 2 εξίσωσεων καταλήγει ισοδύναμα στην εξής εξίσωση:
Στην συνέχεια ορίζουμε την Κινητική Ενέργεια ως εξής:
Οπότε η εξίσωση γίνεται:
Εφόσον η χρονική της παράγωγος μηδενίζεται, η συνάρτηση είναι μία σταθερά που την ονομάζουμε, ως γνωστόν, Μηχανική Ενέργεια ή ολική ενέργεια
Η Hamiltonian αντιπροσωπεύει τη συνολική ενέργεια του συστήματος, που είναι το άθροισμα της κινητικής (T) και της δυναμικής ενέργειας (V), αντίστοιχα.
Επίσης:
Εδώ x είναι η συντεταγμένη χώρου και p είναι η ορμή mv .
Όμως:
Σημειώστε ότι
- η κινητική (Τ) είναι μια συνάρτηση της ορμής (p) μόνον, ενώ
- δυναμική (V) είναι συνάρτηση της θέσης (x) μόνον
(δηλαδή, το Τ και το V είναι σκληρονομα).
Σε αυτό το παράδειγμα,
η χρονική παράγωγος της ορμής (p) ισούται με τη Νευτώνεια δύναμη
και έτσι η πρώτη εξίσωση Hamilton σημαίνει ότι
η δύναμη ισούται με την αρνητική κλίση της δυνητικής ενέργειας.
η χρονική παράγωγος θέσης (x) είναι η ταχύτητα
οπότε η δεύτερη εξίσωση Hamilton σημαίνει ότι
η ταχύτητα του σωματιδίου ισούται με την παράγωγο της κινητικής του ενέργειας ως προς την ορμή του.
Φασικός Χώρος[]
Τομείς[]
- Δεσμοί.
- Αρχή D'Alembert.
- Δυνατές μετατοπίσεις.
- Αρχή Δυνατών Έργων.
- Αρχή Ελαχίστης Δράσης.
- Γενικευμένες δυνάμεις.
- Εξισώσεις Lagrange
- Ηλεκτρικά και Ηλεκτρομηχανικά ανάλογα.
- Αρχή Hamilton .
- Γενικευμένη Ταχύτητα
- Γενικευμένη Ορμή.
- Εξισώσεις Hamilton.
- Κυκλική Συντεταγμένη
- θεώρημα Διατήρησης.
- Μετασχηματισμός Legendre.
- ευστάθεια.
Υποσημειώσεις[]
Εσωτερική Αρθρογραφία[]
Βιβλιογραφία[]
Ιστογραφία[]
- Ομώνυμο άρθρο στην Βικιπαίδεια
- Ομώνυμο άρθρο στην Livepedia
- physics.ntua.gr
- Διαφορές Κλασσικής και Κβαντικής Μηχανικής, quora.com
- "Hamiltonian method in the braneworld", N.Bilic
- Lagrangian Dynamics, Irina Yakimenko
![]() ![]() |
---|
Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες "Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι Επίσης, |
- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν
- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)