Science Wiki
Advertisement

Αναλυτική Μηχανική

Analytical Mechanics


Φυσικοί Νόμοι Δυναμικής Κλασσική Δυναμική Χαμιλτονιανή

Αναλυτική Μηχανική Αρχή Ελάχιστης Δράσης Αρχή Hamilton

Φυσική
Φυσικοί Γης Νόμοι Φυσικής Νόμοι Φυσικής Θεωρίες Φυσικής Πειράματα Φυσικής Παράδοξα Φυσικής

Joseph-Louis Lagrange
Αναλυτική Μηχανική Λαγρασιανή

- Ένας Επιστημονικός Κλάδος της Κλασσικής Μηχανικής

Ετυμολογία[]

Η ονομασία "Αναλυτική" σχετίζεται ετυμολογικά με την λέξη "Ανάλυση".

Εισαγωγή[]

Η ονομασία Αναλυτική που προσδιορίζει τον κλάδο αυτό της Δυναμικής προέρχεται από το γεγονός ότι βασίζει την μελέτη της σε δυο μονόμετρα (βαθμωτά) μεγέθη

ή σε γενικευμένες συνιστώσες δυνάμεων.

Η μαθηματική επεξεργασία της στηρίζεται στην Μαθηματική Ανάλυση

Αντίθετα η Κλασσική Μηχανική (Νευτώνεια θεωρία) βασίζει την μελέτη της στα διανυσματικά μεγέθη

Η μαθηματική επεξεργασία της στηρίζεται στην Γεωμετρία και στην Διανυσματική Ανάλυση.

Η Νευτώνεια Μηχανική είναι χρήσιμη κυρίως στη Στατική και σε απλά προβλήματα Δυναμικής.

Για πιο σύνθετα προβλήματα με πολλά σώματα, οπότε ενδεχομένως υπάρχουν και δεσμοί μεταξύ τους, υπερτερεί η Αναλυτική Δυναμική.

Επίσης, η Αναλυτική Δυναμική προεκτείνεται στην Κβαντική Φυσική και στην Σχετικιστική Φυσική.

Ιστορία[]

Η Αναλυτική Δυναμική είναι η Δυναμική αναπτύχθηκε μετά το Νεύτωνα από τους Lagrange, Hamilton, Euler και άλλους.

Η Νευτώνεια Μηχανική αποτελεί ιστορικά τον αρχαιότερο κλάδο της Θεωρητικής Φυσικής.

Οι ρίζες της τοποθετούνται το 1687, δηλ. το έτος που Isaac Newton εξέδωσε το έργο του “Philosophiae Naturalis Principia Mathematica”,

Η Αναλυτική Μηχανική θεμελιώνεται το 1788, δηλ. το έτος που ο Joseph Louis Lagrange εξέδωσε το έργο του “Mecanique Analytique”.

Οι βάσεις της Χαμιλτονιανής Μηχανικής, ως το γενικό πλαίσιο για την ενοποιημένη περιγραφή διαφορετικών φυσικών θεωριών, όπως η Μηχανική και η Οπτική, τίθενται το 1834 από τον William Rowan Hamilton

Ταξινομία[]

Η Αναλυτική Δυναμική διακρίνεται σε

Αναλυτική Δυναμική Hamilton[]

Hamiltonian Χαμιλτονιανή Μηχανική

Διέπεται από τις Εξισώσεις:

Μια απλή ερμηνεία της Hamiltonian Αναλυτικής Μηχανικής προέρχεται από την εφαρμογή της σε ένα μονοδιάστατο σύστημα που αποτελείται από ένα σωματίδιο μάζας (m) .

Ας ξεκινήσουμε από την αρχή
Πρώτα ανακαλύφθηκε ο Νόμος Αριστοτέλους

Μετά ανακαλύφθηκε Νόμος Νεύτωνος

Αυτοί οι δύο Φυσικοί Νόμοι, ουσιαστικά, αποτελούν το βάθρο την Δυναμικής

Όμως, ιστορικά δεν έγινε άμεσα αντιληπτό ότι ομού αποτελούν Σύστημα Εξισώσεων

Το επόμενο βήμα ήταν αυτοί οι νόμοι να εκφρασθούν ως Διαφορικές Εξισώσεις

Το επόμενο βήμα ήταν ο περιορισμός σε Συντηρητικό Σύστημα
Σε αυτό η Ώθηση (Ω) και η Δύναμη (F) δεν είναι πλέον τυχαίες συναρτήσεις του χρόνου (t) αλλά συγκεριμενοποιούνται.
Οπότε έχουμε:

Αντικαθιστώντας τις παραπάνω ισότητες στο σύστημα έχουμε:

Πολλαπλασιάζουμε με την 2η εξίσωση με :

Αλλά δεδομένου ότι ισχύει (νόμος παραγώγισης):

η 2η εξίσωση γράφεται:

Μεταφέροντας όλους τους όρους στο πρώτο μέλος έχουμε:

Αντικαθιστούμε, τώρα, την 1η εξίσωση στην ανωτέρω και θεωρώντας την μάζα (m) σταθερή
το σύστημα των 2 εξίσωσεων καταλήγει ισοδύναμα στην εξής εξίσωση:

Στην συνέχεια ορίζουμε την Κινητική Ενέργεια ως εξής:

Οπότε η εξίσωση γίνεται:

Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (Λάθος σύνταξης): {\displaystyle \frac {d (Τ + V)} {dt} = 0 }

Εφόσον η χρονική της παράγωγος μηδενίζεται, η συνάρτηση είναι μία σταθερά που την ονομάζουμε, ως γνωστόν, Μηχανική Ενέργεια ή ολική ενέργεια

Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (Λάθος σύνταξης): {\displaystyle Τ + V = E }

Η Hamiltonian αντιπροσωπεύει τη συνολική ενέργεια του συστήματος, που είναι το άθροισμα της κινητικής (T) και της δυναμικής ενέργειας (V), αντίστοιχα.
Επίσης:
Εδώ x είναι η συντεταγμένη χώρου και p είναι η ορμή mv . Όμως:

Σημειώστε ότι

  • η κινητική (Τ) είναι μια συνάρτηση της ορμής (p) μόνον, ενώ
  • δυναμική (V) είναι συνάρτηση της θέσης (x) μόνον

(δηλαδή, το Τ και το V είναι σκληρονομα).

Σε αυτό το παράδειγμα,
η χρονική παράγωγος της ορμής (p) ισούται με τη Νευτώνεια δύναμη
και έτσι η πρώτη εξίσωση Hamilton σημαίνει ότι
η δύναμη ισούται με την αρνητική κλίση της δυνητικής ενέργειας.

η χρονική παράγωγος θέσης (x) είναι η ταχύτητα
οπότε η δεύτερη εξίσωση Hamilton σημαίνει ότι
η ταχύτητα του σωματιδίου ισούται με την παράγωγο της κινητικής του ενέργειας ως προς την ορμή του.

Φασικός Χώρος[]


Τομείς[]

Υποσημειώσεις[]

Εσωτερική Αρθρογραφία[]

Βιβλιογραφία[]

Ιστογραφία[]


Ikl.jpg Κίνδυνοι ΧρήσηςIkl.jpg

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες
σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια
ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι
η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη,
την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει.

"Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα
να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο,
η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης"
του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει."

Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι
όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς,
και για μακρά χρονική περίοδο,
αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία,
ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε.



Επίσης,
Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)"
(όχι μόνον, της Sciencepedia
αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)),
αν και άκρως απαραίτητοι,
είναι αδύνατον να ελεγχθούν
(λόγω της ρευστής φύσης του Web),
και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν
σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο.
Ο αναγνώστης πρέπει να είναι
εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

IonnKorr-System-00-goog.png



>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)


Advertisement