Ανοικτό Σύνολο

Ανοικτόν Σύνολον

Open Set

Τοπολογική Γειτονία Ανοικτό Σύνολο

Κλειστό Σύνολο

Ανοικτό Σύνολο

Τοπολογία
Ανοικτό Σύνολο
Κλειστό Σύνολο

Τοπολογία

---

Τοπολογική Γειτονία Ανοικτό Σύνολο

Τοπολογικά Δομήματα

- Ένα Τοπολογικό Δόμημα

Ετυμολογία

Το όνομα "ανοικτό" σχετίζεται ετυμολογικά με την λέξη "άνοιγμα".

Εισαγωγή

Η οικογένεια των ανοικτών συνόλων, έχει την βασική ιδιότητα να περιέχει την τοµή οποιωνδήποτε δύο στοιχείων της, αλλά και την ένωση των στοιχείων οποιασδήποτε υποοικογένειάς της.

Επίσης, τόσο το κενό σύνολο ∅ όσο και ολόκληρο το σύνολο X είναι ανοικτά.

Η ιδιότητα αυτή είχε καθοριστικό ϱόλο στη μελέτη των Μετρικών Χώρων, καθώς επέτρεψε να εκφρασθούν και να μελετηθούν δοµικές έννοιες, όπως η κλειστότητα και το σύνορο συνόλου, µε αρχική έννοια το ανοικτό σύνολο και όχι τη µετρική του Χώρου.

Αυτό οδηγεί στην προσεέγγιση της έννοια της τοπολογίας, δηλαδή της οικογένειας των ανοικτών υποσυνόλων ενός συνόλου και στην γενίκευση της έννοιας του Μετρικού Χώρου, δηµιουργώντας την ευρύτερη κλάση, αυτή των Τοπολογικών χώρων.

Ορισμός

Είναι μαθηματικό αντικείμενο της Τοπολογίας.

Σε ένα Μετρικό Χώρο $X$ με μετρική $d(\cdot,\cdot)$ το σύνολο $A \subseteq X$ λέγεται ανοικτό αν για κάθε $a \in A$ υπάρχει $r > 0$ τέτοιο ώστε ο ανοικτός σβώλος $B_r(a)$ να περιέχεται στο $A$: $\forall a \in A\ \exists r > 0\ \ B_r(a) \subseteq A.$

Ένα σύνολο $B \subseteq X$ λέγεται κλειστό αν το συμπλήρωμά του $B^c = X \setminus B$ είναι ανοικτό.

Σε κάθε μετρικό χώρο $X$ τα σύνολα $\emptyset$ και $X$ είναι και ανοικτά και κλειστά.

The concept of open sets can be formalized with various degrees of generality, for example:

Euclidean space

A subset U of the Euclidean n-space Rⁿ is called open if,
given any point x in U,
there exists a real number ε > 0 such that,
given any point y in Rⁿ
(whose Euclidean distance from x is smaller than ε),
y also belongs to U.

Equivalently, a subset U of Rⁿ is open if every point in U has a neighborhood in Rⁿ contained in U.

Metric spaces

A subset U of a metric space (M, d) is called open if, given any point x in U, there exists a real number ε > 0 such that, given any point y in M with d(x, y) < ε, y also belongs to U.

Equivalently, U is open if every point in U has a neighbourhood contained in U.

This generalises the Euclidean space example, since Euclidean space with the Euclidean distance is a metric space.

Topological spaces

If a nonempty set X is a topological space with topology T, then any member of T is an open set.

Note that infinite intersections of open sets need not be open. For example, the intersection of all intervals of the form (−1/n, 1/n), where n is a positive integer, is the set {0} which is not open in the real line. Sets that can be constructed as the intersection of countably many open sets are denoted G_δ sets.

The topological definition of open sets generalises the metric space definition: If one begins with a metric space and defines open sets as before, then the family of all open sets is a topology on the metric space. Every metric space is therefore, in a natural way, a topological space. There are, however, topological spaces that are not metric spaces.

Περιγραφή

Ανοικτό σύνολο a subset U of Rn is open if every point in U has a neighborhood in Rn contained in U.

$\forall\ {x \in U}: { \exist\ \varepsilon} > {0} : B_\varepsilon(x) \subseteq U$

Εσωτερική Αρθρογραφία

• Κλειστό Σύνολο, Κλειστότητα
• Τοπολογία (επιστήμη), Τοπολογία (δόμημα)
• Αλγεβρική Τοπολογία
• Γεωμετρική Τοπολογία

• Τοπολογικό Δόμημα
• Τοπολογικός Χάρτης (topological chart)
• Τοπολογικός Άτλας (topological atlas)
• Τοπολογικός Χώρος
• Εφαπτομενικός Χώρος (tangent space)
• Συνεφαπτομενικός Χώρος (cotangent space)

• Πολύπτυχο (manofold)
• Ινοδέσμη (Ινώδης Δέσμη) (fiber bundle)
• Εφαπτόμενη Δέσμη (tangent bundle)
• Συνεφαπτόμενη Δέσμη (cotangent bundle)
• Διανυσματική Δέσμη (vector bundle)

• Φιάλη Klein (Klein Bottle)
• Λωρίδα Mobius (Mobius Strip)
• Τόρος (Torus)

Ιστογραφία

• Ομώνυμο άρθρο στην Βικιπαίδεια
• Ομώνυμο άρθρο στην Livepedia
• Ανοικτά Σύνολα, Μερκουράκη
• Διάφοροι ορισμοί για την Ανάλυση

Κίνδυνοι Χρήσης

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη, την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει. "Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο, η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης" του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει." Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς, και για μακρά χρονική περίοδο, αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία, ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε. Επίσης, Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)" (όχι μόνον, της Sciencepedia αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)), αν και άκρως απαραίτητοι, είναι αδύνατον να ελεγχθούν (λόγω της ρευστής φύσης του Web), και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο. Ο αναγνώστης πρέπει να είναι εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

---

>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)

---