Απειρόβαθο Κβαντικό Φρέαρ

Απειρόβαθο Φρέαρ

Particle in a box

Κβαντικό Φρέαρ

Φρέαρ Δυναμικού
Κβαντικός Αρμονικός Ταλαντωτής

Συνάρτηση
απειρόβαθου φρέατος

---

εγκλωβισμός

Κβαντικό Φρέαρ

Κβαντικό Φρέαρ

Κβαντικό Φρέαρ

Απειρόβαθο Κβαντικό Φρέαρ

Πεπερασμένο Κβαντικό Φρέαρ
Απειρόβαθο Κβαντικό Φρέαρ

Πιθανότητα
Φρέαρ Δυναμικού
Κβαντικός Αρμονικός Ταλαντωτής
Κλασσικός Αρμονικός Ταλαντωτής

Φαινόμενα
Φαινομενολογία
Φαινόμενο
Επιστημονικά Φαινόμενα
Επιστήμη
Επιστήμες

---

Αστρονομικά Φαινόμενα
Αστρονομία
Φυσικά Φαινόμενα
Φυσική
Βιολογικά Φαινόμενα
Βιολογία
Γεωλογικά Φαινόμενα
Γεωλογία
Χημικά Φαινόμενα
Χημεία
Οικονομικά Φαινόμενα
Οικονομία
Κοινωνικά Φαινόμενα
Κοινωνιολογία
Ιατρικά Φαινόμενα
Ιατρική
Ψυχολογικά Φαινόμενα
Ψυχολογία
Ιστορικά Φαινόμενα
Ιστορία

---

Θρησκευτικά Φαινόμενα
Θεολογία
Μεταφυσικά Φαινόμενα
Μεταφυσική
Υπερβατικά Φαινόμενα
Υπερβασιολογία

- Ένα Κβαντικό Φαινόμενο.

Εισαγωγή

το απειρόβαθο πηγάδι (επίσης γνωστό ως σωματίδιο σε μονοδιάστατο κυτίο ή σωματίδιο εντός σωλήνα) αποτελεί ένα παράδειγμα ακριβώς επιλύσιμου προβλήματος. Παρά την ευκολία του προβλήματος (από Mαθηματικής σκοπιάς), αναδεικνύει πολλές σημαντικές πτυχές της Κβαντικής Θεωρίας.

Μαθηματική περιγραφή

Σε μία διάσταση, το πρόβλημα ορίζεται μονοσήμαντα από τη γνώση του δυναμικού μέσα στο οποίο κινείται το σωματίδιο και τις Συνοριακές Συνθήκες που πρέπει να ικανοποιεί η κυματοσυνάρτησή του.

Με τη σειρά τους, οι συνοριακές συνθήκες επιβάλλονται από τη φυσική του προβλήματος. Στις παρακάτω θεματικές ενότητες παρουσιάζεται μία σύντομη μαθηματική περιγραφή των βασικότερων χαρακτηριστικών του προβλήματος του απειρόβαθου πηγαδιού.

Δυναμική Ενέργεια

Η Δυναμική Ενέργεια του σωματιδίου που βρίσκεται του απειρόβαθου φρέατος περιγράφεται από τη συνάρτηση:

$V(x)=\begin{cases} +\infty \; \;\text{if} \; \ x< 0 \\ \; \; \; 0 \; \; \text{if} \; \; \ 0\le x\le L \\ +\infty \; \;\text{if} \; \ x> L \end{cases}$

όπου L η διάσταση στην οποία είναι εγκλωβισμένο το σωματίδιο. Ο όρος «απειρόβαθο φρέαρ» προκύπτει ακριβώς από τη μορφή του δυναμικού.

Εξίσωση Schrödinger

Η γνώση του δυναμικού συνεπάγεται γνώση της Χαμιλτονιανής. Συγκεκριμένα, η Χαμιλτονιανή του σωματιδίου στο απειρόβαθο φρέαρ αντιστοιχεί στη Χαμιλτονιανή του ελεύθερου σωματίου.

Στον χώρο των θέσεων, η Εξίσωση Schrödinger για το διάστημα

$\quad (0\leq x\leq L)$ παίρνει τη μορφή:

$-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}x^{2}} \psi(x) = E \psi(x)\$

$\frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}x^{2}} \psi(x) + \left(\frac{2mE}{\hbar^2}\right) \psi(x) = 0$

όπου m = μάζα του σωματιδίου.

Γενική λύση

Θέτοντας:

$k^2 = \frac{2 m E}{\hbar^2}$

(πράγμα που επιτρέπεται αφού οι ποσότητες Ε, m και ħ είναι θετικές),

η Εξίσωση Schrödinger καταλήγει στην απλούστερη μορφή:

$\frac{\mathrm{d}^{2}} {\mathrm{d}x^{2}} \psi(x) + k^2 \psi(x) = 0 \ \ \$

Η γενική λύση της παραπάνω διαφορικής εξίσωσης είναι ένας Γραμμικός Συνδυασμός εκθετικών της μορφής e ^±ikx, ήτοι

$\psi(x)= A e^{ikx} + B e^{-ikx} \ ,\ \ \ \$

όπου Α και Β δύο (εν γένει) μιγαδικές σταθερές που προσδιορίζονται από τις συνοριακές συνθήκες και τις φυσικές απαιτήσεις που πρέπει να ικανοποιεί η χωρική κυματοσυνάρτηση ώστε να περιγράφει ένα πραγματικό σωματίδιο.

Συνοριακές Συνθήκες

Το πρόβλημα του απειρόβαθου φρέατος περιγράφει ένα ελεύθερο σωμάτιο που είναι περιορισμένο να κινείται σε ένα πολύ λεπτό μονοδιάστατο «σωλήνα» πεπερασμένου μήκους L.

Η μαθηματική απαίτηση που πρέπει να ικανοποιεί η χωρική κυματοσυνάρτηση ψ(x) του σωματιδίου είναι:

$\psi(x=0)=\psi(x=L)=0 \ \ \$

Η φυσική σημασία της παραπάνω μαθηματικής συνθήκης είναι ότι το σωματίδιο έχει μηδενική πιθανότητα να βρεθεί στα άκρα του φρέατος, με αποτέλεσμα να είναι αναγκασμένο να εκτελεί μονοδιάστατη κίνηση στην περιοχή 0≤x≤L.

Ιδιοσυναρτήσεις

Οι χωρικές ιδιοσυναρτήσεις της Χαμιλτονιανής του ενσωληνομένου σωματιδίου, δεδομένων των προαναφερθέντων συνοριακών συνθηκών, δίδονται από τον παρακάτω τύπο:

$\psi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\ \sin{\left(\frac{n\pi x}{L}\right)}, \ \ \ n=1,2,3...$

όπου:

• L το μήκος του σωλήνα και
• 0≤x≤L η μεταβλητή που περιγράφει τη θέση του σωματιδίου.

Οι παραπάνω ιδιοσυναρτήσεις είναι ορθοκανονικές, δηλαδή ικανοποιούν τη σχέση:

$\int_{-\infty}^{+\infty}\psi^{*}_{n}(x)\psi_{m}(x)dx=\delta_{nm}\ ,$

όπου δ το Δέλτα Kronecker.

Ιδιοτιμές

Οι ιδιοτιμές της ενέργειας του σωματιδίου αποδεικνύεται ότι δίδονται από τον τύπο:

$E_n= \left(\frac{\hbar^2 \pi^2} {2mL^2}\right) n^2, \ \ \ n=1,2,3,...$

όπου m η μάζα του σωματιδίου.

Το ενεργειακό φάσμα του προβλήματος λοιπόν είναι διακριτό (ή αλλιώς κβαντισμένο) φαινόμενο πολύ συνηθισμένο σε κβαντομηχανικά προβλήματα.

Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι, όπως ορίζει η Αρχή Αντιστοιχίας, η θεμελιώδης στάθμη στο κλασσικό όριο ħ→0 αναπαράγει τα αποτελέσματα της Κλασσικής Μηχανικής.

Συγκεκριμένα, στην Κλασσική Μηχανική, η ελάχιστη ενέργεια ενός σωματιδίου που κινείται σε ένα μονοδιάστατο σωλήνα αντιστοιχεί στην κατάσταση απόλυτης ηρεμίας (μηδενική ταχύτητα).

Το γεγονός ότι στην Κβαντομηχανική ακόμη και η κατάσταση ελάχιστης ενέργειας αντιστοιχεί σε μη μηδενική ταχύτητα (η λεγόμενη Ενέργεια Μηδενικού Σημείου) είναι ένα ακόμα σημαντικό φαινόμενο που συναντάται συχνά στην Κβαντική Θεωρία.

Απροσδιοριστίες θέσης και ορμής

Γνωρίζοντας την ακριβή μορφή των ιδιοσυναρτήσεων του προβλήματος, είναι δυνατόν να υπολογισθούν οι απροσδιοριστίες θέσης και ορμής για οποιαδήποτε κατάσταση n στην οποία βρίσκεται το σωματίδιο.

Συγκεκριμένα, αποδεικνύεται ότι

$\begin{align} (\Delta x)_n &=\frac{L}{\sqrt{2}}\sqrt{\frac{1}{6}-\frac{1}{\pi^2n^2}} \\ (\Delta p)_n &=\frac{\hbar\pi n}{L} \end{align}$

Επίσης, το γινόμενο

$(\Delta x)_n(\Delta p)_n=\frac{\hbar\pi n}{\sqrt{2}}\sqrt{\frac{1}{6}-\frac{1}{\pi^2n^2}}$

είναι πάντοτε μεγαλύτερο από ħ/2.

Ένας από τους τρόπους που μπορεί να αποδειχθεί αυτό, είναι να πάρουμε την ανισότητα

(Δx)ⁿ (Δp) _n ≥ ħ/2

και να λύσουμε ως προς n. .

Χρονική Εξέλιξη

Γνωρίζοντας τις χωρικές κυματοσυναρτήσεις ψ(x), ο υπολογισμός της χρονικής εξέλιξης μίας οποιασδήποτε ιδιοσυνάρτησης ψ_n του προβλήματος ανάγεται στον πολλαπλασιασμό κάθε ιδιοσυνάρτησης με την χρονική συνάρτηση

$T_n(t)=e^{-iE_nt/\hbar}$

όπου:

E_n είναι η n-οστή ιδιοτιμή της ενέργειας του σωματιδίου και

t είναι ο χρόνος.

Συνεπώς, η n-οστή ιδιοκατάσταση του συστήματος εξελίσσεται χρονικά βάσει της κατωτέρω κυματοσυνάρτησης:

$\Psi_n(x,t)=\sqrt{\frac{2}{L}}\ \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)e^{-\frac{i}{\hbar}\left(\frac{\hbar^2\pi^2n^2}{2mL^2}\right)t}$

Γενική κατάσταση συστήματος

Επειδή οι λύσεις της Εξίσωσης Schrödinger για το σωματίδιο σε μονοδιάστατο σωλήνα είναι άπειρες, η γενική κατάσταση, Ψ(x,t), του σωματιδίου πρέπει να είναι ένας γραμμικός συνδυασμός όλων των δυνατών ιδιοκαταστάσεων. Στη γενικότερη περίπτωση λοιπόν, το σωματίδιο βρίσκεται μία άπειρη επαλληλία καταστάσεων που περιγράφεται μαθηματικά από την παρακάτω συνάρτηση:

$\Psi(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}c_n\Psi_n(x,t)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sum_{n=1}^{\infty}c_n\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)e^{-\frac{i}{\hbar}\left(\frac{\hbar^2\pi^2n^2}{2mL^2}\right)t}$

όπου c_n σταθερές που υπολογίζονται αν γνωρίζουμε σε ποια κατάσταση βρισκόταν το σωματίδιο μία δεδομένη χρονική στιγμή.

Αν t=0 η χρονική στιγμή εκείνη και Ψ(x,t=0)=φ₀(x) η αντίστοιχη κατάσταση στην οποία βρισκόταν το σωματίδιο, τότε οι σταθερές c_n δίνονται από τον τύπο:

$c_n=\sqrt{\frac{2}{L}}\int_{0}^{L}\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\phi_0(x)dx$

Απόδειξη του ανωτέρω τύπου

Όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, το σωματίδιο θα βρίσκεται εν γένει σε μία γενική κατάσταση που περιγράφεται από την συνάρτηση $\Psi(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}c_n\Psi_n(x,t)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sum_{n=1}^{\infty}c_n\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)e^{-\frac{i}{\hbar}\left(\frac{\hbar^2\pi^2n^2}{2mL^2}\right)t}$ Για t=0, έχουμε ότι $\begin{align} \Psi(x,0) &=\sqrt{\frac{2}{L}}\sum_{n=1}^{\infty}c_n\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)e^{-\frac{i}{\hbar}\left(\frac{\hbar^2\pi^2n^2}{2mL^2}\right)\cdot 0} \\ \phi_0 &=\sqrt{\frac{2}{L}}\sum_{n=1}^{\infty}c_n\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \end{align}$ Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη της παραπάνω εξίσωσης με sin(mπx/L) (όπου m θετικός ακέραιος) και ολοκληρώνοντας από 0 έως L, βρίσκουμε ότι: $\int_{0}^{L}\sin\left(\frac{m\pi x}{L}\right)\phi_0(x)dx=\sum_{n=1}^{\infty}c_n\int_{0}^{L}\sin\left(\frac{m\pi x}{L}\right)\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx$ Όμως, $\int_{0}^{L}\sin\left(\frac{m\pi x}{L}\right)\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx=\frac{L}{2}\delta_{mn}$ Επίσης, $\sum_{n=1}^{\infty}c_n\delta_{mn}=c_m$ Άρα λοιπόν, $\int_{0}^{L}\sin\left(\frac{m\pi x}{L}\right)\phi_0(x)dx=\frac{L}{2}c_m$ $c_m=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}\sin\left(\frac{m\pi x}{L}\right)\phi_0(x)dx$ Ο δείκτης m όμως είναι βωβός, συνεπώς μπορούμε να θέσουμε m=n.

Εσωτερική Αρθρογραφία

• Δέσμιο Σωμάτιο (particle in a box)
• Απειρόβαθο Φρέαρ (finite potential well)
• Ενδοδακτυλιωμένο Σωματίδιο (particle in a ring)
• Δυναμικό Δέλτα
• σκαλοπάτι δυναμικού
• Κβαντικός Αρμονικός Ταλαντωτής
• Άτομο Υδρογόνου
• Κυματοδηγός
• Σφαιρικά Συμμετρικό Δυναμικό (spherically symmetric potential)
• Περιοδικό Δυναμικό (periodic potential)

Βιβλιογραφία

• Τραχανάς Στέφανος (2009), Κβαντομηχανική Ι, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης.

Ιστογραφία

• Ομώνυμο άρθρο στην Βικιπαίδεια
• Ομώνυμο άρθρο στην Livepedia
• en.wikibooks.org
• libretexts.org/Courses/University_of_California_Davis

Κίνδυνοι Χρήσης

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη, την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει. "Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο, η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης" του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει." Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς, και για μακρά χρονική περίοδο, αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία, ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε. Επίσης, Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)" (όχι μόνον, της Sciencepedia αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)), αν και άκρως απαραίτητοι, είναι αδύνατον να ελεγχθούν (λόγω της ρευστής φύσης του Web), και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο. Ο αναγνώστης πρέπει να είναι εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

---

>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)

---