Αριθμός e

Αριθμός e

Number e

Αριθμός e

Εκθετική Συνάρτηση
Αριθμός e

Αριθμός e

Αριθμός e

Αριθμός e

Υπερβατικός Αριθμός

---

Αριθμός π
Αριθμός e

Αριθμός e
Εκθετική Συνάρτηση
Μαθηματική Παράγωγος

Αριθμός π
Αριθμός e
Αριθμός φ

Φυσική
Σταθερά
Φυσική Σταθερά
Μαθηματική Σταθερά

---

Φυσικές Σταθερές
Μαθηματικές Σταθερές

---

Φυσικό Μέγεθος
Μαθηματικό Μέγεθος

---

Μονάδα Μέτρησης
Αριθμός

Απόλυτη Τιμή

---

Φανταστική Μονάδα
Αριθμός e
Αριθμός π

Διακριτά Μαθηματικά
Αριθμητική
Αριθμοθεωρία
Αριθμός
Μαθηματική Πράξη
Τελεστής

O αριθμός e είναι ένας Άρρητος Αριθμός και ταυτόχρονα η βάση των φυσικών ή νεπέριων λογαρίθμων. Συχνά καλείται και αριθμός Euler ή σταθερά Napier.

Ετυμολογία

Αριθμοί
Α. Αριθμοσύνολα
Φυσικός Αριθμός Number Ακέραιος Αριθμός Number Ρητός Αριθμός Number Άρρητος Αριθμός Number Υπερβατικός Αριθμός Number Πραγματικός Αριθμός Number Φανταστικός Αριθμός Number Μιγαδικός Αριθμός Number Άρτιος Αριθμός Number Περιττός Αριθμός Number Θετικός Αριθμός Number Αρνητικός Αριθμός Number --- Αλγεβρικός Αριθμός Number Πρώτος Αριθμός Number
Β. Ειδικοί Αριθμοί
Μηδενικός Αριθμός Number Μοναδιαίος Αριθμός Number Αριθμός i Number Αριθμός π Number Αριθμός e Number
Γ. Άλλοι Αριθμοί
Αντίστροφος Αριθμός Number Αντίθετος Αριθμός Number Ασύμμετρος Αριθμός Number Περιοδικός Αριθμός Number Απεριοδικός Αριθμός Number Δεκαδικός Αριθμός Number Κλασματικός Αριθμός Number Σιμμιγής Αριθμός Number Κβαντικός Αριθμός Number Μαγικός Αριθμός Number Χρυσός Αριθμός Number Αποκαλυπτικός Αριθμός Number
Δ. Ψηφία
Ένα Number Δύο Number Τρία Number Τέσσερα Number Πέντε Number Έξι Number Επτά Number Οκτώ Number Εννέα Number Δέκα Number Εκατό Number Χίλια Number Εκατομμύριο Number

Η ονομασία "e" σχετίζεται ετυμολογικά με την λέξη "[[]]".

Εισαγωγή

Eίναι ένας από τους σημαντικότερους αριθμούς στα μαθηματικά. Υπάρχει μια ποικιλία ισοδύναμων ορισμών του αριθμού e.

Η αριθμητική τιμή του, με προσέγγιση τριακοστού δεκαδικού ψηφίου, είναι:

e ≈ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352

Ορισμός

O πιο συχνός στην βιβλιογραφία ορισμός είναι ο εξής:

Ο αριθμός e είναι το όριο της ακολουθίας

$e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n} \right)^{n}$

Ανατοκισμός

Εδώ αξίζει να σημειώσουμε ότι ο παραπάνω όρος εμφανίζεται στο πρόβλημα του ανατοκισμού. Συγκεκριμένα είναι το ποσό που θα εισπράξει κάποιος ο οποίος καταθέτει σήμερα μία νομισματική μονάδα μετά από n περιόδους με n περιόδους τοκισμού σε κάθε περίοδο.

Αν πάρουμε την οριακή περίπτωση ο αριθμός των περιόδων να τείνει στο άπειρο τότε θα εισπράξουμε e νομισματικές μονάδες και όχι άπειρα χρήματα που ίσως θα περιμέναμε! Το πρόβλημα σε αυτή τη διάσταση μελέτησε ο Jacob Bernoulli ο οποίος έδειξε ότι το ανάπτυγμα σε απειροσειρά του $(1+ \frac{1}{n} )^n$ συγκλίνει σε ένα αριθμό στο διάστημα (2,3)

Εκθετική Συνάρτηση

Η εκθετική συνάρτηση, από την στιγμή του ορισμού της έγινε μία από τις διασημότερες (αν όχι η διασημότερη) συνάρτηση. Η συνάρτηση αυτή έχει την εξαιρετική ιδιότητα να ισούται με την παράγωγο της. Αυτό σημαίνει ότι έχει σταθερό ρυθμό μεταβολής (ή σταθερή ένταση) κάτι το οποίο συναντάμε σε πάρα πολλές εφαρμογές ως το πρώτο βήμα για να δομήσουμε πιο πολύπλοκα μοντέλα.

Η συνάρτηση $f(x)= e^x$ προσεγγίζεται μέσω του αναπτύγματος της σειράς

$\sum_{k=0}^\infty\frac{k^x}{k!}$

Σχέση Euler

O Euler κατελήξε στην παρακάνω σχέση για έναν φανταστικό αριθμό

$e^{ix}=\cos x + i\sin x$

Για να δείξει το παραπάνω αποτέλεσμα ο Euler έκανε κάποια λάθη στον χειρισμό των σειρών που ανέπτυξε αλλά το αποτέλεσμα παραμένει.

Αν θέσουμε

$x = \pi$

παίρνουμε

$e^{i\pi}=-1 \Leftrightarrow e^{i\pi} + 1 = 0$

Η τελευταία σχέση είναι γνωστή ως εξίσωση Euler και είναι μία από τις σημαντικότερες στην φιλοσοφία των Μαθηματικών. Συνδέει τις σταθερές e,$\pi$,i με την μονάδα και το μηδέν! Πέραν από την φιλοσοφία, η σχέση αυτή πρόσφερε κάτι παραπάνω.

Χρησιμοποιήθηκε στην απόδειξη ότι ο αριθμός π είναι υπερβατικός, δηλαδή ότι δεν αποτελεί λύση κάποιας πολυωνυμικής εξίσωσης. Τέτοιος αριθμός είναι και ο $e$.

Πρόταση: Για $n$ διαφορετικούς αλγεβρικούς αριθμούς $a_1,a_2,..,a_n$ και επίσης αλγεβρικούς αριθμούς $A_1,A_2,..,A_n$ όχι όλους ίσους με το μηδέν η παράσταση

$A_1e^a_1+A_2e^a_2+..+A_ne^a_n$

δεν ισούται με το μηδέν.(Λιντερμαν)

Η εξίσωση Euler όμως δίνει ένα τέτοιο αποτέλεσμα για τον αριθμό $i\pi$ άρα και για τον $\pi$.

Συνεπώς, ο $\pi$ είναι υπερβατικός. Αυτό αποτέλεσε και τη λύση του προβλήματος του τετραγωνισμού του κύκλου.

Εσωτερική Αρθρογραφία

• Εκθετική Συνάρτηση
• Αριθμός
• Αριθμοσύνολο
• ανατοκισμός

Βιβλιογραφία

• "e: Η Ιστορία ενός Αριθμού", Eli Maor, Εκδόσεις Κάτοπτρο

Ιστογραφία

• The number e to 1 million places and 2, 5 or 10 million places
• Earliest Uses of Symbols for Constants
• e the EXPONENTIAL - the Magic Number of GROWTH - Keith Tognetti, University of Wollongong, NSW, Australia
• the Base of Natural Logarithms
• "Αριθμός e: Πανταχού παρών", Κων. Μπενάς
• Ο πολυσχιδής e
• Ο αριθμός του Όιλερ (Euler's number), ctzegkas.blogspot.com
• aftermathsgr.wordpress.com

Κίνδυνοι Χρήσης

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη, την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει. "Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο, η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης" του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει." Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς, και για μακρά χρονική περίοδο, αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία, ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε. Επίσης, Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)" (όχι μόνον, της Sciencepedia αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)), αν και άκρως απαραίτητοι, είναι αδύνατον να ελεγχθούν (λόγω της ρευστής φύσης του Web), και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο. Ο αναγνώστης πρέπει να είναι εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

---

>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)

---