Κωνοειδής Καμπύλη

Κωνική Τομή

Conics

Τετραγωνικές Επιφάνειες (quadrics)

Κωνική Τομή

Κωνική Τομή

εκκεντρότητα

εκκεντρότητα

- Μία Καμπύλη.

Ετυμολογία

Η ονομασία "Κωνική" σχετίζεται ετυμολογικά με την λέξη "κώνος".

Εισαγωγή

Οι διαπρεπέστερες Κωνικές Τομές.

Κωνική Καμπύλη

Κωνική τομή ονομάζεται μία καμπύλη που προκύπτει από την τομή κώνου και επιπέδου, ή ακριβέστερα, από την τομή ενός επιπέδου με δύο ίσες ορθές άπειρες κωνικές επιφάνειες που έχουν κοινό άξονα και συνδέονται στην κορυφή τους (ο ένας κώνος εφαρμόζει "αναποδογυρισμένος" πάνω στην κορυφή του άλλου).

Όλες οι καμπύλες (μέχρι δεύτερης τάξης) στο επίπεδο είναι κωνικές τομές.

Στην Αναλυτική Γεωμετρία η γενική εξίσωση μιας κωνικής τομής είναι

$a \cdot {\color{red}{x^2}} + b \cdot {\color{red}{x y}} + c \cdot {\color{red}{y^2}} + d \cdot {\color{red}{x}} + e \cdot {\color{red}{y}} + f = 0$

Κωνικές Τομές Επιπέδου

Οι τρείς κωνικές τομές: Έλλειψη, Παραβολή, Υπερβολή

Οι κωνικές τομές είναι:

Επίπεδα Ελλειψοειδή

• η Έλλειψη

${x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} = 1$

• Φανταστική Έλλειψη (Imaginary Ellipse = Μη-Έκλειψη)

${x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} = -1$

• Ζεύγος Φανταστικών Τεμνόμενων Ευθειών (Εκφυλισμένη Έκλειψη = Ένα Σημείο)

${x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} = 0$

Επίπεδα Υπερβολοειδή

• Υπερβολή (τύπος Α)

${x^2 \over a^2} - {y^2 \over b^2} = 1$

• Υπερβολή (τύπος Β)

${x^2 \over a^2} - {y^2 \over b^2} = -1$

• Επίπεδος Κώνος (Εκφυλισμένη Υπερβολή = Ζεύγος Πραγματικών Τεμνόμενων Ευθειών)

${x^2 \over a^2} - {y^2 \over b^2} = 0$

Επίπεδα Παραβολοειδή

• Παραβολή (τύπος Α)

${x^2 \over a^2} + {y \over b} = 1$

• Παραβολή (τύπος Β)

${x^2 \over a^2} + {y \over b} = -1$

• Παραβολή (τύπος Γ = Απλή Παραβολή)

${x^2 \over a^2} + {y \over b} = 0$

Επίπεδα Παραβολοειδή (συνέχεια)

• Παραβολή (τύπος Α)

${x^2 \over a^2} - {y \over b} = 1$

• Παραβολή (τύπος Β)

${x^2 \over a^2} - {y \over b} = - 1$

• Παραβολή (τύπος Γ = Απλή Παραβολή)

${x^2 \over a^2} - {y \over b} = 0$

Ευθείες

• Ζεύγος Πραγματικών Παράλληλων Ευθειών

${x^2 \over a^2} = 1$

• Ζεύγος Φανταστικών Παράλληλων Ευθειών ( = Μη-Ευθεία)

${x^2 \over a^2} = - 1$

• Ζεύγος Ταυτιζομένων Ευθειών (Διπλή Ευθεία)

${x^2 \over a^2} = 0$

Κωνικές Τομές Χώρου

Στο χώρο διακρίνουμε 24 τύπους κωνικών. Αλλά 7 από αυτά αποτελούν εκφυλισμένες περιπτώσεις που περιπίπτουν σε άλλους τύπους. Έτσι τελικά έχουμε 17 διακριτά είδη κωνικών τομών.

Ελλειπτικοειδή

• Πραγματικό Ελλειψοειδές (Ellipsoid)

${x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} + {z^2 \over c^2} = 1$

• Φανταστικό Ελλειψοειδές (Imaginary Ellipsoid = Μη-Ελλειψοειδές)

${x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} + {z^2 \over c^2} = -1$

• Φανταστικός Κώνος (Εκφυλισμένο Ελλειψοειδές = Imaginary Cone = One Point)

${x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} + {z^2 \over c^2} = 0$

Υπερβολικοειδή

• Μονόχωνο Υπερβολοειδές (Hyperboloid of one sheet)

${x^2 \over a^2} - {y^2 \over b^2} + {z^2 \over c^2} = 1$

• Δίχωνο Υπερβολοειδές (Hyperboloid of two sheets)

${x^2 \over a^2} - {y^2 \over b^2} + {z^2 \over c^2} = -1$

• Πραγματικός Κώνος (Εκφυλισμένο Υπερβολοειδές = Cone)

${x^2 \over a^2} - {y^2 \over b^2} + {z^2 \over c^2} = 0$

Ελλειπτικό Παραβολοειδές (τρείς τύποι)

• Ελλειπτικό Παραβολοειδές (Elliptic Paraboloid) (τύπος Α)

${x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} + {z \over c} = 1$

• Ελλειπτικό Παραβολοειδές (Elliptic Paraboloid) (τύπος Β)

${x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} + {z \over c} = - 1$

• Ελλειπτικό Παραβολοειδές (Elliptic Paraboloid) (τύπος Γ)

${x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} + {z \over c} = 0$

Υπερβολικό Παραβολοειδές (τρεις τύποι)

• Υπερβολικό Παραβολοειδές (Hyperbolic Paraboloid) (τύπος Α)

${x^2 \over a^2} - {y^2 \over b^2} + {z \over c} = 1$

• Υπερβολικό Παραβολοειδές (Hyperbolic Paraboloid) (τύπος Β)

${x^2 \over a^2} - {y^2 \over b^2} + {z \over c} = - 1$

• Υπερβολικό Παραβολοειδές (Hyperbolic Paraboloid) (τύπος Γ)

${x^2 \over a^2} - {y^2 \over b^2} + {z \over c} = 0$

Ελλειπτικοί Κύλινδροι

• Πραγματικός Ελλειπτικός Κύλινδρος (Elliptic Cylinder)

${x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} = 1$

• Φανταστικός Ελλειπτικός Κύλινδρος ( Imaginary Elliptic Cylinder = Μη-Επίπεδο)

${x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} = -1$

• Ζεύγος Φανταστικών Τεμνόμενων Επιπέδων (Εκφυλισμένος Ελλειπτικός Κύλινδρος = Two Imaginary Intersecting Planes = Μία ευθεία )

${x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} = 0$

Υπερβολικός Κύλινδρος (δύο τύποι)

• Υπερβολικός Κύλινδρος ( Hyperbolic Cylinder) (τύπος Α)

${x^2 \over a^2} - {y^2 \over b^2} = 1$

• Υπερβολικός Κύλινδρος ( Hyperbolic Cylinder) (τύπος Β)

${x^2 \over a^2} - {y^2 \over b^2} = -1$

• Ζεύγος Πραγματικών Τεμνόμενων Επιπέδων (Εκφυλισμένος Υπερβολικός Κύλινδρος)

${x^2 \over a^2} - {y^2 \over b^2} = 0$

Παραβολικός Κύλινδρος (τρείς τύποι)

• Παραβολικός Κύλινδρος ( Parabolic Cylinder) (τύπος Α)

${x^2 \over a^2} + {y \over b} = 1$

• Παραβολικός Κύλινδρος ( Parabolic Cylinder) (τύπος Β)

${x^2 \over a^2} + {y \over b} = -1$

• Παραβολικός Κύλινδρος ( Parabolic Cylinder) (τύπος Γ)

${x^2 \over a^2} + {y \over b} = 0$

Επίπεδα

• Ζεύγος Πραγματικών Παράλληλων Επιπέδων (Two Real Parallel Planes)

${x^2 \over a^2} = 1$

• Ζεύγος Φανταστικών Παράλληλων Επιπέδων ( Two Imaginary Parallel Planes = Μη-Επίπεδο)

${x^2 \over a^2} = - 1$

• Ζεύγος Ταυτιζομένων Επιπέδων (Διπλό Εππίπεδο = Two Coincident Planes)

${x^2 \over a^2} = 0$

Πίνακας

Τύποι Κωνικών Τομών
Ονομασία	Αναπαριστώσα Αλγεβρική Εξίσωση	Θέση "σημαντικού τμήματος" & Τομές με άξονες & Αντίστοιχη Κωνική Τομή
"Ελλειπτικοειδή"
πραγματικό Ελλειψοειδές	${x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} + {z^2 \over c^2} = 1$	Το σημαντικό της τμήμα είναι στο 1ο τεταρτημόριο --- Τέμνει τον άξονα x στο σημείο (a, 0, 0) και τον άξονα y στο σημείο (0, b, 0) και τον άξονα z στο σημείο (0, 0, c) --- Αντιστοιχεί στην Ανακλινή Ευθεία
Ελλειπτικός Κώνος	$\frac{x}{\alpha} + \frac{y}{\beta} = 0$	Βρίσκεται στο 2ο και 4ο τεταρτημόριο --- Τέμνει και τους δύο άξονες x και y στο σημείο (0, 0) --- Αντιστοιχεί στον Δεύτερη Διαγώνια Ευθεία
φανταστικό Ελλειψοειδές	${x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} + {z^2 \over c^2} = -1$	Το σημαντικό της τμήμα είναι στο 3ο τεταρτημόριο --- Δεν τέμνει τους άξονες x, y και z. --- Αντιστοιχεί στην Υποκλινή Ευθεία
Αντίστοιχα "Κυλινδροειδή"
πραγματικός Ελλειπτικός Κύλινδρος	$\frac{x}{\alpha} = 1$	Βρίσκεται στο 1ο και 3ο τεταρτημόριο --- Τέμνει, κάθετα, μόνον τον άξονα x στο σημείο (α, 0) --- Αντιστοιχεί στην Κάθετη Ευθεία
Ζεύγος Καθέτων Επιπέδων	$\frac{x}{\alpha} = 0$	Δεν βρίσκεται σε τεταρτημόριο --- Ταυτίζεται με τον άξονα y και έτσι διέρχεται και από το σημείο (0, 0) --- Αντιστοιχεί στην "Εκφυλισμένη Ευθεία"
φανταστικό Ελλειπτικό Κύλινδρο	$\frac{x}{\alpha} = -1$	Βρίσκεται στο 2ο και 4ο τεταρτημόριο --- Τέμνει, κάθετα, μόνον τον άξονα x στο σημείο (-α, 0) --- Αντιστοιχεί στην Αντικάθετη Ευθεία
"Υπεροβολοειδείς" Ευθείες
Κατακλινής Ευθεία	$\frac{x}{\alpha} - \frac{y}{\beta} = 1$	Το σημαντικό της τμήμα είναι στο 2ο τεταρτημόριο --- Τέμνει τον άξονα x στο σημείο (α, 0) και τον άξονα y στο σημείο (0, -β) --- Αντιστοιχεί στο (μονόχωνο) Ελλειψοειδές
Πρώτη Διαγώνια Ευθεία	$\frac{x}{\alpha} - \frac{y}{\beta} = 0$	Βρίσκεται στο 1ο και 3ο τεταρτημόριο --- Τέμνει και τους δύο άξονες x και y στο σημείο (0, 0) --- Αντιστοιχεί στον (πραγματικό) Υπερβολικό Κώνο
Επικλινής Ευθεία	$\frac{x}{\alpha} - \frac{y}{\beta} = -1$	Το σημαντικό της τμήμα είναι στο 4ο τεταρτημόριο --- Τέμνει τον άξονα x στο σημείο (-α, 0) και τον άξονα y στο σημείο (0, β) --- Αντιστοιχεί στο (δίχωνο) Υπερβολοειδές
Αντίστοιχες "Κυλινδροειδείς" Ευθείες
Παράλληλη Ευθεία	$\frac{y}{\beta} = 1$	Βρίσκεται στο 1ο και 3ο τεταρτημόριο --- Τέμνει, κάθετα, μόνον τον άξονα y στο σημείο (0, β) --- Αντιστοιχεί στον Υπερβολικό Κύλινδρο
Εκφυλισμένη Ευθεία	$\frac{y}{\beta} = 0$	Δεν βρίσκεται σε τεταρτημόριο --- Ταυτίζεται με τον άξονα x και έτσι διέρχεται και από το σημείο (0, 0) --- Αντιστοιχεί στο "Ζεύγος Τεμνομένων Επιπέδων"
Αντιπαράλληλη Ευθεία	$\frac{y}{\beta} = -1$	Βρίσκεται στο 2ο και 4ο τεταρτημόριο --- Τέμνει, κάθετα, μόνον τον άξονα y στο σημείο (0, -β) --- Αντιστοιχεί στον Υπερβολικό Κύλινδρο

Εσωτερική Αρθρογραφία

• Κωνοειδής Επιφάνεια
• Έλλειψη
• Υπερβολή

Ιστογραφία

• Ομώνυμο άρθρο στην Βικιπαίδεια
• Ομώνυμο άρθρο στην Livepedia
• Ομώνυμο άρθρο στην Astronomia
• hpmuseum.org 17 είδη κωνικών
• [ ]

Κίνδυνοι Χρήσης

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη, την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει. "Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο, η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης" του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει." Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς, και για μακρά χρονική περίοδο, αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία, ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε. Επίσης, Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)" (όχι μόνον, της Sciencepedia αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)), αν και άκρως απαραίτητοι, είναι αδύνατον να ελεγχθούν (λόγω της ρευστής φύσης του Web), και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο. Ο αναγνώστης πρέπει να είναι εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

---

>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)

---