Μαθηματικό Όριο

Όριον

Limit

Συναρτησιακή Σύγκλιση
Μαθηματικό Όριο

Συναρτησιακή Σύγκλιση
Μαθηματικό Όριο

Συναρτησιακή Σύγκλιση
Μαθηματικό Όριο

Συναρτησιακή Σύγκλιση
Μαθηματικό Όριο

Συναρτησιακή Σύγκλιση
Μαθηματικό Όριο

Συναρτησιακή Σύγκλιση
Μαθηματικό Όριο

Μαθηματικό Όριο
Συναρτησιακή Σύγκλιση

Συναρτησιακή Σύγκλιση
Μαθηματικό Όριο

Συναρτησιακή Συνέχεια
Μαθηματικό Όριο

Μαθηματικό Όριο
Συναρτησιακή Σύγκλιση

Σύγκλιση Ακολουθίας
Μαθηματικό Όριο

Μαθηματικό Όριο

Μαθηματικό Όριο

Συναρτησιακή Συνέχεια

---

H παράσταση στο β' μέλος δεν είναι συνεχής.
Επομένως δεν είναι παραγωγίσιμη.

---

Η παραπλάνηση βρίσκεται
στην πρώτη ισότητα της εικόνας
που ισχύει μόνον αν x = φυσικός αριθμός

---

Όμως, στην περίπτωση αυτή
η συνάρτηση x^2 γίνεται κλιμακωτή
οπότε παραβιάζεται η συνέχεια
οπότε η παραγώγιση είναι αδύνατη.

Με τον όρο όριο στα Μαθηματικά, νοείται η διαρκής προσέγγιση ενός σημείου ή, διαφορετικά, η διαρκής μείωση μιας απόστασης, χωρίς όμως ποτέ αυτή να μηδενίζεται.

Ετυμολογία

Η ονομασία "όριο" σχετίζεται ετυμολογικά με την λέξη "όρος".

Εισαγωγή

Συνήθως, η έννοια του ορίου χρησιμοποιείται για να περιγραφεί η συμπεριφορά μιας συνάρτησης καθώς το όρισμά της πλησιάζει κάποιο σημείο ή καθώς μεγαλώνει (αντίστοιχα μειώνεται) απεριόριστα. Η έννοια του ορίου συνάρτησης περιλαμβάνει και την έννοια του ορίου ακολουθίας όπου εκεί η έννοια του ορίου χρησιμοποιείται για να περιγράψουμε τη συμπεριφορά της ακολουθίας καθώς ο δείκτης της αυξάνεται απεριόριστα.

τρείς περιπτώσεις:

• Συναρτησιακή Σύγκλιση (convergence)
• Συναρτησιακή Απόκλιση (divergence)
• Συναρτησιακή Αοριστία (inconclusiveness)

Όριο ακολουθίας

Μια ακολουθία έχει κάποιο όριο ή συγκλίνει σ'εναν αριθμό, όταν οι όροι της πλησιάζουν όλο και περισσότερο τον αριθμό αυτό. Ένα παράδειγμα μιας τέτοιας ακολουθίας είναι η

$a_n = \frac{1}{n}$ όπου $a_{1}=1,...,a_{5}={\frac {1}{5}},...,a_{50}={\frac {1}{50}},...,a_{500}={\frac {1}{500}}...$

Παρατηρείται ότι όσο ο δείκτης της ακολουθίας μεγαλώνει, η τιμή του αντίστοιχου όρου της ακολουθίας μικραίνει και συγκεκριμένα τείνει προς το μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι το όριο της ακολουθίας αυτής είναι το 0 ή, διαφορετικά, η ακολουθία συγκλίνει στο μηδέν.

Σύγκλιση ακολουθίας σε πραγματικό αριθμό

Σύμφωνα με τον αυστηρό ορισμό, αν $(a_n)_ {n \in \mathbb{N}}$ είναι μία πραγματική ακολουθία και α ένας Πραγματικός Αριθμός τότε λέμε ότι ο αριθμός α είναι όριο της ακολουθίας $(a_n)_ {n \in \mathbb{N}}$ ή ότι η ακολουθία $(a_n)_ {n \in \mathbb{N}}$ συγκλίνει στον αριθμό α αν και μόνο αν για κάθε θετικό πραγματικό αριθμό ε > 0 υπάρχει τουλάχιστον ένα n₀=n₀(ε) τέτοιο, ώστε για κάθε n>n₀ να ισχύει

$|a_{n}-a|<\epsilon \Leftrightarrow -\epsilon <a_{n}-a<\epsilon \Leftrightarrow a_{n}\in (a-\epsilon ,a+\epsilon )$

και συμβολίζεται

$\lim_{n \to \infty} a_n = a$ ή $\lim a_{n}=a$ ή $a_n \rightarrow a$.

Αυτό σχηματικά σημαίνει ότι αν επιλέξουμε μια περιοχή του α, μετά από κάποιον όρο της ακολουθίας όλοι οι επόμενοι θα βρίσκονται μέσα στην περιοχή αυτή. Μάλιστα, σύμφωνα με τον ορισμό, αυτό μπορεί να γίνει για οποιοδήποτε θετικό ε επιλέξουμε, όσο μικρό κι αν είναι, δηλαδή για οποιαδήποτε περιοχή του α, όσο μικρή κι αν είναι.

Για την αποφυγή όλων αυτών των συμβόλων, ώστε η διατύπωση του ορισμού να είναι πιο κομψή, χρησιμοποιείται η λέξη «τελικά», η οποία δεν είναι καθόλου ασαφής, ως εξής.

Μια ακολουθία πραγματικών αριθμών $(a_n)_ {n \in \mathbb{N}}$ έχει όριο έναν πραγματικό αριθμό α, αν και μόνο αν για κάθε θετικό πραγματικό ε>0 τελικά ισχύει

$|a_{n}-a|<\epsilon \Leftrightarrow -\epsilon <a_{n}-a<\epsilon \Leftrightarrow a_{n}\in (a-\epsilon ,a+\epsilon )$.

Εδώ, η λέξη «τελικά» σημαίνει «για όλα τα n>n₀, όπου n₀=n₀(ε)», που δείχνει ότι η κύρια πρόταση που ορίζει την έννοια της σύγκλισης μπορεί να μην ισχύει για τους πρώτους όρους της ακολουθίας, αλλά, αν υπάρχει το όριο, τότε σίγουρα, μετά από κάποιον όρο της ακολουθίας, για όλους τους επόμενους (δηλαδή τους τελικούς) θα ισχύει η πρόταση αυτή.

Μια ακολουθία $(a_n)_ {n \in \mathbb{N}}$ ονομάζεται μηδενική, όταν συγλίνει στο 0, δηλαδή όταν για κάθε θετικό πραγματικό αριθμό ε > 0 υπάρχει τουλάχιστον ένα n₀=n₀(ε) τέτοιο, ώστε για κάθε n>n₀ να ισχύει

$|a_{n}|<\epsilon \Leftrightarrow -\epsilon <a_{n}<\epsilon \Leftrightarrow a_{n}\in (-\epsilon ,\epsilon )$

Έτσι, η συγκλίνουσα ακολουθία θα μπορούσε να αποδοθεί με την χρήση της έννοιας της μηδενικής ακολουθίας: Μια πραγματική ακολουθία $(a_n)_ {n \in \mathbb{N}}$ συγκλίνει σ'έναν πραγματικό αριθμό α, όταν η ακολουθία $(a_{n}-a)$ είναι μηδενική.

$a_{n}\rightarrow a\Leftrightarrow (a_{n}-a)\rightarrow 0$

Μοναδικότητα του όριου ακολουθίας

Αν μια ακολουθία πραγματικών αριθμών συγκλίνει σε κάποιον πραγματικό αριθμό, τότε το όριό της αυτό είναι μοναδικό.

Έστω ότι μια ακολουθία $(a_n)_ {n \in \mathbb{N}}$ έχει δύο όρια, τα α και β τα οποία δεν είναι ίσα μεταξύ τους. Τότε, με την χρήση του ορισμού του ορίου ακολουθίας, έχουμε

$(a_{n}\rightarrow a)\Leftrightarrow (\forall \epsilon >0,\exists n_{1}=n_{1}(\epsilon )\in \mathbb {N} :\forall n>n_{1},|a_{n}-a|<\epsilon$

και

$(a_{n}\rightarrow \beta )\Leftrightarrow (\forall \epsilon >0,\exists n_{2}=n_{2}(\epsilon )\in \mathbb {N} :\forall n>n_{2},|a_{n}-\beta |<\epsilon$.

Έστω τώρα, ο Φυσικός Αριθμός n₀ ο οποίος είναι ο μεγαλύτερος των n₁ και n₂, δηλαδή, n₀=max{n₁, n₂}, τότε κάνοντας μια πρόσθεση, έχουμε

$\forall \epsilon >0,\exists n_{0}:|a_{n}-a|+|a_{n}-\beta |<2\epsilon$.

Από την τριγωνική ανισότητα όμως, είναι γνωστό ότι $|(a_{n}-a)-(a_{n}-\beta )|<|a_{n}-a|+|a_{n}-\beta |$ άρα, μπορούμε να γράψουμε

$|(a_{n}-a)-(a_{n}-\beta )|<2\epsilon \Leftrightarrow |a-\beta |<2\epsilon$

και η τελευταία σχέση ισχύει για κάθε ε>0, οσοδήποτε μικρό. Αφού έχουμε την ελευθερία να επιλέξουμε όποιο ε θέλουμε, θέτουμε

$\epsilon ={\frac {|a-\beta |}{2}}$.

Η κίνηση αυτή είναι επιτρεπτή αφού αρχικά ορίσαμε $a\not =\beta$, άρα το ε θα είναι θετικό. Αντικαθιστώντας στην προηγούμενη σχέση, προκύπτει ότι |α-β|<|α-β|, κάτι που προφανώς είναι άτοπο. Κατά συνέπεια, θα ισχύει α=β, δηλαδή η ακολουθία έχει ένα όριο.

Θα μπορούσε, βέβαια, να μην χρειασθεί να οριστεί μια συγκεκριμένη τιμή για το ε, αφού από την στιγμή που ισχύει |α-β|<2ε για κάθε ε>0, οσοδήποτε μικρό, μέχρι και αμελητέο, συμπεραίνει κανείς ότι α=β.

Σύγκλιση ακολουθίας στο $+\infty$ ή στο $-\infty$

Αν $\{a_{\nu }\}_{\nu \in \mathbb {N} }$ είναι μία πραγματική ακολουθία τότε λέμε ότι το $+\infty$ είναι όριο της ακολουθίας ή ακόμα ότι η ακολουθία $\{a_{\nu }\}_{\nu \in \mathbb {N} }$ έχει όριο το $+\infty$ αν και μόνο αν για κάθε πραγματικό αριθμό λ > 0 η ακολουθία $\{a_{\nu }\}_{\nu \in \mathbb {N} }$ έχει τελικά την ιδιότητα:

$\ a_{\nu }\in (\lambda ,+\infty )$, ή ισοδύναμα $\ \lambda <a_{\nu }<+\infty$

και το συμβολίζουμε με:

$\lim _{\nu \to \infty }a_{\nu }\ =+\infty$ ή με $\lim a_{\nu }\ =+\infty$ ή ακόμα με $a_{\nu }\rightarrow +\infty$

Αν $\{a_{\nu }\}_{\nu \in \mathbb {N} }$ είναι μία πραγματική ακολουθία τότε λέμε ότι το $-\infty$ είναι όριο της ακολουθίας ή ακόμα ότι η ακολουθία $\{a_{\nu }\}_{\nu \in \mathbb {N} }$ έχει όριο το $-\infty$ αν και μόνο αν για κάθε πραγματικό αριθμό λ > 0 η ακολουθία $\{a_{\nu }\}_{\nu \in \mathbb {N} }$ έχει τελικά την ιδιότητα:

$\ a_{\nu }\in (-\infty ,\lambda )$, ή ισοδύναμα $\ -\infty <a_{\nu }<\lambda$

και το συμβολίζουμε με:

$\lim _{\nu \to \infty }a_{\nu }\ =-\infty$ ή με $\lim a_{\nu }\ =-\infty$ ή ακόμα με $a_{\nu }\rightarrow -\infty$

Αν μία ακολουθία έχει όριο και το όριο αυτό είναι πραγματικός αριθμός, τότε λέμε ότι η ακολουθία συγκλίνει και την ονομάζουμε συγκλίνουσα. Αν μια ακολουθία έχει όριο το $+\infty$ ή το $-\infty$ τότε λέμε ότι αποκλίνει και την ονομάζουμε αποκλίνουσα.

Στη γενική περίπτωση ένος Μετρικού Χώρου Μ, και όχι συγκεκριμένα του $\R$, ο ορισμός είναι αντίστοιχος και η απόσταση ορίζεται από τη μετρική του χώρου αυτού.

Όριο συνάρτησης

Γενικότερα για μία συνάρτηση η έννοια του ορίου μπορεί να οριστεί με βάση το όριο ακολουθίας. Δηλαδή, μία συνάρτηση f(x) έχει όριο το σημείο α, του x τείνοντος στο σημείο c, αν για οποιαδήποτε ακολουθία $x_\nu$ που έχει όριο το c, η ακολουθία $f(x_{\nu })$ έχει όριο το α. Συμβολικά:

$\lim _{x\to c}f(x)=a\iff \forall$ ακολουθία $(x_{\nu })_{\nu \in \mathbb {N} }$ με $\lim _{\nu \to \infty }x_{\nu }=c$ ισχύει $\lim _{\nu \to \infty }f(x_{\nu })=a$.

O κλασσικός ορισμός του ορίου πραγματικής συνάρτησης είναι ο εξής: To όριο της $f(x)$ όταν το x τείνει στο c ειναι ίσο με α, ανν για κάθε ε θετικό υπάρχει δ θετικό, τέτοιο ώστε αν το x έχει απόσταση από το c μικρότερη του δ, τότε να συνεπάγεται ότι η απόσταση του f(x) από το α είναι μικρότερη του ε. Αν δηλαδή το x ανήκει σε μια περιοχή του c, τότε το f(x) ανήκει σε μια περιοχή του α και αυτό ισχύει οσοδήποτε μικρή και αν είναι η περιοχή του α που θα διαλέξουμε. Συμβολικά:

$\lim _{x\to c}f(x)=a\iff \forall \varepsilon >0\;\exists \delta >0$ τέτοιο ώστε: $|x-c|<\delta \Rightarrow |f(x)-a|<\varepsilon$.

Στη γενική περίπτωση συνάρτησης $f:(M,d_{M})\to (N,d_{N})$ μεταξύ δύο μετρικών χώρων το όριο ορίζεται ως εξής:

$\lim _{x\to c}f(x)=a\iff \forall \varepsilon >0\;\exists \delta >0$ τέτοιο ώστε: $d_{M}(x,c)<\delta \Rightarrow d_{N}(f(x),a)<\varepsilon$.

Ιδιότητες ορίων

Έστω οι συναρτήσεις f(x) και g(x). Τότε, αν και μόνο αν υπάρχουν τα όρια για τις f και g ξεχωριστά, ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες:

• Το όριο του αθροίσματος ισούται με το άθροισμα των ορίων.

$\lim _{x\to c}(f(x)+g(x))=\lim _{x\to c}f(x)+\lim _{x\to c}g(x)$

• Το όριο του γινομένου ισούται με το γινόμενο των ορίων.

$\lim _{x\to c}(f(x)\cdot g(x))=\lim _{x\to c}f(x)\cdot \lim _{x\to c}g(x)$

• Αν $g(x)\not =0$, τότε ισχύει και η παρακάτω ιδιότητα:

$\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\lim _{x\to c}f(x)}{\lim _{x\to c}g(x)}}$

• Το όριο του απολύτου ισούται με το απόλυτο του ορίου.

$\lim _{x\to c}|f(x)|=|\lim _{x\to c}f(x)|$

• Τέλος, ισχύει

$\lim _{x\to c}\lambda f(x)=\lambda \lim _{x\to c}f(x)$, αν $\lambda \in \R$.

Εσωτερική Αρθρογραφία

• άπειρο
• συνάρτηση

Ιστογραφία

• Ομώνυμο άρθρο στην Βικιπαίδεια
• Ομώνυμο άρθρο στην Livepedia
• [ ]
• [ ]

Κίνδυνοι Χρήσης

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη, την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει. "Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο, η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης" του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει." Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς, και για μακρά χρονική περίοδο, αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία, ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε. Επίσης, Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)" (όχι μόνον, της Sciencepedia αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)), αν και άκρως απαραίτητοι, είναι αδύνατον να ελεγχθούν (λόγω της ρευστής φύσης του Web), και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο. Ο αναγνώστης πρέπει να είναι εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

---

>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)

---