Υπάρχουν συνδέσεις μεταξύ γεωμετρίας Riemann, των θεωριών βαθμίδας και της κβαντομηχανικής.
Οι συνδέσεις μεταξύ της θεωρίας βαθμίδας και της γεωμετρίας αναφέρονται σχεδόν σε κάθε εγχειρίδιο για την κβαντική θεωρία πεδίου. Δεν αναφέρεται συχνά πώς μπορεί να απεικονιστεί αυτή η γεωμετρία.
Οι θεωρίες βαθμίδας μπορούν να εκφραστούν χρησιμοποιώντας τις κατασκευές Κυρίων Δεσμών. Οι Κύριες Δέσμες ορίζονται σε σχέση με μια ομάδα συμμετρίας και μπορεί κάποιος να έχει διακριτές αναπαραστάσεις της ομάδας συμμετρίας που δρα σε διαφορετικά αντικείμενα στη θεωρία.
Λόγω των πολλαπλών αναπαραστάσεων, δεν μπορεί κάθε Κύρια Δέσμη να αντιστοιχισθεί ξανά σε μια ενιαία κατασκευή Διανυσματικής Δέσμης.
Αντίθετα, η παραδοσιακή Γενική Σχετικότητα ορίζεται περί την αναλλοίωτη αναπαραμετροποίηση συντεταγμένων, που συνήθως αναπαρίσταται σε μια Διανυσματική Δέσμη.
Όλα τα διανυσματικά αντικείμενα είναι τμήματα της ίδιας δέσμης διανυσμάτων.
Για αυτόν τον λόγο, η Διανυσματική Δέσμη που σχετίζεται με τον εφαπτομενικό χώρο είναι σχετικά εύκολο να κατανοηθεί, ειδικά όταν θεωρείται ως ένας εμβαπριζόμενος χώρος.
Μια φυσική βάση για τον εφαπτομενικό χώρο παρέχεται από τις χωροχρονικές συντεταγμένες.
Τα διανύσματα είναι γεωμετρικά αντικείμενα στον εφαπτομενικό χώρο που μπορούν να εκφραστούν με όρους διαφορετικών επιλογών βάσης, αλλά το ίδιο το διάνυσμα είναι ένα αντικείμενο ανεξάρτητο από τη βάση.
Αν και δεν μπορεί κανείς να σκεφτεί εύκολα σε περισσότερες από τρεις διαστάσεις, η γεωμετρία του Riemann με τη βοήθεια ενός εμβαπτισμένου χώρου παρέχει ένα οπτικό εργαλείο για την κατανόηση της γεωμετρικής σημασίας της καμπυλότητας που οδηγεί στη βαρυτική δύναμη.
Τι γίνεται όμως με τη γεωμετρική σημασία της θεωρίας βαθμίδας;
Οι Κύριες Δέσμες προσθέτουν μεγάλη δομή πέραν από τις διανυσματικές δέσμες στην καρδιά της αναλλοίωτης επαναπαραμετροποίησης συντεταγμένων στη γενική σχετικότητα.
Ο Cahill και εγώ χρησιμοποιήσαμε μια κατασκευή διανυσματικής δέσμης, που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, η οποία από πολλές απόψεις παραλληλίζει τη γεωμετρία του Riemann με έναν εμβαπτιζόμενο χώρο, για να αναπαραστήσουμε οπτικά τις ποσότητες που είναι αναλλοίωτες ως προς το βαθμίδα.
Χρησιμοποιούμε μια τετριμμένη δέσμη ως τύπο χώρου ενσωμάτωσης. Αυτή η τετριμμένη δέσμη επιτρέπει σε κάποιον να συγκρίνει διανύσματα σε διαφορετικά χωροχρονικά σημεία.
Η ιδέα είναι ανάλογη με την εμβάπτιση μιας δισδιάστατης σφαίρας σε τρισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο για να κατανοήσουμε τον ρόλο της παράλληλης μεταφοράς στις συναλλοίωτες παραγώγους της γεωμετρίας του Riemann.
Έχουμε μελετήσει κυρίως θεωρίες βαθμίδας U(1) που αναπαρίστανται ως θεωρίες βαθμίδας SO(2).
Αυτό που κανονικά θα θεωρούσαμε ως ίνα gauge SO(2) θεωρείται τώρα ως μια δισδιάστατη πραγματική διανυσματική δέσμη που εισάγεται μέσα στην τετριμμένη διανυσματική δέσμη μεγαλύτερης διάστασης.
Η κυματοσυνάρτηση είναι ένα αμετάβλητο ως προς το gauge διανυσματικό πεδίο από τον χώρο ενσωμάτωσης που μπορεί να περιγραφεί με όρους οποιασδήποτε βάσης που εκτείνεται στην δισδιάστατη ίνα gauge.
Ένας μετασχηματισμός gauge αλλάζει τη βάση με την οποία περιγράφεται η ίνα gauge.
Η μεταβολή της ίνας gauge σε διαφορετικά χωροχρονικά σημεία εκδηλώνεται ως ηλεκτρικά και μαγνητικά πεδία.
Όπως εξηγείται στις παρακάτω εργασίες, αυτή η καμπυλότητα προκαλεί ηλεκτρικές και μαγνητικές δυνάμεις.
Η γεωμετρική φύση παρέχει επίσης μια γεωμετρική εξήγηση για την πανταχού παρουσία του φορτίου των ηλεκτρονίων στη φύση.
There are connections between Riemannian geometry, gauge theories, and quantum mechanics. The connections between gauge theory and geometry are mentioned in nearly every textbook on quantum field theory. How this geometry can be visualized is not often mentioned.
Gauge theories can be expressed using the principal bundle constructions. Principal bundles are defined with respect to a symmetry group, and one can have a distinct representations of the symmetry group act on different objects in the theory. Because of the multiple representations, not every principle bundle can be mapped back into a single vector bundle construction.
In contrast, traditional general relativity is defined around coordinate reparameterization invariance, typically represented on a vector bundle. All vector objects are sections of the same vector bundle. For this reason, the vector bundle associated with the tangent space is relatively easy to understand, especially when thought of in terms of an embedding space. A natural basis for the tangent space is provided by space-time coordinates. Vectors are geometrical objects on the tangent space that can be expressed in terms of different basis choices, but the vector itself is a basis-independent object. Although one cannot think easily in more than three dimensions, Riemannian geometry with the aid of an embedding space provides a visual tool to understand the geometrical significance of the curvature that leads to gravitational force.
What about the geometrical significance of gauge theory. Principle bundles add a great deal of structure beyond the vector bundles at the heart of coordinate reparameterization invariance in general relativity. Cahill and I used a vector-bundle construction, shown in the figure below, which in many ways parallels Riemannian geometry with an embedding space, to visually represent gauge-invariant quantities. We use a trivial bundle as a type of embedding space. This trivial bundle allows one to compare vectors at different space-time points. The idea is analogous to embedding a 2-dimensional sphere in 3-dimensional Eucledian space to understand the role of parallel transport in the covariant derivatives of Riemannian geometry. We have mostly studied U(1) gauge theories represented as SO(2) gauge theories. What one would normally think of as the SO(2) gauge fibre is now seen as an two-dimensional real vector bundle inserted within the trivial vector bundle of larger dimension. The wave-function is gauge-invariant vector field from the embedding space that can be described in terms of any basis that spans the two-dimensional gauge fibre. A gauge transformation changes the basis by which one describes the gauge fibre. The variation of the gauge-fibre at different space-time points manifests itself as electric and magnetic fields. As explained in the papers below, this curvature gives rise to electric and magnetic forces. The geometrical nature also provides a geometrical explanation for the ubiquity of the electrons charge in nature.