Γεωμετρία Klein

Γεωμετρία Klein

Kleinian Geometry

Γεωμετρία Klein

- Ένα Μαθηματικό Δόμημα της Τοπολογίας.

Ετυμολογία

Η ονομασία "Kleinian" σχετίζεται ετυμολογικά με το όνομα "Klein".

Περιγραφή

Το 1872 ο γερμανός μαθηματικός Felix Klein ανέπτυξε τη θεωρία του για τη Γεωμετρία με τη βοήθεια των μετρικών χώρων και των αλγεβρικών δομών, που προσφάτως είχαν εισαχθεί στα μαθηματικά.

H θεωρία αυτή διατυπώθηκε στο λεγόμενο πρόγραμμα Erlangen.

Έτσι, λοιπόν, η Γεωμετρία απαλλασσόταν από την εποπτεία, η οποία τη συνόδευε από τα αρχαία εποχή και βάδιζε σε εντελώς θεωρητικά πλαίσια.

Έστω ένα μη κενό σύνολο Χ και το σύνολο των απεικονίσεων επί του Χ, Β(Χ)={f/ f: X-->X, όπου f 1-1 και επί}.

Το σύνολο Β(Χ) εφοδιασμένο με πράξη τη σύνθεση συναρτήσεων "ο" είναι ομάδα.

Αν θεωρήσουμε την G μια υποομάδα της Β(Χ) με πράξη τη σύνθεση (G, o), τότε Γεωμετρία κατά Klein είναι το ζεύγος (G,X).

O Klein καθόρισε ως αντικείμενο της Γεωμετρίας, την μελέτη των ιδιοτήτων των σχημάτων του Χ (μη κενών υποσυνόλων), που παραμένουν αναλλοίωτες ως προς την G.

Μία ιδιότητα του σχήματος S υποσυνόλου του X, λέμε ότι παραμένει αναλλοίωτη ως προς το G, αν το f(S) έχει την ιδιότητα αυτή για κάθε f που ανήκει στο G.

Αργότερα ο Γάλλος μαθηματικός Elie Cartan γενίκευσε το πρόγραμμα του Klein και με τη βοήθειά του γενικεύθηκε και η Γεωμετρία Riemann.

---

In mathematics, a Klein geometry is a type of geometry motivated by Felix Klein in his influential Erlangen program.

More specifically, it is a homogeneous space X together with a transitive action on X by a Lie group G, which acts as the symmetry group of the geometry.

For background and motivation see the article on the Erlangen program.

Formal definition

A Klein geometry is a pair (G, H) where G is a Lie group and H is a closed Lie subgroup of G such that the (left) coset space G/H is connected. The group G is called the principal group of the geometry and G/H is called the space of the geometry (or, by an abuse of terminology, simply the Klein geometry). The space X = G/H of a Klein geometry is a smooth manifold of dimension

dim X = dim G − dim H.

There is a natural smooth left action of G on X given by

$g\cdot (aH)=(ga)H.$

Clearly, this action is transitive (take a = 1), so that one may then regard X as a homogeneous space for the action of G. The stabilizer of the identity coset H ∈ X is precisely the group H.

Given any connected smooth manifold X and a smooth transitive action by a Lie group G on X, we can construct an associated Klein geometry (G, H) by fixing a basepoint x₀ in X and letting H be the stabilizer subgroup of x₀ in G. The group H is necessarily a closed subgroup of G and X is naturally diffeomorphic to G/H.

Two Klein geometries (G₁, H₁) and (G₂, H₂) are geometrically isomorphic if there is a Lie group isomorphism φ : G₁ → G₂ so that φ(H₁) = H₂. In particular, if φ is conjugation by an element g ∈ G, we see that (G, H) and (G, gHg⁻¹) are isomorphic. The Klein geometry associated to a homogeneous space X is then unique up to isomorphism (i.e. it is independent of the chosen basepoint x₀).

Bundle description

Given a Lie group G and closed subgroup H, there is natural right action of H on G given by right multiplication. This action is both free and proper. The orbits are simply the left cosets of H in G. One concludes that G has the structure of a smooth principal H-bundle over the left coset space G/H:

$H\to G\to G/H.\,$

Types of Klein geometries

Effective geometries

The action of G on X = G/H need not be effective. The kernel of a Klein geometry is defined to be the kernel of the action of G on X. It is given by

$K=\{k\in G:g^{-1}kg\in H\;\;\forall g\in G\}.$

The kernel K may also be described as the core of H in G (i.e. the largest subgroup of H that is normal in G). It is the group generated by all the normal subgroups of G that lie in H.

A Klein geometry is said to be effective if K = 1 and locally effective if K is discrete. If (G, H) is a Klein geometry with kernel K, then (G/K, H/K) is an effective Klein geometry canonically associated to (G, H).

Geometrically oriented geometries

A Klein geometry (G, H) is geometrically oriented if G is connected. (This does not imply that G/H is an oriented manifold). If H is connected it follows that G is also connected (this is because G/H is assumed to be connected, and G → G/H is a fibration).

Given any Klein geometry (G, H), there is a geometrically oriented geometry canonically associated to (G, H) with the same base space G/H. This is the geometry (G₀, G₀ ∩ H) where G₀ is the identity component of G. Note that G = G₀ H.

Reductive geometries

A Klein geometry (G, H) is said to be reductive and G/H a reductive homogeneous space if the Lie algebra $\mathfrak h$ of H has an H-invariant complement in $\mathfrak g$.

Examples

In the following table, there is a description of the classical geometries, modeled as Klein geometries.

	Underlying space	Transformation group G	Subgroup H	Invariants
Euclidean geometry	Euclidean space $E(n)$	Euclidean group $Euc(n)\simeq O(n)\rtimes \mathbb {R} ^{n}$	Orthogonal group $O(n)$	Distances of points, angles of vectors
Spherical geometry	Sphere $S^n$	Orthogonal group $O(n+1)$	Orthogonal group $O(n)$	Distances of points, angles of vectors
Conformal geometry on the sphere	Sphere $S^n$	Lorentz group of an $n+2$ dimensional space $O(n+1,1)$	A subgroup $P$ fixing a line in the null cone of the Minkowski metric	Angles of vectors
Projective geometry	Real projective space $\mathbb {RP} ^{n}$	Projective group $PGL(n+1)$	A subgroup $P$ fixing a flag $\{0\}\subset V_{1}\subset V_{n}$	Projective lines, Cross-ratio
Affine geometry	Affine space $A(n)\simeq \mathbb {R} ^{n}$	Affine group $Aff(n)\simeq GL(n)\rtimes \mathbb {R} ^{n}$	General linear group GL(n)	Lines, Quotient of surface areas of geometric shapes, Center of mass of triangless.
Hyperbolic geometry	Hyperbolic space $H(n)$, modeled e.g. as time-like lines in the Minkowski space $\mathbb {R} ^{1,n}$	Lorentz group $O(1,n)$	$O(1)\times O(n)$	Hyperbolic lines, hyperbolic circles, angles.

Εσωτερική Αρθρογραφία

• Γεωμετρία
• Ευκλείδεια Γεωμετρία
• Υπερβολική Γεωμετρία
• Ελλειπτική Γεωμετρία
• Παραβολική Γεωμετρία
• Προβολική Γεωμετρία

Ιστογραφία

• Ομώνυμο άρθρο στην Βικιπαίδεια
• Ομώνυμο άρθρο στην Livepedia
• [ ]
• [ ]

Κίνδυνοι Χρήσης

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη, την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει. "Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο, η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης" του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει." Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς, και για μακρά χρονική περίοδο, αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία, ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε. Επίσης, Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)" (όχι μόνον, της Sciencepedia αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)), αν και άκρως απαραίτητοι, είναι αδύνατον να ελεγχθούν (λόγω της ρευστής φύσης του Web), και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο. Ο αναγνώστης πρέπει να είναι εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

---

>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)

---