Μέση Τιμή

Μέση Τιμή

mean value

Μέσος Όρος

Μέσος Όρος

Μέσος Όρος

Θεώρημα Μέσης Τιμής

Θεώρημα Μέσης Τιμής

Αριθμητική Μέση Τιμή
Αρμονική Μέση Τιμή
[ Γεωμετρική Μέση Τιμή

Μέσος Όρος

- Ένα μέγεθος

Ετυμολογία

Η ονομασία "Τιμή" σχετίζεται ετυμολογικά με την λέξη " ".

Εισαγωγή

Μέσος όρος ή αλλιώς δειγματική μέση τιμή ενός συνόλου n παρατηρήσεων αποτελεί το σπουδαιότερο και χρησιμότερο μέτρο της Στατιστικής και είναι ένα μέτρο θέσης, δηλαδή δείχνει σχετικά τις θέσεις των αριθμών στους οποίους αναφέρεται.

Η μέση τιμή συμμετέχει σε αρκετούς τύπους της στατιστικής και εξετάζεται σε σχεδόν όλες τις στατιστικές κατανομές.

Γενικά, ορίζεται ως το άθροισμα των παρατηρήσεων δια του πλήθους αυτών. Είναι δηλαδή η μαθηματική πράξη ανεύρεσης της «μέσης απόστασης» ανάμεσα σε δύο ή περισσότερους αριθμούς. Η μέση τιμή συμβολίζεται με $\bar{x}$.

Γενικός τύπος της μέσης τιμής είναι:

${\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}t_{i}={\frac {1}{n}}(t_{1}+\cdots +t_{n})$ ,

όπου:

t_i η i-παρατήρηση και n το πλήθος των παρατηρήσεων

π.χ. 8 + 12 + 40 (3 αριθμοί οπότε :3) = (60:3) = 20

επομένως ο μέσος όρος των 8, 12 και 40 είναι 20.

Αν έχουμε κατηγοριοποιήσει τα δεδομένα σε k κλάσεις τότε ισχύουν και οι εξής τύποι:

${\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{k}(n_{i}x_{i})={\frac {1}{n}}(n_{i}x_{1}+\cdots +n_{k}x_{k})$

${\bar {x}}=\sum _{i=1}^{k}(f_{i}x_{i})=(f_{i}x_{1}+\cdots +f_{k}x_{k})$

όπου: n_i, f_i η i απόλυτη συχνότητα και σχετική συχνότητα αντίστοιχα της κλάσης με κεντρική τιμή x_i

Σύγκριση με άλλα μέτρα θέσης

Μερικά άλλα χαρακτηριστικά μέτρα θέσης είναι η διάμεσος και η Επικρατούσα Τιμή.

Σημαντική διαφορά με τη μέση τιμή είναι ότι η μέση τιμή υπολογίζεται με απλούς αλγεβρικούς τύπους, ενώ για τη διάμεσο και την επικρατούσα τιμή δεν υπάρχουν αλγεβρικοί τύποι.

Επιπλέον, η μέση τιμή επηρεάζεται από ακραίες τιμές, ενώ η διάμεσος όχι.

Η επικρατούσα τιμή δεν εξαρτάται από το πλήθος των παρατηρήσεων που την έχουν, ενώ στη μέση τιμή συνυπολογίζεται και το πλήθος.

Κατά μια δειγματοληψία από πληθυσμό που ακολουθεί την Κανονική Κατανομή αναμένουμε για μεγάλο αριθμό δείγματος αυτά τα τρία να ταυτίζονται μεταξύ τους.

Η καταλληλότερη επιλογή μεταξύ των μέτρων θέσης εξαρτάται από το είδος της κατανομής. Γενικά, καλύτερη εικόνα για την κατανομή σχηματίζεται όσο περισσότερα είναι τα στοιχεία που χρησιμοποιούμε. Η μέση τιμή, όπως και τα υπόλοιπα μέτρα θέσης δεν πληροφορούν για τη διασπορά των παρατηρήσεων γύρω από τις κεντρικές τιμές, για αυτό είναι απαραίτητα και τα μέτρα διασποράς.

Σταθμική Μέση Τιμή

Σταθμικός μέσος ή σταθμισμένος μέσος όρος ονομάζεται το αποτέλεσμα:

${\bar {x}}={\frac {\sum _{i=1}^{k}(w_{i}x_{i})}{\sum _{i=1}^{k}(w_{i})}}={\frac {w_{1}x_{1}+\cdots +w_{k}x_{k}}{w_{1}+\cdots +w_{k}}}$

όπου:

• w_i ονομάζεται συντελεστής βαρύτητας του i στοιχείου x_i

Αυτός ο τύπος βρίσκει σε εφαρμογές όπως ο υπολογισμός της θέσης του κέντρου μάζας στη Φυσική.

Οι συντελεστές βαρύτητας επιτρέπουν την προσαρμογή του μέσου όρου στις ανάγκες μας, ανάλογα με την υφή του προβλήματος.

Μέσοι όροι και ακολουθίες

Ο μέσος όρος όπως ορίσθηκε αρχικά ονομάζεται πληρέστερα αριθμητικός μέσος όρος ή αριθμητικός μέσος (Αριθμητική Μέση Τιμή), επειδή αν τρεις αριθμοί α, β, γ επαληθεύουν τον τύπο του $\beta ={\frac {\alpha +\gamma }{2}}$ αποδεικνύεται ότι είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. Ο αριθμητικός μέσος x των θετικών αριθμών a₁, a₂, ..., a_n είναι:

$x={\frac {a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}}{n}}$

Με παρόμοιο τρόπο αν τρεις θετικοί αριθμοί a, b, b είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου ισχύει ότι

$b={\sqrt {ac}}$.

Ο αριθμός b λέγεται και γεωμετρικός μέσος (Γεωμετρική Μέση Τιμή) των a και c.

Ο γεωμετρικός μέσος b των θετικών αριθμών a₁, a₂, ..., a_n είναι:

$b={\sqrt[{n}]{a_{1}\cdot a_{2}\cdot \ldots \cdot a_{n}}}$

Αν τρεις θετικοί αριθμοί a, b, c είναι διαδοχικοί όροι αρμονικής προόδου ισχύει ότι ${\frac {2}{b}}={\frac {1}{a}}+{\frac {1}{c}}$.

Ο αριθμός b λέγεται και αρμονικός μέσος (Αρμονική Μέση Τιμή) των a και c.

Ο αρμονικός μέσος b των θετικών αριθμών a₁, a₂, ..., a_n είναι:

$b={\frac {n}{{\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{2}}}+\ldots +{\frac {1}{a_{n}}}}}$

Μεταξύ των τριών αυτών μέσων όρων ισχύει η ανισότητα Cauchy:

$b_{1}>b_{2}>b3$,

ενώ αν a₁=a₂=...=a_n, τότε b1=b2=b3, ή πληρέστερα για τους θετικούς αριθμούς a₁, a₂, ..., a_ν ισχύει:

${\frac {a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{\nu }}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{a_{1}\cdot a_{2}\cdot \ldots \cdot a_{n}}}\geq {\frac {n}{{\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{2}}}+\ldots +{\frac {1}{a_{n}}}}}$

Ενεργός Tιμή

Αρκετές φορές στη Φυσική ή Μηχανική δεν ενδιαφέρει ο ίδιος ο αριθμητικός μέσος,
αλλά ο μέσος όρος των τετραγώνων ή άλλης δύναμης του μελετούμενου μεγέθους.

Ως παράδειγμα η μέση Kινητική Eνέργεια ενός μορίου

${\overline {{\frac {1}{2}}mu^{2}}}={\frac {1}{2}}m{\overline {u^{2}}}$,

όπου ενδιαφέρει ο όρος

${\overline {u^{2}}}$

και όχι ο όρος

$({\overline {u}})^{2}$,

ο οποίος είναι μεγαλύτερος από τον προηγούμενο.

Ωστόσο, πολλές φορές υπολογίζονται όροι τύπου ${\sqrt {\overline {u^{2}}}}$, οι οποίοι ονομάζονται ενεργές τιμές.

Για παράδειγμα ο προηγούμενος ονομάζεται u ενεργό και συνήθως συμβολίζεται με u_εν.

Σε τέτοιες περιπτώσεις, ίσως, να μην μπορούμε να προσδιορίσουμε το μέσον όρο, και αντί αυτού χρησιμοποιούμε ως μέτρο θέσης την ενεργή τιμή.

Εσωτερική Αρθρογραφία

• προϊόν
• Προσδοκώμενη Τιμή
• Στατιστική
• δεδομένο

Ιστογραφία

• Ομώνυμο άρθρο στην Βικιπαίδεια
• Ομώνυμο άρθρο στην Livepedia
• Περιγραφή δεδομένων
• videoclip, ddsaki

Κίνδυνοι Χρήσης

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη, την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει. "Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο, η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης" του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει." Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς, και για μακρά χρονική περίοδο, αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία, ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε. Επίσης, Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)" (όχι μόνον, της Sciencepedia αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)), αν και άκρως απαραίτητοι, είναι αδύνατον να ελεγχθούν (λόγω της ρευστής φύσης του Web), και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο. Ο αναγνώστης πρέπει να είναι εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

---

>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)

---