Δέλτα Kronecker

Δέλτα του Kronecker

Kronecker delta

Kronecker delta

Δέλτα Kronecker

Δέλτα Kronecker
Δέλτα Dirac

Πύλη XNOR

Πύλη XNOR

Εξελικτική Θεωρία
Καμηλοπάρδαλη

---

Jean-Baptiste Lamarck
Δέλτα Kronecker

- Ένας τανυστής.

Ετυμολογία

Η ονομασία "Δέλτα Kronecker" σχετίζεται ετυμολογικά με το όνομα του μαθηματικού Kronecker.

Εισαγωγή

Στα Μαθηματικά, το δέλτα του Kronecker (ή αλλιώς σύμβολο του Kronecker) είναι η διακριτή εκδοχή της Κρουστικής Συνάρτησης ή αλλιώς δέλτα Dirac

Η έννοιά του χρησιμοποιήθηκε στις εργασίες του Kronecker (μάλλον περί το 1950) αλλά η ονομασία του δόθηκε από τον Minkoswski to 1901 που κατά κάποιον τρόπο τις "νομιμοποίησε".

The earliest known use of the noun Kronecker delta is in the 1920s. OED's earliest evidence for Kronecker delta is from 1927, in the writing of O. Veblen.

Αυστηρότερα, το δέλτα του Kronecker ορίζεται με τον εξής τρόπο:

$\delta^i_j = \begin{cases} 0, \ i\ne j \\ 1, \ i=j \end{cases}$

Γενικότερα:

$\delta^{\mu_1 \dots \mu_p }_{\nu_1 \dots \nu_p} = \begin{cases} +1 & \quad \text{if } \nu_1 \dots \nu_p \text{ are distinct integers and are an even permutation of } \mu_1 \dots \mu_p \\ -1 & \quad \text{if } \nu_1 \dots \nu_p \text{ are distinct integers and are an odd permutation of } \mu_1 \dots \mu_p \\ \;\;0 & \quad \text{in all other cases}.\end{cases}$

Let S_p be the symmetric group of degree p , then:

$\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}=\sum _{\sigma \in \mathrm {S} _{p}}\operatorname {sgn}(\sigma )\,\delta _{\nu _{\sigma (1)}}^{\mu _{1}}\cdots \delta _{\nu _{\sigma (p)}}^{\mu _{p}}=\sum _{\sigma \in \mathrm {S} _{p}}\operatorname {sgn}(\sigma )\,\delta _{\nu _{1}}^{\mu _{\sigma (1)}}\cdots \delta _{\nu _{p}}^{\mu _{\sigma (p)}}.$

Using anti-symmetrization:

$\delta^{\mu_1 \dots \mu_p}_{\nu_1 \dots \nu_p} = p! \delta^{\mu_1}_{\lbrack \nu_1} \dots \delta^{\mu_p}_{\nu_p \rbrack} = p! \delta^{\lbrack \mu_1}_{\nu_1} \dots \delta^{\mu_p \rbrack}_{\nu_p}.$

In terms of a p × p determinant:

$\delta^{\mu_1 \dots \mu_p }_{\nu_1 \dots \nu_p} = \begin{vmatrix} \delta^{\mu_1}_{\nu_1} & \cdots & \delta^{\mu_1}_{\nu_p} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \delta^{\mu_p}_{\nu_1} & \cdots & \delta^{\mu_p}_{\nu_p} \end{vmatrix}.$

Μιγαδική Ανάλυση

Στα πλαίσια της Μιγαδικής Ανάλυσης, το δέλτα του Kronecker αναπαρίσταται υπό τη μορφή του επικαμπύλιου ολοκληρώματος:

$\delta_{mn}=\frac{1}{2\pi i}\oint_{C}z^{m-n-1}dz$

όπου m,n ακέραιοι και i η Φανταστική Μονάδα. Ο βρόχος C ταυτίζεται με τον μοναδιαίο κύκλο.

Γραμμική Άλγεβρα

Στα πλαίσια της Γραμμικής Άλγεβρας, το δέλτα του Kronecker μπορεί να αναπαρασταθεί υπό τη μορφή ενός συμμετρικής Μαθηματικής Μήτρας διάστασης n×n όπου n είναι ο συνολικός αριθμός των (θετικών) ακεραίων τιμών που μπορούν να πάρουν οι δείκτες.

Συγκεκριμένα, αν τότε το δέλτα του Kronecker μπορεί να αναπαρασταθεί υπό τη μορφή μίας 3×3 μήτρας (όπου i,j = 1,2,3) :

$\delta_{ij} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

Στην Μητραϊκή Αναπαράσταση λοιπόν, το δέλτα του Kronecker ταυτίζεται με τον μοναδιαίο πίνακα.

Ιδιότητες

Σε τρεις διαστάσεις (i,j = 1,2,3) το δέλτα του Kronecker εφμφανίζει τις παρακάτω ιδιότητες:

• $\delta_{ii}=3 \ \ \$
• $\delta_{ij}\epsilon_{ijk}=0$
• $\epsilon_{ipq}\epsilon_{jpq}=2\delta_{ij}$
• $\epsilon_{ijk}\epsilon_{pqk}=\delta_{ip}\delta_{jq}-\delta_{iq}\delta_{jp}$

όπου ε_ijk το σύμβολο Chrisoffel.

Σε όλες τις παραπάνω σχέσεις έγινε χρήση της σύμβασης άθροισης του Einstein.

Εσωτερική Αρθρογραφία

• τανυστής
• σύμβολο Chrisoffel
• συνάρτηση Dirac

Ιστογραφία

• Ομώνυμο άρθρο στην Βικιπαίδεια
• Levi-Civita Ομώνυμο άρθρο στην Livepedia
• "Kronecker Delta", mathworld.wolfram.com
• videoclip

Κίνδυνοι Χρήσης

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη, την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει. "Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο, η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης" του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει." Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς, και για μακρά χρονική περίοδο, αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία, ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε. Επίσης, Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)" (όχι μόνον, της Sciencepedia αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)), αν και άκρως απαραίτητοι, είναι αδύνατον να ελεγχθούν (λόγω της ρευστής φύσης του Web), και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο. Ο αναγνώστης πρέπει να είναι εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

---

>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)

---