Διανυσματική Παράγωγος

Ολική Παράγωγος

Vector Derivative

Διαφορικό Παράγωγος

Διαφορική Γεωμετρία

---

Ανάδελτα Εφαπτομένη Εφαπτόμενο Διάνυσμα Εφαπτομενικός Χώρος Διαφορικός Τελεστής Παράγωγος

Παράγωγος

Παράγωγος

Παράγωγος

Παράγωγος

Παράγωγος

- Ένας Διαφορικός Τελεστής.

Ετυμολογία

Η ονομασία "Παράγωγος" σχετίζεται ετυμολογικά με την λέξη "παραγωγή".

Περιγραφή

Αν η f είναι μια πραγματική συνάρτηση στο $\R^n$, τότε η μερική παράγωγος της f εκφράζει ένα μέτρο αλλαγής της στον άξονα της συνισταμένης. Για παράδειγμα, αν η f είναι μια συνάρτηση του x και του y, τότε οι μερικές της παράγωγοι μετράνε την αλλαγή της f στην κατεύθυνση x και στην κατεύθυνση y. Ωστόσο, δεν μετράνε άμεσα την αλλαγή της f σε κάποια άλλη κατεύθυνση, όπως πάνω στην διχοτόμο y=x. Αυτές μετρούνται με την βοήθεια των διανυσματικών παραγώγων. Επιλέξτε ένα διάνυσμα

$\mathbf{v} = (v_1,\ldots,v_n).$

Η διανυσματική παράγωγος της f στην κατεύθυνση του v στο σημείο x είναι το όριο

$D_{\mathbf{v}}{f}(\boldsymbol{x}) = \lim_{h \rightarrow 0}{\frac{f(\boldsymbol{x} + h\mathbf{v}) - f(\boldsymbol{x})}{h}}.$

Σε μερικές περιπτώσεις ίσως είναι πιο εύκολο να υπολογίσουμε ή να εκτιμήσουμε την διανυσματική παράγωγο αν αλλάξουμε το μέγεθος του διανύσματος.

Συχνά, αυτό πραγματοποιείται για να μετατραπεί το πρόβλημα στον υπολογισμό μιας διανυσματικής παραγώγου στην κατεύθυνση ενός μοναδιαίου διανύσματος.

Για να δούμε πώς δουλεύει αυτό, υποθέτουμε ότι 1 = v = λu. Αντικαθιστούμε το 1 = h = k/λ στη διαφορά πηλίκο .

Το πηλίκο διαφορών γίνεται:

$\frac{f(\mathbf{x} + (k/\lambda)(\lambda\mathbf{u})) - f(\mathbf{x})}{k/\lambda}$

$= \lambda\cdot\frac{f(\mathbf{x} + k\mathbf{u}) - f(\mathbf{x})}{k}.$

Έστω λ πραγματικός αριθμός. Η αντικατάσταση του h με h/λ αλλάζει την διηρημένη διαφορά της κατεύθυνσης λv σε λ φορές την διηρημένη διαφορά της κατεύθυνσης v.

Συνεπώς, η διανυσματική παράγωγος στην κατεύθυνση λv είναι ίση με λ φορές την διανυσματική παράγωγο στην κατεύθυνση v. Λόγω αυτού, οι διανυσματικές παράγωγοι συνήθως λαμβάνονται μόνο για μοναδιαία διανύσματα v.

Αν όλες οι μερικές παράγωγοι της f υπάρχουν και είναι συνεχείς στο x, τότε προσδιορίζουν την διανυσματική παράγωγο της f στην κατεύθυνση v με τον τύπο:

$D_{\mathbf{v}}{f}(\boldsymbol{x}) = \sum_{j=1}^n v_j \frac{\partial f}{\partial x_j}.$

Αυτή είναι μια συνέπεια του ορισμού της ολικής παραγώγου. Ακολούθως, η διανυσματική παράγωγος είναι γραμμική στο v.

Ο ίδιος ορισμός χρησιμοποιείται επίσης όταν η f είναι μια συνάρτηση που λαμβάνει τιμές στο $\R^m$. Απλά, εφαρμόζουμε τον παραπάνω ορισμό σε κάθε στοιχείο του διανύσματος. Σ'αυτήν την περίπτωση, η διανυσματική παράγωγος είναι ένα διάνυσμα στο $\R^m$.

Εσωτερική Αρθρογραφία

• Μερική Παράγωγος
• Παράγωγη Συνάρτηση
• συνάρτηση
• ολοκλήρωμα
• Διαφορικός Λογισμός

Βιβλιογραφία

• A. D. Polyanin and V. F. Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition), Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2
• From thesaurus.maths.org total derivative

Ιστογραφία

• Ομώνυμο άρθρο στην Βικιπαίδεια
• Ομώνυμο άρθρο στην Livepedia
• sv.vt.edu
• [ ]

Κίνδυνοι Χρήσης

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη, την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει. "Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο, η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης" του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει." Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς, και για μακρά χρονική περίοδο, αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία, ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε. Επίσης, Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)" (όχι μόνον, της Sciencepedia αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)), αν και άκρως απαραίτητοι, είναι αδύνατον να ελεγχθούν (λόγω της ρευστής φύσης του Web), και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο. Ο αναγνώστης πρέπει να είναι εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

---

>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)

---