Διανυσματικός Χώρος

Διανυσματικός Χώρος

Vector Space

Διανυσματικός Χώρος

Διανυσματικός Χώρος

Διανυσματικός Χώρος

Μαθηματικά
Γεωμετρία
Γραμμική Άλγεβρα

---

Γεωμετρικός Χώρος
Ευκλείδειος Χώρος
Χώρος Minkowski
Χώρος Riemann
Χώρος Lobachevsky

---

Μαθηματικός Χώρος
Τοπολογικός Χώρος
Διανυσματικός Χώρος
Μετρικός Χώρος
Χώρος Hilbert

Ελλειπτικός Χώρος
Ευκλείδειος Χώρος
Υπερβολικός Χώρος

Ελλειπτικός Χώρος
Ευκλείδειος Χώρος
Υπερβολικός Χώρος

Μαθηματικός Χώρος

---

Τοπολογικός Χώρος
Διανυσματικός Χώρος Χώρος Banach
Χώρος Hilbert

- Ένας Μαθηματικός Χώρος.

Ετυμολογία

Η ονομασία "Διανυσματικός" σχετίζεται ετυμολογικά με την λέξη "διάνυσμα".

Εισαγωγή

Ένα μη-κενό Σύνολο V εφωδιασμένο με:

• μια Εσωτερική Πράξη " + " και
• μια Εσωτερική Πράξη " * ",

ονομάζεται διανυσματικός χώρος επί ενός σώματος Κ.

εφόσον ικανοποιούνται οι κάτωθι ιδιότητες:

• Το (V,+) είναι Αβελιανή Ομάδα άρα ισχύουν οι ιδιότητες της.
• Στο (V,.) ισχύει η Προσεταιριστικότητα και η ύπαρξη ουδετέρου στοιχείου
• Για την σύνθεση των δύο πράξεων ισχύουν δύο Επιμεριστικότητες.

Ορισμός

Α. Η εσωτερική πράξη "πρόσθεση" ορίζεται από τον παρακάτω τύπο:

$\begin{matrix} Addition & +: & {V \times{} V} & \longrightarrow{} & {V} \\ & & {(\mathbf{u},\mathbf{v})} & \mapsto & {\mathbf{u}+\mathbf{v}} \end{matrix}$

- Για την Πρόσθεση οι ιδιότητες είναι (ταυτίζονται με τις ιδιότητες της Ομάδας):

1) Μεταθετική Ιδιότητα (Commutativity):

$\mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{u} , \quad \forall{} \mathbf{u}, \mathbf{v} \in{} V$

2) Προσεταιριστική Ιδιότητα (Associativity) (ως προς την πρόσθεση):

$\begin{matrix} \mathbf{u} + (\mathbf{v} + \mathbf{w}) = (\mathbf{u} + \mathbf{v}) + \mathbf{w} , \quad \\ \forall{} \mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} \in{} V \end{matrix}$

3) Ύπαρξη ουδέτερου στοιχείου "0":

$\exists{}\mathbf{0} \in{} V : \quad \mathbf{u} + \mathbf{0} = \mathbf{u} , \quad \forall{} \mathbf{u} \in{} V$

4) Ύπαρξη αντιθέτου στοιχείου:

$\exists{} \mathbf{-u} \in{} V : \quad \mathbf{u} + (\mathbf{-u}) = \mathbf{0}, \quad \forall{} \mathbf{u} \in{} V$

Β. Η εσωτερική πράξη "πολλαπλασιασμός" ορίζεται από τον παρακάτω τύπο:

$\begin{matrix} Multiplication & \cdot{}: & {K \times{} V} & \longrightarrow{} & {V} \\ & & {(\mathit{a},\mathbf{u})} & \mapsto & {\mathit{a} \cdot \mathbf{u}} \end{matrix}$

- Για τον Πολλαπλασιασμό οι ιδιότητες είναι:

1) Προσεταιριστική Ιδιότητα (Associativity) (ως προς τον πολλαπλασιασμό):

$\mathit{a} \cdot (\mathit{b} \cdot \mathbf{u})=(\mathit{a} \cdot \mathit{b}) \cdot \mathbf{u} , \quad \forall{} \mathit{a} ,\mathit{b} \in{}K , \quad \forall{} \mathbf{u} \in{} V$

2) Υπάρξη ουδέτερου στοιχείου "1":

$\exists{} \mathit{1} \in{} K : \quad \mathit{1} \cdot \mathbf{u} = \mathbf{u} , \quad \forall{} \mathbf{u} \in{} V$

Γ. Για την σύνθεση των δύο πράξεων ισχύουν οι ιδιότητες:

1) Επιμεριστική Ιδιότητα (Distributivity) (ως προς την πρόσθεση):

$\mathit{a} \cdot (\mathbf{u}+ \mathbf{v}) = \mathit{a} \cdot \mathbf{u}+ \mathit{a} \cdot \mathbf{v} , \quad \forall{} \mathit{a}\in{}K , \quad \forall{} \mathbf{u}, \mathbf{v} \in{} V$

2) Επιμεριστική Ιδιότητα (Distributivity) (ως προς τον πολλαπλασιασμό):

$(\mathit{a} + \mathit{b}) \cdot \mathbf{u} = \mathit{a} \cdot \mathbf{u} + \mathit{b} \cdot \mathbf{u} , \quad \forall{} \mathit{a}, \mathit{b} \in{} K , \quad \forall{} \mathbf{u} \in{} V$

Παραδείγματα

Usually we will take the field of scalars to be R, the set of real numbers. Some vector spaces have C, the set of complex numbers, as their field of scalars. Some vector spaces have Q, the set of rational numbers, as their field of scalars.

Vector Spaces

1. Ο Μηδενικός Διανυσματικός Χώρος {0}. This is the vector space containing exactly one element 0. (Sometimes I will abuse notation and write 0 instead.) The zero vector space has dimension 0.
2. Το σύνολο των Πραγματικών Αριθμών (R).
3. Rn for any positive integer n. We have R1 = R and dimR R n = n.
4. Το σύνολο των Μιγαδικών Αριθμών (C), the vector space of complex numbers. We have dimR C = 2. We can consider C to be a complex vector space, where the field of scalars is C instead of R. Then C, as a complex vector space, has dimension 1 and we write dimC C = 1.
5. For a given m × n matrix A, the column space Col A. This is a subspace of Rm.
6. For a given m × n matrix A, the null space Nul A. This is a subspace of Rn.
7. For a given linear transformation T : V → W, the image im T.
8. For a given linear transformation T : V → W, the kernel ker T.
9. The set of doubly infinite sequences of real numbers (. . . , a−1, a0, a1, . . .).
10. Το σύνολο των άπειρων Ακολουθιών (infinite sequences of real numbers) (a1, a2, a3, . . .).
11. Το σύνολο των Πολυωνύμων (Polynomials) a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + · · · + a₁x¹ + a₀x⁰ of degree at most n (with a_ni ∈ R).
12. Το σύνολο των Πολυωνύμων (Polynomials) a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + · · · + a₁x¹ + a₀x⁰ of degree at most n (with a_nin ∈ C) .
13. Ένα επίπεδο του Ευκλείδειου Χώρου R3 που περιέχει την αρχή (0) των αξόνων.
14. Functions f : R → R. This includes functions like f(x) = (1 for x rational 0 for x irrational.
15. Το σύνολο των Συνεχών Συναρτήσεων (Continuous functions) f : R → R.
16. Το σύνολο των Διαφορισίμων Συναρτήσεων (Differentiable functions f : R → R.
17. Differentiable functions f : R → R such that f0 is continuous.
18. Twice-differentiable functions f : R → R.
19. n-times differentiable functions f : R → R.
20. Το σύνολο των Λείων Συναρτήσεων (Smooth functions) f : R → R (the nth derivative exist for all positive integers n).
21. Functions f : R → R such that f(5) = 0.
22. Το σύνολο των λύσεων της (homogeneous) differential equation y + y = 0.

Not Vector Spaces

1. The set {0, 1}.
2. Το σύνολο των Ακεραίων Αριθμών (integers) (Z).
3. Το σύνολο των Αρρήτων Αριθμών ( irrational numbers) R \ Q.
4. R is not a complex vector space but it is a real vector space.
5. Q is not a real vector space but it is a rational vector space.
6. The union of the x-axis and the y-axis in R^2.
7. Ένα επίπεδο του Ευκλείδειου Χώρου R3 που δεν περιέχει την αρχή (0) των αξόνων.
8. The set of polynomials with degree exactly n.
9. Functions f : R → R such that f(5) = 1.
10. Το σύνολο των λύσεων της (nonhomogeneous) differential equation y + y = sin x.

Εσωτερική Αρθρογραφία

• Ευκλείδειος Χώρος
• Τανυστικός Χώρος
• Δυικός Χώρος
• Πραγματικός Χώρος Συνταγμένων
• Μιγαδικός Χώρος Συντεταγμένων
• Συναρτησιακός Χώρος

Ιστογραφία

• Ομώνυμο άρθρο στην Βικιπαίδεια
• Ομώνυμο άρθρο στην Livepedia
• examples-of-vector-spaces
• [ ]

Κίνδυνοι Χρήσης

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη, την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει. "Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο, η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης" του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει." Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς, και για μακρά χρονική περίοδο, αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία, ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε. Επίσης, Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)" (όχι μόνον, της Sciencepedia αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)), αν και άκρως απαραίτητοι, είναι αδύνατον να ελεγχθούν (λόγω της ρευστής φύσης του Web), και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο. Ο αναγνώστης πρέπει να είναι εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

---

>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)

---