Διαφόριση \Τελεστής

Παράγωγος

Derivative

Mathematicians-Newton-Lieibniz-01-goog — Ολοκληρωτικός Λογισμός
Διαφορικός Λογισμός
Isaac Newton
Gottfried Leibniz
Παράγωγος
Διαφορικό
(Ακριβέστερα,
αρχικά ο Newton συμβόλισε την παράγωγο με τελεία
και μετά ο Lagrange, ακολουθώντας το ίδιο πνεύμα,
την αντικατέστησε με τόνο)

Derivative-Tanget-01-goog — Μαθηματική Παράγωγος

Derivative-Tanget-02-goog — Μαθηματική Παράγωγος

Number-e-derivative-goog — Αριθμός e
Εκθετική Συνάρτηση
Μαθηματική Παράγωγος

Differential-01-goog — Διαφορικό
Παράγωγος

Tagnet-02-goog — Διαφορική Γεωμετρία
Ανάδελτα
Εφαπτομένη
Εφαπτόμενο Διάνυσμα
Εφαπτομενικός Χώρος
Διαφορικός Τελεστής
Παράγωγος

Derivatives-01-goog — Συναρτησιακή Παράγωγος

Derivatives-02-goog — Συναρτησιακή Παράγωγος

Derivatives-03-goog — Συναρτησιακή Παράγωγος

Derivatives-04-goog — Συναρτησιακή Παράγωγος

Derivatives-21-goog — Συναρτησιακή Παράγωγος

Derivative-definition-15-goog — Συναρτησιακή Παράγωγος

Integral-derivative-01-goog — Διαφορικός Λογισμός
Ολοκληρωτικός Λογισμός

Derivatives-06-goog — Συναρτησιακή Παράγωγος
Μιά τριτοβάθμια, πλήρης,
με σταθερό όρο το σημείο τομής
της γραφικής της παραστάσεως με τον άξονα των y.
Οι τρεις ρίζες της αντίστοιχης εξισώσεως είναι
τα σημεία τομής
της γραφικής παραστάσεως με τον άξονα των x.
Η παράγωγός της είναι μια πλήρης δευτεροβάθμια.
Ο σταθερός της όρος,
δηλαδή, το σημείο τομής της με τον άξονα των y,
συμπίπτει με
τον συντελεστή του πρωτοβάθμιου όρου της τριτοβάθμιας

Quantities-Velocity-Acceleration-01-goog — Ταχύτητα
Επιτάχυνση

Quantities-Velocity-Acceleration-02-goog — Ταχύτητα
Επιτάχυνση

Derivative-Limit-01-goog — **Διαφόριση**

Derivatives-table-01-goog — Συναρτησιακή Παράγωγος

Derivative-trick-continuity-01-goog — Παραγώγιση
Συνέχεια
We can differentiate a function only if
the function is continuous,
when we write x²=x+x+…+x, x times
it is not a continuous function.
Thus, x+x+…+x, x times should not be differentiated.

Derivative-tangent-01-goog — Παράγωγος
Εφαπτομένη
Τέμνουσα

Integral-pullback-derivative-pushforward-01-goog — Ολοκλήρωση
Ανάσυρση
Παραγώγιση
Προώθηση

- Ένας θεμελιώδης μαθηματικός τελεστής.

Ετυμολογία[]

Η ονομασία "Παράγωγος" σχετίζεται ετυμολογικά με την λέξη "παραγωγή".

Περιγραφή[]

Στη Μαθηματική Ανάλυση, η παράγωγος είναι ένα μέτρο της μεταβολής μια συνάρτησης όταν αλλάζουν οι τιμές της εισόδου της.

Χονδρικά, θα μπορούσε κανείς να θεωρήσει ότι η παράγωγος εμφανίζει πόσο αλλάζει μια ποσότητα, ως συνέπεια της μεταβολής σε μία άλλη ποσότητα.

Για παράδειγμα, η παράγωγος της θέσης ή της απόστασης ενός αυτοκινήτου, για κάποια στιγμή του χρόνου, είναι η στιγμιαία ταχύτητα με την οποία το αυτοκίνητο κινείται εκείνη τη στιγμή.

Η παράγωγος μιας συνάρτησης σε μια επιλεγμένη τιμή εισόδου περιγράφει την καλύτερη Γραμμική Προσέγγιση της συνάρτησης κοντά σε αυτή την τιμή εισόδου.

Για μια Πραγματική Συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής, η παράγωγος σε ένα σημείο ισούται με την κλίση της εφαπτόμενης γραμμής στο γράφημά της σε αυτό το σημείο.

Σε μεγαλύτερο αριθμό διαστάσεων, η παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα σημείο είναι ένας Γραμμικός Μετασχηματισμός που λέγεται γραμμικοποίηση.^[1]

Η διαδικασία της εύρεσης της παραγώγου λέγεται παραγώγιση ή διαφόριση (οι δύο όροι είναι συνώνυμοι).

Όταν η παράγωγος μιας συνάρτησης σε σημείο x₀ του πεδίου ορισμού της υπάρχει και είναι μοναδική η συνάρτηση καλείται παραγωγίσιμη ή διαφορίσιμη στο x₀. Το Θεμελιώδες Θεώρημα Απειροστικού Λογισμού διατυπώνει το γεγονός ότι η παραγώγιση είναι η αντίστροφη διαδικασία της ολοκλήρωσης.

Συμβολισμός Leibniz[]

Σύμφωνα με τον συμβολισμό του Leibniz η παράγωγος μίας συνάρτησης (function) f(x) συμβολίζεται ως εξής:

$\frac{d\left(f\left(x\right)\right)}{dx}$

If we have a variable representing a function, for example if we set:

$y = f\left(x\right)$

then we can write the derivative as:

${\frac{dy}{dx}}$

Συμβολισμός Lagrange[]

Σύμφωνα με τον συμβολισμό του Lagrange η παράγωγος μίας συνάρτησης (function) f(x) συμβολίζεται με ένα τόνο:

$\frac{d\left(f\left(x\right)\right)}{dx} = f'\left(x\right)$

Συμβολισμός Newton[]

Σύμφωνα με τον συμβολισμό του [[Newton η παράγωγος μίας συνάρτησης (function) f(x) συμβολίζεται με μία τελεία:

$\frac{dx}{dt} = \dot{x}$

υψηλόβαθμοι Παράγωγοι[]

For higher derivatives, we express them as follows:

$\frac{d^n\left(f\left(x\right)\right)}{dx^n}$ or $\frac{d^ny}{dx^n}$

denotes the nth derivative of f(x) or y respectively. Historically, this came from the fact that, for example, the 3rd derivative is:

$\frac{d \left(\frac{d \left( \frac{d \left(f\left(x\right)\right)} {dx}\right)} {dx}\right)} {dx}$

which we can loosely write as:

${\displaystyle \left(\frac{d}{dx}\right)^3 \left(f\left(x\right)\right) = \frac{d^3}{\left(dx\right)^3} \left(f\left(x\right)\right)}$

Now drop the brackets and we have:

$\frac{d^3}{dx^3}\left(f\left(x\right)\right)\ \mbox{or}\ \frac{d^3y}{dx^3}$

Κανόνας αλυσίδας[]

The chain rule and integration by substitution rules are especially easy to express here, because the "d" terms appear to cancel:

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dw} \cdot \frac{dw}{dx}$ etc.

and:

$\int y \, dx = \int y \frac{dx}{du} \, du.$

Υποσημειώσεις[]

↑ Ο Απειροστικός Λογισμός, είναι ένας πολύ καλά ορισμένος κλάδος των Μαθηματικών, για τον οποίο υπάρχουν πολλές πηγές. Σχεδόν όλο το υλικό που σε αυτό το άρθρο βρίσκεται στο Apostol 1967, Aposton 1969 και Spivak 1994.

Εσωτερική Αρθρογραφία[]

Βιβλιογραφία[]

Ιστογραφία[]

Κίνδυνοι Χρήσης

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες
σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια
ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι
η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη,
την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει.

"Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα
να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο,
η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης"
του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει."

Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι
όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς,
και για μακρά χρονική περίοδο,
αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία,
ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε.

Επίσης,
Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)"
(όχι μόνον, της Sciencepedia
αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)),
αν και άκρως απαραίτητοι,
είναι αδύνατον να ελεγχθούν
(λόγω της ρευστής φύσης του Web),
και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν
σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο.
Ο αναγνώστης πρέπει να είναι
εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)

[1] Ο Απειροστικός Λογισμός, είναι ένας πολύ καλά ορισμένος κλάδος των Μαθηματικών, για τον οποίο υπάρχουν πολλές πηγές. Σχεδόν όλο το υλικό που σε αυτό το άρθρο βρίσκεται στο Apostol 1967, Aposton 1969 και Spivak 1994.

[1]