Διαχωρίσιμος Χώρος

Separable Space


Μαθηματικά Γραμμική Άλγεβρα
Μαθηματικός Χώρος Φυσικός Χώρος Τοπολογικός Χώρος Διανυσματικός Χώρος Μετρικός Χώρος Χώρος Hilbert
Ευκλείδειος Χώρος Χώρος Riemann Χώρος Lobachevsky

- Ένα σύνολο στο οποίο έχει ορισθεί συγκεκριμένη δομή.

Ετυμολογία[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η ονομασία "Διαχωρίσιμος" σχετίζεται ετυμολογικά με την λέξη "Διαχωρισμός".

Περιγραφή[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ένας Μετρικός Χώρος λέγεται διαχωρίσιμος αν περιέχει αριθμήσιμο και πυκνό υποσύνολο.

Ένας τοπολογικός χώρος καλείται διαχωρίσιμος (separable), αν περιέχει ένα αριθμήσιμο Πυκνό Σύνολο δηλαδή, ένα σύνολο με αριθμήσιμο πλήθος στοιχείων, του οποίου η κλειστότητα είναι ολόκληρος ο Χώρος.

Αυτή η συνθήκη είναι τυπική για Χώρους που συναντώνται στην κλασσική ανάλυση και Γεωμετρία.

Με τον ίδιο τρόπο που κάθε Πραγματικός Αριθμός μπορεί να προσεγγιστεί με οσηδήποτε ακρίβεια από ρητούς αριθμούς, ένας διαχωρίσιμος χώρος περιέχει ένα αριθμήσιμο υποσύνολο του οποίου τα στοιχεία μπορούν να προσεγγιστούν, με την έννοια του ορίου.

Οι διαχωρίσιμοι χώροι είναι τοπολογικοί χώροι με ορισμένους περιορισμούς στο μέγεθός τους.

Η ιδιότητα της διαχωρισιμότητας αναφέρεται συχνά ως ένα από τα αξιώματα της αριθμησιμότητας.

Από την σκοπιά της αξιωματικής θεμελίωσης, η διαχωρισιμότητα ήταν μάλλον υποεκτιμημένη την περίοδο 1940 έως 1960 — όπου προηγουμένως ήταν έννοια βασική στην περιγραφική Συνολοθεωρία.

Αργότερα τα πράγματα άλλαξαν και συχνά τα συγγράμματα επίλεγαν να εισάγουν την διαχωρισιμότητα, αποδεικνύοντας λιγότερα γενικά θεωρήματα (Αυτή η στάση υιοθετήθηκε, για παράδειγμα, από τον Jean Dieudonné).

Η διαχωρισιμότητα είναι σημαντική έννοια στην Αριθμητική Ανάλυση και στα κατασκευαστικά μαθηματικά, εφόσον πολλά θεωρήματα στους μετρικούς χώρους έχουν κατασκευαστικές αποδείξεις μόνο για διαχωρίσιμους χώρους.

Τέτοιες κατασκευαστικές αποδείξεις μπορούν να μετατραπούν σε αλγορίθμους για χρήση στην αριθμητική ανάλυση, και μάλιστα είναι και το μοναδικό είδος αποδείξεων που είναι αποδεκτό στην κατασκευαστική ανάλυση.

Ένα διάσημο παράδειγμα τέτοιου θεωρήματος είναι το θεώρημα Hahn-Banach.

Ως παράδειγμα, τα σύνολα των πραγματικών και των συνεχών συναρτήσεων σε ένα κλειστό διάστημα είναι διαχωρίσιμοι Χώροι.

Αντίθετα, το σύνολο των φραγμένων ακολουθιών δεν είναι.

Είναι σχετικά εύκολο να δείξει κανείς ότι ένας διαχωρίσιμος χώρος έχει την ακόλουθη ιδιότητα:

«Κάθε οικογένεια μη κενών, ξένων ανά δυο, ανοικτών συνόλων είναι το πολύ αριθμήσιμη.»

Αυτό μπορείτε να το δείτε ως εξής. Κάθε σύνολο τής οικογένειας περιέχει κάποιο στοιχείο τού πυκνού συνόλου.

Η απεικόνιση που αντιστοιχίζει κάθε σύνολο τής οικογένειας στο αντίστοιχο στοιχείο είναι αμφιμονοσήμαντη 1-1.

Υποσημειώσεις[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Εσωτερική Αρθρογραφία[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Βιβλιογραφία[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ιστογραφία[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]


Ikl.jpg Κίνδυνοι ΧρήσηςIkl.jpg

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες
σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια
ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι
η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη,
την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει.

"Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα
να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο,
η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης"
του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει."

Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι
όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς,
και για μακρά χρονική περίοδο,
αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία,
ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε.



Επίσης,
Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)"
(όχι μόνον, της Sciencepedia
αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)),
αν και άκρως απαραίτητοι,
είναι αδύνατον να ελεγχθούν
(λόγω της ρευστής φύσης του Web),
και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν
σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο.
Ο αναγνώστης πρέπει να είναι
εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

IonnKorr-System-00-goog.png



>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)


Community content is available under CC-BY-SA unless otherwise noted.