Εκθετική Ύψωση

Ύψωσις εις δύναμιν

Exponentiation, Power Operation

Εκθετική Ύψωση

Εκθετική Ύψωση

Εκθετική Ύψωση

Εκθετική Ύψωση

Εκθετική Ύψωση

---

«Γραφήματα του y = b^x, για διάφορες βάσεις b
(4 βάσεις: 10, e (= 2,71828), 2 και ½).
Η καμπύλη με μπλε/μωβ χρώμα έχει βάση τον αριθμό 2.
Κάθε καμπύλη διέρχεται από το σημείο (0, 1)
επειδή οποιοσδήποτε μη μηδενικός αριθμός
που υψώνεται στη δύναμη του 0 ισούται προς 1.
Οποιοσδήποτε αριθμός υψωθεί στη δύναμη του 1
είναι ο ίδιος ο αριθμός
(δηλ. δια x = 1, η τιμή y ισούται με τη βάση)

---

Το εντυπωσιακό είναι όμως ότι
η Φύση
από όλες αυτές τις άπειρες επιλογές βάσης
προτιμά τον αριθμό e
του οποίου η εκθετική του συνάρτηση exp(x)
μένει αναλλοίωτη
σε ολοκληρώσεις και διαφορίσεις
της Απειροστικής Ανάλυσης
(οι οποίες επιπλέον, συνδέονται
καθοριστικά με
τα pullbacks και τα pushforwards
της Τοπολογίας)

Διακριτά Μαθηματικά
Αριθμητική
Αριθμοθεωρία
Αριθμός
Τελεστής

---

Αλγεβρικές Πράξεις
Πρόσθεση
Αφαίρεση
Πολλαπλασιασμός
Διαίρεση

---

Συνολοϊκές Πράξεις
Συνολοϊκή Ένωση
Συνολοϊκή Τομή

---

Λογικές Πράξεις
Σύζευξη (Conjunction)
Διάζευξη (Disjunction)
Άρνηση (Negation)

---

Ιδιότητες Πράξεων Ανακλαστική Ιδιότητα
Αντιμεταθετική Ιδιότητα
Προσεταιριστική Ιδιότητα
Επιμεριστική Ιδιότητα

Μαθηματική Ρίζα
Εκθετική Ύψωση

- Μία Μαθηματική Πράξη.

Ετυμολογία

Η ονομασία "Ύψωση" σχετίζεται ετυμολογικά με την λέξη "ύψος".

Εισαγωγή

H δύναμη είναι μαθηματική πράξη, που συμβολίζεται ως αⁿ και περιλαμβάνει δύο αριθμούς, την βάση α και τον εκθέτη n. Όταν το n είναι Θετικός Αριθμός, η δύναμη αντιστοιχεί σε επαναλαμβανόμενο (ή μεγάλο) πολλαπλασιασμό, με άλλα λόγια είναι το γινόμενο n παραγόντων, ο καθένας από τους οποίους είναι α:

$a^n = \underbrace{a \times \cdots \times a}_n,$

Κατά τον ίδιο τρόπο που ο πολλαπλασιασμός αντιστοιχεί σε επαναλαμβανόμενη (ή μεγάλη) πρόσθεση:

$a \times n = \underbrace{a + \cdots + a}_n.$

Ο εκθέτης είναι γραμμένος δεξιά της βάσης. Η δύναμη αⁿ μπορεί να διαβαστεί ως α στη νιοστή δύναμη ή απλά α στη νιοστή. Κάποιοι εκθέτες έχουν ιδιαιτερότητες στην ανάγνωση: για παράδειγμα το α² διαβάζεται συνήθως α στο τετράγωνο και το α³, α στον κύβο.

Η δύναμη αⁿ μπορεί να οριστεί και όταν το n είναι αρνητικός αριθμός για μη μηδενικό α(α διάφορο του 0).

Δεν υπάρχει γενίκευση για όλους τους πραγματικούς α και n, όμως όταν η βάση α είναι θετικός πραγματικός αριθμός, το αⁿ μπορεί να οριστεί για όλους τους πραγματικούς ή μιγαδικούς n μέσω της εκθετικής συνάρτησης e^z. Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις μπορούν να εκφραστούν με όρους μιγαδικής δύναμης.

Η δύναμη όταν ο εκθέτης είναι μήτρα χρησιμοποιείται για την επίλυση συστημάτων γραμμικών διαφορικών εξισώσεων.

Η δύναμη έχει εφαρμογή και σε πολλά άλλα πεδία, όπως τα οικονομικά, η βιολογία, η χημεία, η φυσική και η Πληροφορική, με εφαρμογές στον ανατοκισμό, την Πληθυσμιακή Αύξηση, τη συμπεριφορά κυμάτων και την κρυπτογράφηση.

Ακέραιοι εκθέτες

Η πράξη της δύναμης με ακέραιο εκθέτη απαιτεί Στοιχειώδη Άλγεβρα. μόνον.

Θετικοί εκθέτες

Η έκφραση α² = α·α ονομάζεται "τετράγωνο" του α επειδή η επιφάνεια ενός τετραγώνου με πλευρά α ισούται με α².

Η έκφραση α³ = α·α·α ονομάζεται κύβος, επειδή ο όγκος κύβου πλευράς α ισούται με α³.

Έτσι το 3² διαβάζεται «3 στο τετράγωνο» ή «τετράγωνο του 3» και το 2³ διαβάζεται «2 στον κύβο» ή «κύβος του 2».

Ο εκθέτης ορίζει το πόσες φορές πολλαπλασιάζεται η βάση με τον εαυτό της.

Για παράδειγμα, 3⁵ = 3·3·3·3·3 = 243. Η βάση 3 εμφανίζεται 5 φορές στον επαναλαμβανόμενο (ή μεγάλο) πολλαπλασιασμό, επειδή ο εκθέτης είναι 5. Εδώ 3 είναι η βάση, 5 ο εκθέτης και 243 η δύναμη ή πιο συγκεκριμένα, η πέμπτη δύναμη του 3 ή το 3 στην πέμπτη. Έτσι το 3⁵ διαβάζεται απλώς 3 στην πέμπτη.

Πιο επίσημα, οι δυνάμεις με θετικό εκθέτη μπορούν να ορισθούν με την αρχική συνθήκη α¹ = α και τη σχέση αⁿ⁺¹ = α·α^n. Τότε ο λόγος ''Προσεταιριστική ιδιότητα/προσεταιριστική ιδιότητα'' του πολλαπλασιασμού, ισχύει για κάθε θετικούς m και n, α^m+n = α^m·αⁿ .

Φανταστικός Αριθμός

An imaginary number raised to an imaginary number turns out to be real.

However, while learning complex analysis,
one learns that an exponential with respect to an imaginary number
does not have a single, fixed value.
Rather, the function is multi-valued
(the value we arrived at in our calculation is just one of many values).

Το πρόβλημα βρίσκεται στον τύπο e^(iπ/2) = i
Ισχύει και για e^(i3π/2) = i και για e^(i5π/2) = i και etc και etc.. άρα έχουμε απειρία τιμών.

Εσωτερική Αρθρογραφία

• Μαθηματική Ρίζα
• Μαθηματική Πράξη
• Άλγεβρα
• Αριθμός

Ιστογραφία

• Ομώνυμο άρθρο στην Βικιπαίδεια
• Ομώνυμο άρθρο στην Livepedia
• [ ]
• [ ]

Κίνδυνοι Χρήσης

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη, την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει. "Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο, η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης" του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει." Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς, και για μακρά χρονική περίοδο, αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία, ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε. Επίσης, Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)" (όχι μόνον, της Sciencepedia αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)), αν και άκρως απαραίτητοι, είναι αδύνατον να ελεγχθούν (λόγω της ρευστής φύσης του Web), και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο. Ο αναγνώστης πρέπει να είναι εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

---

>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)

---