FANDOM


Εμβαδόν

Area


Quantities-Area-Volume-01-goog

Εμβαδό Όγκος Στερεομετρία

Dimensions-02-goog

Γεωμετρία
Χωρόχρονος Χώρος Χρόνος
Διάσταση Μήκος Πλάτος Ύψος
Εμβαδό Όγκος Υπερεμβαδό
ΣημείοΚαμπύληΕπιφάνειαΧωροπεριοχή
Κοσμικό Σημείο Κοσμική ΚαμπύληΒράνη

Dimension-01-goog

Οι τρείς Διαστάσεις

Frame-02-wik

Καρτεσιανό Σύστημα Συντεταγμένων.

- Ένα γεωμετρικό μέγεθος του Χώρου.

ΕτυμολογίαEdit

Η ονομασία "Εμβαδό" σχετίζεται ετυμολογικά με την λέξη "[[ ]]".

ΣυμβολισμόςEdit

Το σύμβολο που χρησιμοποιείται, συνήθως, είναι: $ \mathbf{\Sigma} $

ΕισαγωγήEdit

Έστω μια παραμετρική επιφάνεια που έχει την μορφή:

$ \mathbf{r}=\mathbf{r}(u,v), $
όπου $ \mathbf{r} $ είναι μια συνεχώς διαφορίσιμη διανυσματική συνάρτηση των:
$ (u,v)\in D\subset\mathbb{R}^2 $

Το εμβαδό μιας οποιαδήποτε περιοχής της D είναι:

$ \mathbf{\Sigma} = \iint_D \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \times \frac {\partial \mathbf{r}}{\partial v} \, du \, dv $
$ \Sigma^{mn} = 2!\iint \frac{\partial x^{[m}}{\partial u} \frac {\partial x^{n]}}{\partial v} \, du \, dv $

Το δυϊικό του είναι:

$ d\Sigma_k = \frac {1} {2!}\epsilon_{kmn} d\Sigma^{mn} $

Το βαθμωτό εμβαδό είναι:

$ \Sigma = \iint_D \left|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \times \frac {\partial \mathbf{r}}{\partial v} \right| \, du \, dv $

Μαθηματική ΈκφρασηEdit

Αναπαρίσταται μαθηματικά από μία τανυστική συνάρτηση μιας περιοχής του Χώρου. Δηλαδή, είναι τανυστικό μέγεθος.

Ακριβέστερα, είναι ένας αντισυμμετρικός ανταλλοίωτος τανυστής 2ης τάξης, με συνιστώσες $ (d\Sigma^{mn}) \; $.

Τρισδιάστατος ΧώροςEdit

Αναπαρίσταται από μία 3x3 αντισυμμετρική μήτρα:

$ d\vec{\Sigma} = \begin{bmatrix} 0 & d\Sigma_z & -d\Sigma_y \\ -d\Sigma_z & 0 & d\Sigma_x \\ d\Sigma_y & -d\Sigma_x & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & dxdy & -dzdx \\ -dxdy & 0 & dy dz \\ dzdx & -dydz & 0 \end{bmatrix} $

Επειδή, όμως, ο τανυστής αυτός είναι αντισυμμετρικός, χρησιμοποιείται το δυικό του μέγεθος που είναι ένα αξονικό διάνυσμα.

Ακριβέστερα, είναι ένας συναλλοίωτος ψευδο-τανυστής 1ης τάξης, με συνιστώσες $ (d\Sigma_k) \; $.

Επομένως, αναπαρίσταται από μία 1x3 μήτρα:

$ d{\overset \rightharpoonup {\Sigma}} = \begin{bmatrix} d\Sigma_x & d\Sigma_y & d\Sigma_z \end{bmatrix} $
όπου:
$ d\Sigma_x = dy dz \, $
$ d\Sigma_y = dz dx \, $
$ d\Sigma_z = dx dy \, $

Τετραδιάστατος ΧώροςEdit

Αναπαρίσταται από μία 4x4 αντισυμμετρική μήτρα:

$ d \boldsymbol {\vec \Sigma} = \begin{bmatrix} 0 & -d\Sigma_z & +d\Sigma_y \\ +d\Sigma_z & 0 & -d\Sigma_x \\ -d\Sigma_y & +d\Sigma_x & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -dxdy & +dzdx & -dtdx \cdot c \\ +dxdy & 0 & -dy dz & +dtdy \cdot c \\ -dzdx & +dydz & 0 & -dtdz \cdot c \\ +dxdt \cdot /c & -dydt \cdot /c & +dzdt \cdot c & 0 \end{bmatrix} $

Επίσης χρησιμοποιείται το ογκοεμβαδό.

Αυτό αναπαρίσταται από μία 1x4 μήτρα:

$ d \overset \leftharpoonup {\boldsymbol \Sigma} = \begin{bmatrix} d\Sigma_x /c & d\Sigma_y /c & d\Sigma_z /c & d\Omega \end{bmatrix} $

ΠίνακαςEdit

Τύποι για υπολογισμό εμβαδού
Σχήμα Τύπος Μεταβλητές
Κανονικό τρίγωνο (Ισόπλευρο Τρίγωνο) $ \frac{1}{4} \sqrt{3}s^2\,\! $ $ s $ είναι το μήκος της μιας πλευράς του τριγώνου.
Τρίγωνο[1] $ \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\,\! $ $ s $ είναι το μισό της περιμέτρου, $ a $, $ b $ και $ c $ είναι τα μήκη της ίδιας πλευράς.
Τρίγωνο[2] $ \tfrac12 a b \sin(C)\,\! $ $ a $ και $ b $ για δύο οποιεσδήποτε πλευρές, και $ C $ η γωνία ανάμεσα τους.
Τρίγωνο[1] $ \tfrac12bh \,\! $ $ b $ και $ h $ είναι η βάση και ύψος (measured perpendicular to the base), respectively.
Ρόμβος $ \tfrac12ab $ $ a $ και $ b $ είναι τα μήκη των διαγωνίων του ρόμβου.
Παραλληλόγραμμο $ bh\,\! $ $ b $ είναι το μήκος της βάσης και $ h $ είναι το ύψος.
Τραπέζιο $ \tfrac12(a+b)h \,\! $ $ a $ και $ b $ είναι τα μήκη των δύο παράλληλων ευθειών και $ h $ το ύψος ανάμεσα στις παράλληλες.
Κανονικό εξάγωνο $ \frac{3}{2} \sqrt{3}s^2\,\! $ $ s $ είναι το μήκος της μιας πλευράς του εξαγώνου.
Κανονικό Οκτάγωνο $ 2(1+\sqrt{2})s^2\,\! $ $ s $ είναι το μήκος της μιας πλευράς του οκταγώνου.
Κανονικό Πολύγωνο $ \frac{1}{4}nl^2\cdot \cot(\pi/n)\,\! $ $ l $ είναι το μήκος μιας πλευράς και $ n $ ο αριθμός των πλευρών.
Κανονικό Πολύγωνο $ \frac{1}{4n}p^2\cdot \cot(\pi/n)\,\! $ $ p $ είναι η περίμετρος και $ n $ ο αριθμός των πλευρών.
Κανονικό Πολύγωνο $ \frac{1}{2}nR^2\cdot \sin(2\pi/n) = nr^2 \tan(\pi/n)\,\! $ $ R $ είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου, και $ r $ είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου, και $ n $ ο αριθμός των πλευρών.
Κανονικό πολύγωνο $ \tfrac12a p \,\! $ $ a $ είναι το "απόστημα χορδής", ή η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου στο πολύγωνο, και $ p $ η περίμετρος του πολυγώνου.
Κύκλος $ \pi r^2\ \text{or}\ \frac{\pi d^2}{4} \,\! $ $ r $ είναι η ακτίνα και $ d $ είναι η διάμετρος.
Κυκλικός Τομέας $ \frac{\theta}{2}r^2\ \text{or}\ \frac{L \cdot r}{2}\,\! $ $ r $ και $ \theta $ είναι η ακτίνα και γωνία (σε ακτίνια), αντίστοιχα και $ L $ είναι το μήκος της περιμέτρου.
Συνολική επιφάνεια κυλίνδρου $ 2\pi r (r + h)\,\! $ $ r $ και $ h $ είναι η ακτίνα και το ύψος αντίστοιχα.
Παράπλευρη επιφάνεια του κυλίνδρου $ 2 \pi r h \,\! $ $ r $ και $ h $ είναι η ακτίνα και το ύψος αντίστοιχα.
Συνολική επιφάνεια σφαίρας $ 4\pi r^2\ \text{or}\ \pi d^2\,\! $ $ r $ και $ d $ είναι η ακτίνα και η διάμετρος αντίστοιχα.
Συνολική επιφάνεια πυραμίδας[3] $ B+\frac{P L}{2}\,\! $ $ B $ είναι η επιφάνεια βάσης, $ P $ είναι η περίμετρος βάσης and $ L $ το ύψος της κεκλιμένης.
Συνολική επιφάνεια πυραμίδας $ B+\frac{P L}{2}\,\! $ $ B $ είναι η βασική επιφάνεια, $ P $ είναι η περίμετρος και $ L $ το ύψος της κεκλιμένης.
Συνολική επιφάνεια κώνου $ \pi r(r+l) $ (γνωστή ακμή)
$ \pi r(r+\sqrt{r^2+h^2}) $ (γνωστό ύψος)
$ r $ είναι η ακτίνα της βάσης, $ h $ το ύψος του κώνου, και $ l $ η ακμή του.

ΜέτρησηEdit

Μετρείται, στο σύστημα S.I., με την μονάδα μέτρησης που ονομάζεται:

ΚαταμέτρησηEdit

Καταμετρείται από το όργανο καταμέτρησης που ονομάζεται:

-

ΥποσημειώσειςEdit

  1. 1,0 1,1 Eric W. Weisstein. Area. Wolfram MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/Area.html. Ανακτήθηκε την 3 July 2012. 
  2. Area Formulas. Math.com. http://www.math.com/tables/geometry/areas.htm. Ανακτήθηκε την 2 July 2012. 
  3. Eric W. Weisstein. Surface Area. Wolfram MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/SurfaceArea.html. Ανακτήθηκε την 3 July 2012. 

Εσωτερική ΑρθρογραφίαEdit

ΒιβλιογραφίαEdit

ΙστογραφίαEdit


Ikl Κίνδυνοι ΧρήσηςIkl

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες
σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια
ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι
η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη,
την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει.

"Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα
να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο,
η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης"
του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει."

Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι
όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς,
και για μακρά χρονική περίοδο,
αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία,
ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε.



Επίσης,
Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)"
(όχι μόνον, της Sciencepedia
αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)),
αν και άκρως απαραίτητοι,
είναι αδύνατον να ελεγχθούν
(λόγω της ρευστής φύσης του Web),
και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν
σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο.
Ο αναγνώστης πρέπει να είναι
εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

IonnKorr-System-00-goog



>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)


Community content is available under CC-BY-SA unless otherwise noted.