Εμβαδό \Μέγεθος

Εμβαδόν

Area

- Ένα γεωμετρικό μέγεθος του Χώρου.

ΕτυμολογίαEdit

Η ονομασία "Εμβαδό" σχετίζεται ετυμολογικά με την λέξη "[[ ]]".

ΣυμβολισμόςEdit

Το σύμβολο που χρησιμοποιείται, συνήθως, είναι: $ \mathbf{\Sigma} $

ΕισαγωγήEdit

Έστω μια παραμετρική επιφάνεια που έχει την μορφή:

$ \mathbf{r}=\mathbf{r}(u,v), $

όπου $ \mathbf{r} $ είναι μια συνεχώς διαφορίσιμη διανυσματική συνάρτηση των:

$ (u,v)\in D\subset\mathbb{R}^2 $

Το εμβαδό μιας οποιαδήποτε περιοχής της D είναι:

$ \mathbf{\Sigma} = \iint_D \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \times \frac {\partial \mathbf{r}}{\partial v} \, du \, dv $

$ \Sigma^{mn} = 2!\iint \frac{\partial x^{[m}}{\partial u} \frac {\partial x^{n]}}{\partial v} \, du \, dv $

Το δυϊικό του είναι:

$ d\Sigma_k = \frac {1} {2!}\epsilon_{kmn} d\Sigma^{mn} $

Το βαθμωτό εμβαδό είναι:

$ \Sigma = \iint_D \left|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \times \frac {\partial \mathbf{r}}{\partial v} \right| \, du \, dv $

Μαθηματική ΈκφρασηEdit

Αναπαρίσταται μαθηματικά από μία τανυστική συνάρτηση μιας περιοχής του Χώρου. Δηλαδή, είναι τανυστικό μέγεθος.

Ακριβέστερα, είναι ένας αντισυμμετρικός ανταλλοίωτος τανυστής 2ης τάξης, με συνιστώσες $ (d\Sigma^{mn}) \; $.

Τρισδιάστατος ΧώροςEdit

Αναπαρίσταται από μία 3x3 αντισυμμετρική μήτρα:

$ d\vec{\Sigma} = \begin{bmatrix} 0 & d\Sigma_z & -d\Sigma_y \\ -d\Sigma_z & 0 & d\Sigma_x \\ d\Sigma_y & -d\Sigma_x & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & dxdy & -dzdx \\ -dxdy & 0 & dy dz \\ dzdx & -dydz & 0 \end{bmatrix} $

Επειδή, όμως, ο τανυστής αυτός είναι αντισυμμετρικός, χρησιμοποιείται το δυικό του μέγεθος που είναι ένα αξονικό διάνυσμα.

Ακριβέστερα, είναι ένας συναλλοίωτος ψευδο-τανυστής 1ης τάξης, με συνιστώσες $ (d\Sigma_k) \; $.

Επομένως, αναπαρίσταται από μία 1x3 μήτρα:

$ d{\overset \rightharpoonup {\Sigma}} = \begin{bmatrix} d\Sigma_x & d\Sigma_y & d\Sigma_z \end{bmatrix} $

όπου:

$ d\Sigma_x = dy dz \, $

$ d\Sigma_y = dz dx \, $

$ d\Sigma_z = dx dy \, $

Τετραδιάστατος ΧώροςEdit

Αναπαρίσταται από μία 4x4 αντισυμμετρική μήτρα:

$ d \boldsymbol {\vec \Sigma} = \begin{bmatrix} 0 & -d\Sigma_z & +d\Sigma_y \\ +d\Sigma_z & 0 & -d\Sigma_x \\ -d\Sigma_y & +d\Sigma_x & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -dxdy & +dzdx & -dtdx \cdot c \\ +dxdy & 0 & -dy dz & +dtdy \cdot c \\ -dzdx & +dydz & 0 & -dtdz \cdot c \\ +dxdt \cdot /c & -dydt \cdot /c & +dzdt \cdot c & 0 \end{bmatrix} $

Επίσης χρησιμοποιείται το ογκοεμβαδό.

Αυτό αναπαρίσταται από μία 1x4 μήτρα:

$ d \overset \leftharpoonup {\boldsymbol \Sigma} = \begin{bmatrix} d\Sigma_x /c & d\Sigma_y /c & d\Sigma_z /c & d\Omega \end{bmatrix} $

ΠίνακαςEdit

ΜέτρησηEdit

Μετρείται, στο σύστημα S.I., με την μονάδα μέτρησης που ονομάζεται:

• 1 meter ².

ΚαταμέτρησηEdit

Καταμετρείται από το όργανο καταμέτρησης που ονομάζεται:

-

ΥποσημειώσειςEdit

Εσωτερική ΑρθρογραφίαEdit

• επιφάνεια
• καμπύλη
• Μήκος Καμπύλης
• Όγκος

ΒιβλιογραφίαEdit

ΙστογραφίαEdit

• Ομώνυμο άρθρο στην Βικιπαίδεια
• Ομώνυμο άρθρο στην Livepedia
• math.uoc.gr/Saridaki ]
• [ ]

Κίνδυνοι Χρήσης

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη, την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει. "Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο, η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης" του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει." Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς, και για μακρά χρονική περίοδο, αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία, ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε. Επίσης, Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)" (όχι μόνον, της Sciencepedia αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)), αν και άκρως απαραίτητοι, είναι αδύνατον να ελεγχθούν (λόγω της ρευστής φύσης του Web), και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο. Ο αναγνώστης πρέπει να είναι εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.