Εμβαδό \Μέγεθος

Εμβαδόν

Area

Εμβαδό
Όγκος
Στερεομετρία

Εμβαδό

Κύκλος

---

Εμβαδό

Ολοκλήρωμα
Άθροισμα
Εμβαδό

Δίσκος

σφαίρα
κύλινδρος

Γεωμετρία

---

Χωρόχρονος
Χώρος
Χρόνος

---

Διάσταση
Μήκος
Πλάτος
Ύψος

---

Εμβαδό
Όγκος
Υπερεμβαδό

---

Σημείο
Καμπύλη
Επιφάνεια
Χωροπεριοχή

---

Κοσμικό Σημείο
Κοσμική Καμπύλη
Βράνη

Οι τρείς Διαστάσεις

Καρτεσιανό Σύστημα Συντεταγμένων

Επιφανειακό Διαφορικό Στοιχείο

- Ένα γεωμετρικό μέγεθος του Χώρου.

Ετυμολογία

Η ονομασία "Εμβαδό" σχετίζεται ετυμολογικά με την λέξη "[[ ]]".

Συμβολισμός

Το σύμβολο που χρησιμοποιείται, συνήθως, είναι: $\mathbf {\Sigma }$

Εισαγωγή

Έστω μια παραμετρική επιφάνεια που έχει την μορφή:

$\mathbf {r} =\mathbf {r} (u,v),$

όπου $\mathbf {r}$ είναι μια συνεχώς διαφορίσιμη διανυσματική συνάρτηση των:

$(u,v)\in D\subset \mathbb {R} ^{2}$

Το εμβαδό μιας οποιαδήποτε περιοχής της D είναι:

$\mathbf {S} =\iint _{D}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}\,du\,dv$

$S^{mn}=2!\iint {\frac {\partial x^{[m}}{\partial u}}{\frac {\partial x^{n]}}{\partial v}}\,du\,dv$

Το δυϊικό του είναι:

$dS_{k}={\frac {1}{2!}}\epsilon _{kmn}dS^{mn}$

Το βαθμωτό εμβαδό είναι:

$S=\iint _{D}\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}\right|\,du\,dv$

Μαθηματική Έκφραση

Αναπαρίσταται μαθηματικά από μία τανυστική συνάρτηση μιας περιοχής του Χώρου. Δηλαδή, είναι τανυστικό μέγεθος.

Ακριβέστερα, είναι ένας αντισυμμετρικός ανταλλοίωτος τανυστής 2ης τάξης, με συνιστώσες $(d\Sigma ^{mn})\;$.

Τρισδιάστατος Χώρος

Αναπαρίσταται από μία 3x3 αντισυμμετρική μήτρα:

$d{\vec {\Sigma }}={\begin{bmatrix}0&d\Sigma _{z}&-d\Sigma _{y}\\-d\Sigma _{z}&0&d\Sigma _{x}\\d\Sigma _{y}&-d\Sigma _{x}&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&dxdy&-dzdx\\-dxdy&0&dydz\\dzdx&-dydz&0\end{bmatrix}}$

Επειδή, όμως, ο τανυστής αυτός είναι αντισυμμετρικός, χρησιμοποιείται το δυικό του μέγεθος που είναι ένα αξονικό διάνυσμα.

Ακριβέστερα, είναι ένας συναλλοίωτος ψευδο-τανυστής 1ης τάξης, με συνιστώσες $(d\Sigma _{k})\;$.

Επομένως, αναπαρίσταται από μία 1x3 μήτρα:

$d{\overset {\rightharpoonup }{\Sigma }}={\begin{bmatrix}d\Sigma _{x}&d\Sigma _{y}&d\Sigma _{z}\end{bmatrix}}$

όπου:

$d\Sigma _{x}=dydz\,$

$d\Sigma _{y}=dzdx\,$

$d\Sigma _{z}=dxdy\,$

Τετραδιάστατος Χώρος

Αναπαρίσταται από μία 4x4 αντισυμμετρική μήτρα:

$dS_{mn}={\begin{bmatrix}0&-d\Sigma _{z}&+d\Sigma _{y}\\+d\Sigma _{z}&0&-d\Sigma _{x}\\-d\Sigma _{y}&+d\Sigma _{x}&0\end{bmatrix}}$

$dS_{\mu \nu }={\begin{bmatrix}0&-dx\cdot dy&+dz\cdot dx&-cdt\cdot dx\\+dx\cdot dy&0&-dy\cdot dz&-cdt\cdot dy\\-dz\cdot dx&+dy\cdot dz&0&-cdt\cdot dz\\+dx\cdot cdt&+dy\cdot dt\cdot &+dz\cdot cdt&0\end{bmatrix}}$

Επίσης χρησιμοποιείται το ογκοεμβαδό.

Αυτό αναπαρίσταται από μία 1x4 μήτρα:

$d{\overset {\leftharpoonup }{\boldsymbol {\Sigma }}}={\begin{bmatrix}d\Sigma _{x}/c&d\Sigma _{y}/c&d\Sigma _{z}/c&d\Omega \end{bmatrix}}$

Πίνακας

Τύποι για υπολογισμό εμβαδού

Σχήμα	Τύπος	Μεταβλητές
Κανονικό τρίγωνο (Ισόπλευρο Τρίγωνο)	${\frac {1}{4}}{\sqrt {3}}s^{2}\,\!$	$s$ είναι το μήκος της μιας πλευράς του τριγώνου.
Τρίγωνο	${\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}\,\!$	$s$ είναι το μισό της περιμέτρου, $a$, $b$ και $c$ είναι τα μήκη της ίδιας πλευράς.
Τρίγωνο	${\tfrac {1}{2}}ab\sin(C)\,\!$	$a$ και $b$ για δύο οποιεσδήποτε πλευρές, και $C$ η γωνία ανάμεσα τους.
Τρίγωνο	${\tfrac {1}{2}}bh\,\!$	$b$ και $h$ είναι η βάση και ύψος (measured perpendicular to the base), respectively.
Ρόμβος	${\tfrac {1}{2}}ab$	$a$ και $b$ είναι τα μήκη των διαγωνίων του ρόμβου.
Παραλληλόγραμμο	$bh\,\!$	$b$ είναι το μήκος της βάσης και $h$ είναι το ύψος.
Τραπέζιο	${\tfrac {1}{2}}(a+b)h\,\!$	$a$ και $b$ είναι τα μήκη των δύο παράλληλων ευθειών και $h$ το ύψος ανάμεσα στις παράλληλες.
Κανονικό εξάγωνο	${\frac {3}{2}}{\sqrt {3}}s^{2}\,\!$	$s$ είναι το μήκος της μιας πλευράς του εξαγώνου.
Κανονικό Οκτάγωνο	$2(1+{\sqrt {2}})s^{2}\,\!$	$s$ είναι το μήκος της μιας πλευράς του οκταγώνου.
Κανονικό Πολύγωνο	${\frac {1}{4}}nl^{2}\cdot \cot(\pi /n)\,\!$	$l$ είναι το μήκος μιας πλευράς και $n$ ο αριθμός των πλευρών.
Κανονικό Πολύγωνο	${\frac {1}{4n}}p^{2}\cdot \cot(\pi /n)\,\!$	$p$ είναι η περίμετρος και $n$ ο αριθμός των πλευρών.
Κανονικό Πολύγωνο	${\frac {1}{2}}nR^{2}\cdot \sin(2\pi /n)=nr^{2}\tan(\pi /n)\,\!$	$R$ είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου, και $r$ είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου, και $n$ ο αριθμός των πλευρών.
Κανονικό πολύγωνο	${\tfrac {1}{2}}ap\,\!$	$a$ είναι το "απόστημα χορδής", ή η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου στο πολύγωνο, και $p$ η περίμετρος του πολυγώνου.
Κύκλος	$\pi r^{2}\ {\text{or}}\ {\frac {\pi d^{2}}{4}}\,\!$	$r$ είναι η ακτίνα και $d$ είναι η διάμετρος.
Κυκλικός Τομέας	${\frac {\theta }{2}}r^{2}\ {\text{or}}\ {\frac {L\cdot r}{2}}\,\!$	$r$ και $\theta$ είναι η ακτίνα και γωνία (σε ακτίνια), αντίστοιχα και $L$ είναι το μήκος της περιμέτρου.
Συνολική επιφάνεια κυλίνδρου	$2\pi r(r+h)\,\!$	$r$ και $h$ είναι η ακτίνα και το ύψος αντίστοιχα.
Παράπλευρη επιφάνεια του κυλίνδρου	$2\pi rh\,\!$	$r$ και $h$ είναι η ακτίνα και το ύψος αντίστοιχα.
Συνολική επιφάνεια σφαίρας	$4\pi r^{2}\ {\text{or}}\ \pi d^{2}\,\!$	$r$ και $d$ είναι η ακτίνα και η διάμετρος αντίστοιχα.
Συνολική επιφάνεια πυραμίδας	$B+{\frac {PL}{2}}\,\!$	$B$ είναι η επιφάνεια βάσης, $P$ είναι η περίμετρος βάσης and $L$ το ύψος της κεκλιμένης.
Συνολική επιφάνεια πυραμίδας	$B+{\frac {PL}{2}}\,\!$	$B$ είναι η βασική επιφάνεια, $P$ είναι η περίμετρος και $L$ το ύψος της κεκλιμένης.
Συνολική επιφάνεια κώνου	$\pi r(r+l)$ (γνωστή ακμή) $\pi r(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}})$ (γνωστό ύψος)	$r$ είναι η ακτίνα της βάσης, $h$ το ύψος του κώνου, και $l$ η ακμή του.

Μέτρηση

Μετρείται, στο σύστημα S.I., με την μονάδα μέτρησης που ονομάζεται:

• 1 meter ².

Καταμέτρηση

Καταμετρείται από το όργανο καταμέτρησης που ονομάζεται:

-

Εσωτερική Αρθρογραφία

• επιφάνεια
• καμπύλη
• Μήκος Καμπύλης
• Όγκος

Ιστογραφία

• Ομώνυμο άρθρο στην Βικιπαίδεια
• Ομώνυμο άρθρο στην Livepedia
• math.uoc.gr/Saridaki ]
• [ ]

Κίνδυνοι Χρήσης

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη, την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει. "Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο, η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης" του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει." Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς, και για μακρά χρονική περίοδο, αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία, ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε. Επίσης, Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)" (όχι μόνον, της Sciencepedia αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)), αν και άκρως απαραίτητοι, είναι αδύνατον να ελεγχθούν (λόγω της ρευστής φύσης του Web), και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο. Ο αναγνώστης πρέπει να είναι εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

---

>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)

---