Εξισώσεις Euler-Lagrange

Εξισώσεις Euler-Lagrange

Euler-Lagrange Equation

Εξισώσεις Euler-Lagrange

Εξισώσεις Euler-Lagrange

Επιστημονικός Νόμος
Επιστημονικοί Νόμοι

---

Μαθηματικό Θεώρημα
Νόμοι Μαθηματικών

---

Φυσικός Νόμος
Νόμοι Φυσικής

---

Νόμοι Χημείας

---

Νόμοι Γεωλογίας

---

Νόμοι Βιολογίας

---

Νόμοι Οικονομίας

Φυσική

---

Φυσικοί Γης
Νόμοι Φυσικής
Νόμοι Φυσικής
Θεωρίες Φυσικής Πειράματα Φυσικής
Παράδοξα Φυσικής
Προβλήματα Φυσικής

Διαφορική Εξίσωση
Διαφορική Ανάλυση
Συνήθης Διαφορική Εξίσωση
Μερική Διαφορική Εξίσωση
Πρωτοτάξια Διαφορική Εξίσωση
Δευτεροτάξια Διαφορική Εξίσωση

Joseph-Louis Lagrange

---

Αναλυτική Μηχανική
Λαγρασιανή

Απλή Ταλάντωση
Εξισώσεις Lagrange
Εξισώσεις Κίνησης

- Μία Εξίσωση.

Ετυμολογία

Πρότυπο:Equations

Η ονομασία "Εξίσωση Euler-Lagrange" σχετίζεται ετυμολογικά με την λέξη " ".

Εισαγωγή

Το ολικό διαφορικό της Λαγρασιανής:

$d{\mathcal {L}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}dt+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x}}dx+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x}}dx$

Field theories, both Κλασσική Πεδιακή Θεωρία and Κβαντική Πεδιακή Θεωρία, deal with continuous coordinates, and like Κλασσική Μηχανική, has its own Euler-Lagrange equation of motion for a field,

$\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\psi )}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \psi }}=0.\,$

όπου:

$\psi\,$ is the field, and

$\partial\,$ is a vector differential operator:

$\partial _{\mu }=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},{\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right).\,$

Απόδειξη

Ως γνωστόν, η Λαγρασιανή είναι συνάρτηση τριών μεταβλητών:

• του χρόνου (t)
• της θέσης (x)
• της ταχύτητας (υ)

Επομένως γράφεται:

${\mathcal {L}}={\mathcal {L}}(t,x(t),{\dot {x}}(t))$

Το ολικό διαφορικό της Λαγρασιανής:

$\delta {\mathcal {L}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\delta t+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x}}\delta x+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}}}\delta {\dot {x}}$

Elle repose sur le lemme fondamental du calcul des variations. Nous cherchons une fonction x rendant extrémale la fonctionnelle et satisfaisant les conditions aux bords :

• $f\left(a\right)=c$
• $f\left(b\right)=d$

On a ainsi :

$J=\int _{t_{0}}^{t_{1}}f\left(t,x\left(t\right),{\dot {x}}\left(t\right)\right)\,\mathrm {d} t$

Supposons que les dérivées premières de f soient continues.

Si x rend extrémale J, alors une perturbation infinitésimale de x préservera les conditions aux bords et augmentera J (si x est un minimum) ou diminuera J (si x est un maximum).

Soit $x_{\epsilon }\left(t\right)=x\left(t\right)+\epsilon \eta \left(t\right)$ une perturbation de x, où $\eta \left(t\right)$ est une fonction différentiable vérifiant $\eta \left(t_{0}\right)=\eta \left(t_{1}\right)=0$. Définissons :

$J\left(\epsilon \right)=\int _{t_{0}}^{t_{1}}f\left(t,x_{\epsilon }\left(t\right),{\dot {x}}_{\epsilon }\left(t\right)\right)\,\mathrm {d} t$

Calculons alors la dérivée de J par rapport à $\epsilon$.

${\frac {\mathrm {d} J}{\mathrm {d} \epsilon }}=\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\frac {\partial f}{\partial \epsilon }}\left(t,x_{\epsilon }\left(t\right),{\dot {x}}_{\epsilon }\left(t\right)\right)\,\mathrm {d} t$

Le développement du calcul donne, si

${\frac {\partial f}{\partial \epsilon }}={\frac {\partial f}{\partial x_{\epsilon }}}{\frac {\partial x_{\epsilon }}{\partial \epsilon }}+{\frac {\partial f}{\partial {{\dot {x}}_{\epsilon }}}}{\frac {\partial {\dot {x}}_{\epsilon }}{\partial \epsilon }}=\eta \left(t\right){\frac {\partial f}{\partial x_{\epsilon }}}+{\dot {\eta }}\left(t\right){\frac {\partial f}{\partial {\dot {x}}_{\epsilon }}}$

Donc :

${\frac {\mathrm {d} J}{\mathrm {d} \epsilon }}=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left(\eta \left(t\right){\frac {\partial f}{\partial x_{\epsilon }}}+{\dot {\eta }}\left(t\right){\frac {\partial f}{\partial {\dot {x}}_{\epsilon }}}\right)\,\mathrm {d} t$

Quand $\epsilon = 0$ nous avons $x_{\epsilon }=x$ et comme $x$ est un extremum de $J$ il s'ensuit que ${\frac {\mathrm {d} J}{\mathrm {d} \epsilon }}=0$, soit encore :

${\frac {\mathrm {d} J}{\mathrm {d} \epsilon }}\left(0\right)=\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\left(\eta \left(t\right){\frac {\partial f}{\partial x}}+{\dot {\eta }}\left(t\right){\frac {\partial f}{\partial {\dot {x}}}}\right)\,\mathrm {d} t}=\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\eta \left(t\right){\frac {\partial f}{\partial x}}\,\mathrm {d} t}+\int _{t_{0}}^{t_{1}}{{\dot {\eta }}\left(t\right){\frac {\partial f}{\partial {\dot {x}}}}\,\mathrm {d} t}$

Par intégration par parties :

$0=\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\eta \left(t\right){\frac {\partial f}{\partial x}}\,\mathrm {d} t}+\left[\eta \left(t\right){\frac {\partial f}{\partial {\dot {x}}}}\right]_{t_{0}}^{t_{1}}-\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\eta \left(t\right){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial f}{\partial {\dot {x}}}}\,\mathrm {d} t}=\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\left({\frac {\partial f}{\partial x}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial f}{\partial {\dot {x}}}}\right)\eta \left(t\right)\,\mathrm {d} t}+\left[\eta \left(t\right){\frac {\partial f}{\partial {\dot {x}}}}\right]_{t_{0}}^{t_{1}}$

Avec les conditions aux bords $\eta (t_{0})=\eta (t_{1})=0$, on a :

$0=\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\left({\frac {\partial f}{\partial x}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial f}{\partial {\dot {x}}}}\right)\eta \left(t\right)\,\mathrm {d} t}$

En appliquant le lemme fondamental du calcul des variations avec $\eta (t_{0})=\eta (t_{1})=0$, on obtient :

$0={\frac {\partial f}{\partial x}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial f}{\partial {\dot {x}}}}$

Εσωτερική Αρθρογραφία

• Φυσικός Νόμος
• Εξίσωση
• Εξισώσεις
• Συναρτησιοειδής Μεταβολή (variation (δ))

Ιστογραφία

• Ομώνυμο άρθρο στην Βικιπαίδεια
• Ομώνυμο άρθρο στην Livepedia
• en.wikiversity.org
• Deriving the Euler-Lagrange Equation From the Principle of Least Action, medium.com

Κίνδυνοι Χρήσης

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη, την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει. "Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο, η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης" του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει." Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς, και για μακρά χρονική περίοδο, αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία, ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε. Επίσης, Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)" (όχι μόνον, της Sciencepedia αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)), αν και άκρως απαραίτητοι, είναι αδύνατον να ελεγχθούν (λόγω της ρευστής φύσης του Web), και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο. Ο αναγνώστης πρέπει να είναι εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

---

>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)

---