Science Wiki
Advertisement

Επεξεργασία Σήματος

Signal processing


Theorems-Parseval-01-goog

Θεώρημα Parseval

- Μία Θεωρία

Ετυμολογία[]

Η ονομασία "Επεξεργασία" σχετίζεται ετυμολογικά με την λέξη "εργασία".


Εισαγωγή[]

Ως επεξεργασία σήματος ορίζουμε την ανάλυση και τον χειρισμό σημάτων, όπου ως σήμα ορίζεται οποιαδήποτε συνάρτηση μεταξύ φυσικών ποσοτήτων.

Η επεξεργασία σήματος είναι ουσιαστικώς ένα διεπιστημονικό γνωστικό πεδίο, ορισμένο με αυστηρά μαθηματικά και με τις δικές του μεθοδολογίες και ορολογία.

Οι εφαρμογές του είναι πάρα πολλές στις τεχνολογικές επιστήμες και βρίσκεται στη βάση τομέων όπως οι εξής:

  • Τηλεπικοινωνία,
  • Επεξεργασία Εικόνας,
  • βίντεο και
  • ήχου, η συμπίεση αρχείων κλπ.

Σε συστήματα τηλεπικοινωνιών, επεξεργασία σήματος λαμβάνει χώρα μόνο στο πρώτο επίπεδο του μοντέλου αναφοράς OSI, το "φυσικό επίπεδο", και προαιρετικά στο έκτο και έβδομο επίπεδο του ίδιου μοντέλου.


Ανάλυση[]

Ορισμός Σήματος[]

Ως σήμα ορίζουμε τις τιμές που λαμβάνει μία ποσότητα y (εξαρτημένη μεταβλητή) η οποία μεταβάλλεται συναρτήσει μίας άλλης ποσότητας x (ανεξάρτητη μεταβλητή).

Είδη Σημάτων[]

Διακρίνουμε τρία είδη σημάτων:

  • Αν οι ποσότητες x και y λαμβάνουν συνεχείς τιμές (π.χ. από το κλειστό πραγματικό διάστημα [0, +100]) τότε το σήμα είναι μία συνάρτηση y(x) και χαρακτηρίζεται ως αναλογικό σήμα.
  • Αν η ποσότητα y λαμβάνει συνεχείς τιμές αλλά η ποσότητα x μόνο διακριτές τιμές (π.χ. από το σύνολο Ν των φυσικών αριθμών) τότε το σήμα λέγεται διακριτού χρόνου και πρόκειται για μία ακολουθία y[n], (αναφέρεται και ως "διακριτό σήμα")
  • Αν τα x και y λαμβάνουν διακριτές τιμές έχουμε πάλι ακολουθία y[n] και το σήμα λέγεται ψηφιακό.

Παραδείγματα Σημάτων[]

Ορισμένα παραδείγματα είναι τα εξής:

  • Η τιμή της τάσης μεταξύ των οπλισμών ενός πυκνωτή σε ένα Ηλεκτρικό Κύκλωμα συναρτήσει του χρόνου, καθώς ο πυκνωτής φορτίζεται και μετά εκφορτίζεται, είναι αναλογικό σήμα.
  • Η τιμή του πληθωρισμού στην οικονομία μίας χώρας κατά τη διάρκεια ενός έτους, μετρημένη ανα μήνα, είναι σήμα διακριτού χρόνου όπου πεδίο ορισμού είναι οι ακέραιοι αριθμοί 1-12.
  • Οι τιμές λαμπρότητας ενός οπτικού κόκκου (pixel) σε μία ασπρόμαυρη ψηφιακή εικόνα είναι ψηφιακό σήμα, με Πεδίο Τιμών π.χ. 1-256 (αν για κάθε pixel αποθηκεύεται ένα byte) και πεδίο ορισμού το σύνολο φυσικών 1-Μ*Ν, όπου ΜxΝ η ανάλυση της εικόνας.

Σηματοσύστημα[]

"Σύστημα" ορίζεται οτιδήποτε δέχεται ως είσοδο ένα σήμα και παράγει ως έξοδο ένα άλλο σήμα.

Μαθηματικά περιγράφεται από ένα μετασχηματισμό που αντιστοιχίζει σε μία συνάρτηση y(x), (ή σε μία ακολουθία y[n]), μία άλλη συνάρτηση y'(x), (ή ακολουθία y'[n]).

Είδη Συστημάτων[]

Τα συστήματα διακρίνονται επίσης σε

  • αναλογικά,
  • διακριτού χρόνου και
  • ψηφιακά, ανάλογα

με τους τύπους σημάτων που δέχονται ως είσοδο και παράγουν ως έξοδο,

Επίσης υπάρχουν και τα υβριδικά.

Παραδείγματα Συστημάτων[]

Π.χ. σύστημα είναι

  • μία υπορουτίνα κάποιου προγράμματος επεξεργασίας εικόνας σε υπολογιστή,
  • ένα ηλεκτρικό κύκλωμα που δέχεται μία τάση στα άκρα του και παράγει τάση σε έναν πυκνωτή ή
  • ένα διαστημόπλοιο στο οποίο ασκούνται δυνάμεις (σήμα εισόδου) και αυτό ακολουθεί ανάλογη τροχιά (σήμα εξόδου).

Τα σήματα και τα συστήματα είναι οι δύο όψεις του ίδιου νομίσματος καθώς μπορούμε να φερθούμε σε ένα σήμα ως έξοδο κάποιου γνωστού συστήματος ή να χαρακτηρίσουμε πλήρως ένα σύστημα μελετώντας την έξοδό του για δεδομένη είσοδο.

Κατηγορίες Συστημάτων[]

Τα συστήματα χωρίζονται σε κατηγορίες με βάση διάφορα κριτήρια:

  • Γραμμικά συστήματα και μη γραμμικά συστήματα, όπου στα γραμμικά η έξοδος ενός γραμμικού συνδυασμού επιμέρους εισόδων ισούται με τον γραμμικό συνδυασμό των αντίστοιχων επιμέρους εξόδων (για σύστημα F ισχύει F(k1x1(t)+k2x2(t)) = k1F(x1(t))+k2F(x2(t)))
  • Χρονικά αμετάβλητα και χρονικά μεταβλητά, όπου στα χρονικά αμετάβλητα η μόνη επίπτωση μίας ολίσθησης προς τα δεξιά της εισόδου είναι μία ίδια ολίσθηση της εξόδου (αν F(x(t)) = y(t), τότε F(x(t+s)) = y(t+s))
  • Στατικά και δυναμικά (ή με μνήμη) συστήματα, όπου στα στατικά η έξοδος σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της εξαρτάται μόνο από την τιμή της εισόδου στο ίδιο σημείο, ενώ στα δυναμικά εξαρτάται και από άλλες τιμές της εισόδου.
    • Τα δυναμικά συστήματα υποδιαιρούνται σε αιτιατά, όπου η έξοδος σε κάθε σημείο επηρεάζεται μόνο από την τρέχουσα και από προηγούμενες τιμές της εισόδου, και σε μη αιτιατά, όπου η έξοδος σε κάθε σημείο επηρεάζεται επιπλέον και από μελλοντικές τιμές της εισόδου.

Η γραμμικότητα ενός συστήματος συνεπάγεται ότι δύο διαφορετικά σήματα μπορούν να διέλθουν μέσα από το σύστημα ταυτοχρόνως χωρίς να επηρεάζουν το ένα το άλλο, επομένως στην ολική έξοδο συμμετέχουν αθροιζόμενες οι έξοδοι των επιμέρους σημάτων, υπολογισμένες σαν τα τελευταία να διήλθαν μόνα τους απ' το σύστημα.

Η χρονική ανεξαρτησία σημαίνει ότι τα χαρακτηριστικά του συστήματος δεν μεταβάλλονται καθώς αλλάζει τιμή η ανεξάρτητη μεταβλητή (συνήθως ο χρόνος), ενώ τα μη αιτιατά συστήματα δεν είναι ρεαλιστικά καθώς δεν δύνανται να λειτουργήσουν σε πραγματικό χρόνο και συνήθως χρησιμοποιούνται μόνο για μοντελοποίηση προσομοιώσεων ή επεξεργασία αποθηκευμένων δεδομένων.

Ένα σημαντικό χαρακτηριστικό των γραμμικών συστημάτων είναι ότι αν η είσοδος είναι ένα απλό ημιτονοειδές σήμα, τότε η έξοδος είναι ένα ημίτονο ίδιας συχνότητας αλλά με τροποποιημένο πλάτος και φάση.

Χειρισμός σημάτων[]

Τα πλέον ενδιαφέροντα συστήματα είναι τα γραμμικά και χρονικά αμετάβλητα (ΓΧΑ), τα οποία μοντελοποιούν ευρύ πλήθος πραγματικών συστημάτων.

Η καρδιά της επεξεργασίας σήματος είναι η έννοια της υπέρθεσης που ισχύει στα ΓΧΑ συστήματα. Ο μόνος τρόπος να συνδυαστούν διαφορετικά σήματα σε ένα κοινό, σύνθετο σήμα είναι (λόγω της γραμμικότητας) με πρόσθεση των επιμέρους σημάτων, όπου το κάθε σήμα όμως μπορεί να είναι πολλαπλασιασμένο επί μία σταθερά.

Η διαδικασία αυτή ονομάζεται σύνθεση και το τελικό σήμα λέγεται υπέρθεση των αρχικών.

Η αντίστροφη διαδικασία ονομάζεται αποσύνθεση, όπου ξεκινώντας από μία υπέρθεση καταλήγουμε σε επιμέρους σήματα.

Έστω λοιπόν ένα ΓΧΑ σύστημα, ένα σήμα εισόδου x(t) και ένα σήμα εξόδου y(t).

Αν αποσυνθέσουμε το σήμα εισόδου σε επιμέρους σήματα, περάσουμε το καθένα από αυτά μέσα από το σύστημα και προσθέσουμε τις επιμέρους εξόδους, το τελικό αποτέλεσμα ισούται με το σήμα εξόδου y(t).

Αυτή η διαδικασία βρίσκεται στο επίκεντρο της επεξεργασίας σήματος καθώς απλοποιεί κατά πολύ την εύρεση της εξόδου ενός συστήματος για δεδομένη είσοδο.

Δύο τρόποι αποσύνθεσης είναι ευρέως διαδεδομένοι: *η κρουστική αποσύνθεση και

  • η αποσύνθεση Fourier.

Στην κρουστική αποσύνθεση διασπούμε το σήμα σε ελάχιστης διάρκειας (απειροελάχιστες και άπειρες σε πλήθος για αναλογικά σήματα) «ωθήσεις», δηλαδή στιγμιαία σήματα που το καθένα βρίσκεται σε διαφορετικό σημείο του πεδίου ορισμού και έχει το πλάτος του ολικού σήματος στο σημείο εκείνο.

Για την ακρίβεια στα αναλογικά σήματα η ώθηση έχει άπειρο πλάτος, μηδενικό εύρος και εμβαδόν της περιοχής που σχηματίζει με τον οριζόντιο άξονα ίσο με το ζητούμενο πλάτος (καμία πραγματική συνάρτηση δεν καλύπτεται από αυτές τις ιδιότητες, αλλά η ώθηση είναι ειδικώς ορισμένη περίπτωση).

Μία κανονικοποιημένη ώθηση, με εμβαδόν περιοχής ίσο με τη μονάδα, περιγράφεται μαθηματικά από την Κρουστική Συνάρτηση δ(t). Η έξοδος του υπό μελέτη συστήματος όταν του δοθεί ως είσοδος η δ(t) ονομάζεται Κρουστική Απόκριση και χαρακτηρίζει πλήρως ένα ΓΧΑ σύστημα. Αν η κρουστική απόκριση είναι επίσης ώθηση, δηλαδή στιγμιαίας διάρκειας, τότε το σύστημα είναι στατικό (χωρίς μνήμη), διαφορετικά είναι δυναμικό.

Οι ενδιαφέρουσες περιπτώσεις είναι τα δυναμικά ΓΧΑ συστήματα στα οποία μπορούμε, αν γνωρίζουμε την κρουστική απόκριση h(t), να βρούμε την έξοδο του συστήματος για κάθε πιθανή είσοδο x(t) με τον εξής τρόπο: εκτελούμε κρουστική αποσύνθεση του σήματος εισόδου και, για κάθε ώθηση που προκύπτει, προσμετρούμε στην έξοδο την αντίστοιχη απόκριση του συστήματος (η οποία είναι αh(t-t0) για είσοδο αδ(t-t0), λόγω γραμμικότητας και χρονικής ανεξαρτησίας).

Κάθε σημείο της εξόδου επηρεάζεται από πολλά σημεία της εισόδου λόγω της μνήμης του συστήματος (π.χ. αν η κρουστική απόκριση είναι μη μηδενική στο διάστημα [0,5] του πεδίου ορισμού της, τότε μία ώθηση στο σημείο t0 της εισόδου συμβάλλει στον σχηματισμό της εξόδου σε όλο το διάστημα [t0,t0+5] του πεδίου ορισμού της) αλλά όλη η διαδικασία του, φαινομενικά περίπλοκου, υπολογισμού μπορεί να μοντελοποιηθεί πλήρως από τη μαθηματική πράξη της συνέλιξης μεταξύ των δύο συναρτήσεων x(t) και h(t) (συμβολίζεται με «*»).

Η εν λόγω συνέλιξη, με κατάλληλη ολοκλήρωση, δίνει ως αποτέλεσμα μία νέα συνάρτηση y(t) η οποία στην περίπτωση αυτή είναι η έξοδος του συστήματος (y(t) = x(t)*h(t)).

Η κρουστική απόκριση συνήθως μετράται με εμπειρικά μέσα και τον ρόλο της κρουστικής εισόδου δ(t) μπορεί να παίξει οποιαδήποτε είσοδος είναι «επαρκώς σύντομη» για τα δεδομένα του συστήματος (π.χ. με γυμνό οφθαλμό οποιοδήποτε αστέρας ή πλανήτης του νυκτερινού ουρανού δρα ως δ(t) για το ανθρώπινο οπτικό σύστημα και η μικροσκοπική αστρική εικόνα που τελικά βλέπουμε είναι η κρουστική απόκριση του οφθαλμού).

Μία εναλλακτική μέθοδος αποσύνθεσης όπως προαναφέρθηκε είναι η αποσύνθεση Fourier, με την οποία αναλύουμε ένα οποιοδήποτε περιοδικό σήμα σε άθροισμα απείρων ημιτόνων, όλων των δυνατών συχνοτήτων, τα οποία σχηματίζουν αθροιζόμενα το ολικό αρχικό σήμα.

Κάθε ένα από αυτά τα ημίτονα συμμετέχει με διαφορετικό πλάτος στο ολικό σήμα και ο μετασχηματισμός Fourier εκφράζει το "ποσοστό συμμετοχής" με το οποίο κάθε πιθανή συχνότητα συμβάλλει στον σχηματισμό του.

Έτσι π.χ. ο μετασχηματισμός Fourier ενός απλού ημιτονοειδούς σήματος είναι η Κρουστική Συνάρτηση, μία ώθηση, καθώς το ημίτονο περιέχει μόνο μία συχνότητα.

Η σημασία της αποσύνθεσης Fourier έγκειται στο ότι σε ένα ΓΧΑ σύστημα η έξοδος για ημιτονοειδή είσοδο είναι πάλι ένα ημίτονο, ίδιας συχνότητας αλλά διαφορετικού πλάτους και φάσης. Έτσι μπορούμε να εκφράσουμε την έξοδο ενός συστήματος για δεδομένη είσοδο ως άθροισμα απείρων ημιτόνων, ίδιων συχνοτήτων με τα ημίτονα που αθροιζόμενα παράγουν την είσοδο αλλά με κατάλληλα τροποποιημένη (λόγω της επίδρασης του συστήματος) φάση και πλάτος.

Ας σημειωθεί ότι ο μετασχηματισμός Fourier απεριοδικών σημάτων είναι συνεχής, δηλαδή το συχνοτικό φάσμα των σημάτων περιέχει μη μετρήσιμα άπειρες διαφορετικές συχνότητες.

Αντιθέτως, ο μετασχηματισμός Fourier περιοδικών σημάτων (γνωστός και ως σειρά Fourier) είναι διακριτός, δηλαδή το φάσμα των σημάτων περιέχει μετρήσιμα άπειρες διαφορετικές συνιστώσες: ένα ημίτονο της θεμελιώδους συχνότητας (η οποία είναι η συχνότητα του αρχικού, ολικού περιοδικού σήματος) και άπειρα ημίτονα που οι συχνότητες τους είναι ακέραια πολλαπλάσια της θεμελιώδους (αρμονικές συνιστώσες).

Τον μετασχηματισμό Fourier μίας ποσότητας x(t) (αντίστοιχα f(t)) τον συμβολίζουμε με Χ(Ω) (αντίστοιχα F(Ω)), όπου η ανεξάρτητη μεταβλητή Ω υποδηλώνει πως το πεδίο ορισμού είναι πεδίο συχνοτήτων.

Αρχείο:Synthesis square.gif

Διαδοχική πρόσθεση αρμονικών συνιστωσών με τελικό στόχο τη σύνθεση ενός «τετραγωνικού» περιοδικού σήματος

Ο μετασχηματισμός Fourier της κρουστικής απόκρισης ενός ΓΧΑ συστήματος ονομάζεται Συνάρτηση Μεταφοράς ή απόκριση συχνοτήτων του συστήματος.

Έχει ιδιαίτερη σημασία γιατί μία ιδιότητα της συνέλιξης είναι ότι στο πεδίο των συχνοτήτων μετατρέπεται σε ένα απλό γινόμενο (επομένως η σχέση y(t) = h(t)*x(t) μετασχηματίζεται στον τύπο Y(Ω) = H(Ω)X(Ω), αν λάβουμε το φάσμα Φουριέ των εμπλεκόμενων ποσοτήτων).

Έτσι, αν η συνάρτηση μεταφοράς είναι μηδενική, εκτός από ένα περιορισμένο διάστημα συχνοτήτων [Ω12], τότε το φάσμα κάθε εξόδου περιέχει τις συχνότητες της αντίστοιχης εισόδου οι οποίες εμπεριέχονται στο διάστημα αυτό (πιθανώς με τροποποιημένο πλάτος και φάση στο πεδίο του χρόνου σε σχέση με την είσοδο) και καμία άλλη συχνότητα, καθώς λόγω του πολλαπλασιασμού H(Ω)X(Ω) το φάσμα της εξόδου μηδενίζεται πέραν των ορίων του διαστήματος [Ω12].

Το διάστημα αυτό καλείται Εύρος Ζώνης του συστήματος.

Φίλτρα[]

Συστήματα τα οποία στην έξοδό τους διατηρούν απαράλλακτες, ως προς το πλάτος και τη φάση, τις συχνοτικές συνιστώσες της εισόδου οι οποίες εμπίπτουν σε ένα διάστημα [Ω12], αλλά μηδενίζουν κάθε άλλη συνιστώσα, ονομάζονται φίλτρα.

Ένα φίλτρο λέγεται:

  • χαμηλοπερατό, αν Ω1=0 και Ω2 (σε αυτήν την περίπτωση το Ω2 συμβολίζεται ως Ωc και λέγεται συχνότητα αποκοπής)
  • ζωνοπερατό, αν Ω10 και Ω2
  • υψιπερατό, αν Ω10 και Ω2=

Υποσημειώσεις[]


Εσωτερική Αρθρογραφία[]


Βιβλιογραφία[]

  • Θεοδωρίδης Σ., Μπερμπερίδης Κ., Κοφίδης Λ., Εισαγωγή στη Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων, Δαρδανός, 2003
  • Oppenheim A., Schafer R.W., Buck J., Discrete-Time Signal Processing, Prentice Hall, 1999

Ιστογραφία[]


Ikl Κίνδυνοι ΧρήσηςIkl

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες
σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια
ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι
η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη,
την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει.

"Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα
να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο,
η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης"
του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει."

Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι
όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς,
και για μακρά χρονική περίοδο,
αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία,
ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε.



Επίσης,
Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)"
(όχι μόνον, της Sciencepedia
αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)),
αν και άκρως απαραίτητοι,
είναι αδύνατον να ελεγχθούν
(λόγω της ρευστής φύσης του Web),
και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν
σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο.
Ο αναγνώστης πρέπει να είναι
εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

IonnKorr-System-00-goog



>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)


Advertisement