Επισυνόλεια Σχέση

Σχέσις επί Συνόλων

Relation, relevancy

- Ένα σύνολο

Ετυμολογία

Η ονομασία "Σχέση" σχετίζεται ετυμολογικά με την λέξη "σχήμα".

Εισαγωγή

Σχέση στα μαθηματικά είναι μια συσχέτιση των στοιχείων ενός συνόλου με τα στοιχεία κάποιου άλλου.

Η έννοια της σχέσης χρησιμοποιείται στα μαθηματικά για να μοντελοποιήσουμε έννοιες όπως μεγαλύτερο από, είναι ίσο με, είναι ισοδύναμο με κλπ. Η ίδια η έννοια της συνάρτησης ορίζεται ως μια σχέση ειδικού τύπου.

Αυστηρός Ορισμός

Έστω X και Y δύο τυχαία σύνολα.

Σχέση από το X στο Y ονομάζουμε κάθε υποσύνολο R του καρτεσιανού γινομένου X × Y:

$R\subseteq X\times Y=\lbrace (x,y)\mid x\in X,y\in Y\rbrace$

Δηλαδή, μια σχέση από ένα σύνολο X σε ένα σύνολο Y είναι ένα σύνολο διατεταγμένων ζευγών.

• Το σύνολο X ονομάζεται πεδίο ορισμού και
• το σύνολο Y ονομάζεται σύνολο τιμών.

Ειδικότερα, αν R είναι μια σχέση από το σύνολο X στο σύνολο X, τότε λέμε ότι η R είναι μια σχέση στο X. Η έκφραση (x, y) ∈ R γράφεται διαφορετικά και ως εξής: xRy ή R(x, y) και λέμε ότι το y σχετίζεται με το x μέσω της σχέσης R ή ακόμα ότι η σχέση R ισχύει μεταξύ των στοιχείων x και y.

Το γράμμα R, προφανώς, μπορεί να αντικατασταθεί με οποιοδήποτε άλλο γράμμα, συχνά ακόμα και με σύμβολα όπως <, >, +, =, κ.α.

Παραδείγματα

Για παράδειγμα αν για τα σύνολα X και Y έχουμε $X=\lbrace 1,2\rbrace$ και $Y=\lbrace 3,4,5\rbrace$, R είναι μια σχέση στα σύνολα X και Y και S είναι μια σχέση στο σύνολο X, τότε για την R έχουμε:

$R\subseteq \lbrace (1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5)\rbrace$

και για την S:

$S\subseteq \lbrace (1,2),(2,1),(1,1),(2,2)\rbrace$

Κλάσεις Σχέσων

Μερικές σημαντικές κλάσεις σχέσεων R, από ένα σύνολο Χ σε ένα σύνολο Y δίνονται παρακάτω:

• αριστερά ολική: για κάθε x στο Χ υπάρχει y στο Y τέτοιο ώστε xRy,
• επι ή δεξιά ολική: για κάθε y στο Y υπάρχει x στο Χ τέτοιο ώστε xRy,
• συναρτησιακή: για κάθε x στο X και y, z στο Y ισχύει ότι, αν xRy και xRz τότε y = z,
• ένα προς ένα: για κάθε x και z στο X και για κάθε y στο Y ισχύει ότι αν xRy και zRy τότε x = z
• αμφιμονοσήμαντη: αριστερά και δεξιά ολική, συναρτησιακή και αμφιμονοσήμαντη

Σχέσεις σε ένα Σύνολο

Ορισμένες σημαντικές κλάσεις διμελών σχέσεων σε ένα σύνολο X είναι οι εξής:

• Ανακλαστική Σχέση: για κάθε x στο X ισχύει xRx.
• Συμμετρική Σχέση : για κάθε x, y στο X, αν ισχύει xRy τότε ισχύει και yRx.
• Αντισυμμετρική Σχέση : για κάθε x, y στο X, αν ισχύει xRy και yRx τότε x = y.
• Ασυμμετρική Σχέση : για κάθε x, y στο X, αν ισχύει xRy τότε δεν ισχύει yRx.
• Μεταβατική Σχέση : για κάθε x, y, z στο X, αν ισχύει xRy και yRz τότε xRz.
• Ολική Σχέση : για κάθε x, y στο X, ισχύει xRy ή yRx ή και τα δύο.
• Τριχοτομική Σχέση : για κάθε x, y στο X, ισχύει ακριβώς ένα από τα xRy, yRx ή x = y.
• Ευκλείδεια Σχέση : για κάθε x, y, z στο X, αν ισχύει xRy και xRz τότε yRz.

• Μια σχέση που είναι ανακλαστική, συμμετρική και μεταβατική ονομάζεται σχέση ισοδυναμίας.
• Μια σχέση που είναι ανακλαστική, αντισυμμετρική και μεταβατική ονομάζεται σχέση μερικής διάταξης.
• Μια σχέση μερικής διάταξης που είναι και ολική ονομάζεται σχέση ολικής διάταξης.

Η συνάρτηση ως σχέση

Έστω X και Y δύο μη κενά σύνολα. Μια σχέση f από το σύνολο X στο σύνολο Y ονομάζεται συνάρτηση από το X στο Y αν:

• για κάθε x στο Χ υπάρχει y στο Y ώστε xfy
• αν x ανήκει στο X, y, z ανήκουν στο Y και ισχύει xfy και xfz τότε y = z

Επομένως, μια σχέση f από το σύνολο X στο σύνολο Y ονομάζεται συνάρτηση από το X στο Y αν για κάθε x στο Χ υπάρχει μοναδικό y στο Y ώστε xfy. Με άλλα λόγια μια σχέση που είναι αριστερά ολική και συναρτησιακή, ονομάζεται συνάρτηση. Αν είναι μόνο συναρτησιακή τότε ονομάζεται μερική συνάρτηση.

Σύνθεση σχέσεων

Η σύνθεση σχέσεων είναι ένας τρόπος με τον οποίο σχηματίζουμε μια νέα σχέση από δύο δεδομένες σχέσεις R και S και την οποία συμβολίζουμε με S o R. Ειδική κατηγορία σύνθεσης σχέσεων είναι η σύνθεση συναρτήσεων.

Ορισμός

Αν R ⊆ X × Y και S ⊆ Y × Z είναι δύο διμελείς σχέσεις, τότε η σύνθεση τους S o R είναι η σχέση:

$S\circ R=\{(x,z)\in X\times Z\mid \exists y\in Y:(x,y)\in R,(y,z)\in S\}\subseteq X\times Z$.

Με άλλα λόγια η σχέση S o R είναι η σχέση στην οποία ανήκουν όλα τα διατεταγμένα ζεύγη (x, z) για τα οποία ισχύει το εξής: υπάρχει y στο Y τέτοιο ώστε το (x, y) να ανήκει στη R και το (y, z) να ανήκει στη S.

Ιδιότητες

• Η σύνθεση σχέσεων είναι προσεταιριστική,
• Η αντίστροφη σχέση της S o R είναι η σχέση (S o R)^-1 = R^-1 o S^-1,
• Η σύνθεση μερικών συναρτήσεων είναι μερική συνάρτηση,
• Η σύνθεση επί σχέσεων, είναι επί σχέση,
• Η σύνθεση ένα προς ένα σχέσεων, είναι ένα προς ένα

Εσωτερική Αρθρογραφία

• Επισυνόλεια Σχέση
• συγγένεια
• συσχέτιση
• συσχετισμός
• Διμελής Σχέση
• Ισοδυναμιακή Σχέση
• Σχέση Μικρο-Οικονομίας Βιο-Κυττάρου
• Σχέση Μακρο-Οικονομίας Βιο-Οργανισμού
• σχετικοποίηση
• σχετικότητα
• σχετικισμός

Ιστογραφία

• Ομώνυμο άρθρο στην Βικιπαίδεια
• Ομώνυμο άρθρο στην Livepedia
• [ ]
• [ ]

Κίνδυνοι Χρήσης

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη, την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει. "Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο, η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης" του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει." Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς, και για μακρά χρονική περίοδο, αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία, ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε. Επίσης, Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)" (όχι μόνον, της Sciencepedia αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)), αν και άκρως απαραίτητοι, είναι αδύνατον να ελεγχθούν (λόγω της ρευστής φύσης του Web), και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο. Ο αναγνώστης πρέπει να είναι εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

---

>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)

---