Επιχώρια Ολοκλήρωση

Επιχώριον Ολοκλήρωμα

Volume integral

Ολοκληρωτικός Λογισμός

---

Ορισμένο Ολοκλήρωμα Αόριστο Ολοκλήρωμα

---

Απλό Ολοκλήρωμα Διπλό Ολοκλήρωμα Τριπλό Ολοκλήρωμα

---

Επικαμπύλιο Ολοκλήρωμα Επιφανειακό Ολοκλήρωμα Ογκικό Ολοκλήρωμα

---

Γενικευμένο Ολοκλήρωμα Καταχρηστικό Ολοκλήρωμα

- Ένα Ολοκλήρωμα σε μία χωρική περιοχή.

Ετυμολογία

Η ονομασία "επιχώριο" σχετίζεται ετυμολογικά με την λέξη "χώρος ".

Εισαγωγή

Είναι ένας διαφορικός τελεστής διανυσματικών μεταβλητών.

In mathematics — in particular, in Multivariable Calculus — a volume integral refers to an integral over a 3-dimensional domain.

Volume integral is a triple integral of the constant function 1, which gives the volume of the region D, that is, the integral

$\operatorname {Vol} (D)=\iiint \limits _{D}dx\,dy\,dz.$

It can also mean a triple integral within a region D in R³ of a function $f(x,y,z),$ and is usually written as:

$\iiint\limits_D f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz.$

A volume integral in cylindrical coordinates is

$\iiint \limits _{D}f(r,\theta ,z)\,r\,dr\,d\theta \,dz,$

and a volume integral in spherical coordinates (using the standard convention for angles) has the form

$\iiint \limits _{D}f(r,\theta ,\phi )\,r^{2}\sin \theta \,dr\,d\theta \,d\phi .$

Κλειστή Επιχώρια Ολοκλήρωση

Το κλειστό επιχώριο ολοκλήρωμα στον 3D-Χώρο είναι ταυτοτικά μηδέν

${\color {red}\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\!\!\int \!\!\!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{}\,\,\;dV}\cdot Q\;\equiv 0\,$ (σε τυπογραφία Latex)

ή

${\color {red}\oiiint dV}\cdot Q\;\equiv 0\,$ (σε τυπογραφία MathJax)

Example

Integrating the function $f(x,y,z)=1$ over a unit cube yields the following result:

$\iiint \limits _{0}^{1}1\,dx\,dy\,dz=\iint \limits _{0}^{1}(1-0)\,dy\,dz=\int \limits _{0}^{1}(1-0)dz=1-0=1$

So the volume of the unit cube is 1 as expected. This is rather trivial however and a volume integral is far more powerful.

For instance if we have a scalar function:

$f\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R}$

describing the density of the cube at a given point $(x, y, z)$ by $f=x+y+z$ then performing the volume integral will give the total mass of the cube:

$\iiint \limits _{0}^{1}\left(x+y+z\right)\,dx\,dy\,dz=\iint \limits _{0}^{1}\left({\frac {1}{2}}+y+z\right)\,dy\,dz=\int \limits _{0}^{1}\left(1+z\right)\,dz={\frac {3}{2}}$

Εσωτερική Αρθρογραφία

• Ολοκλήρωμα
• Επιφανειακό Ολοκλήρωμα
• Επικαμπύλιο Ολοκλήρωμα

Ιστογραφία

• Ομώνυμο άρθρο στην Βικιπαίδεια
• Ομώνυμο άρθρο στην Livepedia
• [ ]
• [ ]

Κίνδυνοι Χρήσης

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη, την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει. "Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο, η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης" του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει." Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς, και για μακρά χρονική περίοδο, αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία, ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε. Επίσης, Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)" (όχι μόνον, της Sciencepedia αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)), αν και άκρως απαραίτητοι, είναι αδύνατον να ελεγχθούν (λόγω της ρευστής φύσης του Web), και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο. Ο αναγνώστης πρέπει να είναι εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

---

>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)

---