Εσωτερικός Πολλαπλασιασμός

Εσωτερικός Πολλαπλασιασμός

Μultiplication, inner product

Εσωτερικός Πολλαπλασιασμός

Εσωτερικός Πολλαπλασιασμός (dot product)

Εσωτερικός Πολλαπλασιασμός

---

Χώρος Hilbert

---

Χώρος Lebesgue

---

To Εσωτερικό Γινόμενο
δύο διανυσμάτων του Χώρου Hilbert
(όπου "ζουν" τα όντα του Κβαντικού Κόσμου)
όπως π.χ. "Ket ψ", "bra φ"
ισούται
με το Ολοκλήρωμα του Γινομένου
δύο αντίστοιχων μιγαδικών συναρτήσεων
του Χώρου Lebesgue
(με τις οποίες εμείς οι Άνθρωποι
τα αντιστοιχούμε
ώστε να μπορούμε να τα περιγράψουμε)
όπως π.χ. ψ(x), φ(x)
Έτσι
μια αφηρημένη μαθηματική εξίσωση
αποκτά φυσική σημασία
και κυρίως μας παρέχει
δυνατότητα μέτρησης σε πειράματα
καθόσον
το Εσωτερικό Γινόμενο αυτό
είναι πάντα ένας Μιγαδικός
(ή ακόμη και Πραγματικός Αριθμός)

Εσωτερικός Πολλαπλασιασμός

Διακριτά Μαθηματικά
Αριθμητική
Αριθμοθεωρία
Αριθμός
Τελεστής

---

Αλγεβρικές Πράξεις
Πρόσθεση Αφαίρεση Πολλαπλασιασμός
Διαίρεση

---

Συνολοϊκές Πράξεις
Συνολοϊκή Ένωση
Συνολοϊκή Τομή

---

Λογικές Πράξεις
Σύζευξη (Conjunction)
Διάζευξη (Disjunction)
Άρνηση (Negation)

---

Ιδιότητες Πράξεων
Ανακλαστική Ιδιότητα
Αντιμεταθετική Ιδιότητα
Προσεταιριστική Ιδιότητα Επιμεριστική Ιδιότητα

Εσωτερικός Πολλαπλασιασμός (dot product)

Εσωτερικός Πολλαπλασιασμός (dot product)

Τετραγωνικά Ολοκληρώσιμη Συνάρτηση
Εσωτερικό Γινόμενο
Χώρος Hilbert
Μαθηματική Ανάλυση
Γραμμική Άλγεβρα

- Μία Μαθηματική Πράξη.

Ετυμολογία

Η ονομασία "Πολλαπλασιασμός" σχετίζεται ετυμολογικά με την λέξη "πολλαπλότητα".

Εισαγωγή

In this article, the field of scalars denoted $\mathbb{F}$ is either the field of real numbers $\R$ or the field of complex numbers $\mathbb{C}$.

Formally, an inner product space is a vector space $V$ over the field $\mathbb{F}$ together with a map $$\langle \cdot, \cdot \rangle : V \times V \to \mathbb{F}$$ called an inner product that satisfies the following conditions (1), (2), and (3)Πρότυπο:Sfn for all vectors $x,y,z \in V$ and all scalars $s \in \mathbb{F}$:

Το εσωτερικό γινόμενο των συναρτήσεων f(x) και φ(x) στο Συναρτησιακό Χώρο L²
όπου :
$|\psi \rangle = \int^{+\infty}_{-\infty} dx \cdot \psi(x) \; |x \rangle$ $| \phi \rangle = \int_{-\infty}^{+\infty} dx \cdot \phi(x) \; |x \rangle$ ορίζεται ως
$\langle \phi| \psi \rangle = \int_{-\infty}^{+\infty} dx \cdot \phi^*(x) \cdot \psi(x)$

Απόδειξη: $\begin{array}{l} \langle \phi| \psi \rangle &= \\ &= \langle \phi|\int_{-\infty}^{+\infty} dx \cdot |x \rangle \langle x| \psi \rangle \\ &= \int_{-\infty}^{+\infty}dx \cdot \langle \phi |x \rangle \langle x| \psi \rangle \\ &= \int_{-\infty}^{+\infty}dx \cdot \langle x | \phi \rangle ^* \langle x| \psi \rangle \\ &= \int_{-\infty}^{+\infty} dx \cdot \phi^*(x) \cdot \psi(x)\\ \end{array}$

Χρησιμοποιήθηκαν οι σχέσεις: $\psi(x) = \langle x |\psi \rangle$ $\phi^*(x) = \langle x |\psi \rangle ^*$

και η περίφημη "Ανάλυση της Μονάδας" (Revolution of intentity): $\int_{-\infty}^{+\infty} dx\cdot |x \rangle \langle x| = 1$

Εσωτερική Αρθρογραφία

• Μαθηματική Πράξη
• Άλγεβρα
• Αριθμός
• Εσωτερικός Πολλαπλασιασμός
• Εξωτερικός Πολλαπλασιασμός
• Τανυστικός Πολλαπλασιασμός
• Dimensional analysis
• Multiplication algorithm
  • Karatsuba algorithm, για μεγάλους αριθμούς
  • Toom-Cook multiplication, για πολύ μεγάλους αριθμούς
  • Schönhage-Strassen algorithm, για τεράστιους αριθμούς
• Multiplication table
• Multiplication ALU, πως πολλαπλασιάζονται οι υπολογιστές
  • Booth's multiplication algorithm
  • Floating point
  • Fused multiply-add
  • Multiply-accumulate
  • Wallace tree
• Multiplicative inverse, αμοιβαίες
• Factorial
• Genaille-Lucas rulers
• Napier's bones
• Peasant multiplication
• Product, γενικεύσεις
• Slide rule

Ιστογραφία

• Ομώνυμο άρθρο στην Βικιπαίδεια
• Ομώνυμο άρθρο στην Livepedia

Κίνδυνοι Χρήσης

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη, την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει. "Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο, η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης" του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει." Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς, και για μακρά χρονική περίοδο, αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία, ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε. Επίσης, Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)" (όχι μόνον, της Sciencepedia αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)), αν και άκρως απαραίτητοι, είναι αδύνατον να ελεγχθούν (λόγω της ρευστής φύσης του Web), και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο. Ο αναγνώστης πρέπει να είναι εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

---

>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)

---