Ευκλείδειο Επίπεδο

Ευκλείδειον Επίπεδον

Euclidean Plane

Είναι ένα επίπεδο.

Ετυμολογία

Η ονομασία "Ευκλείδειο" σχετίζεται ετυμολογικά με το όνομα "Ευκλέιδης".

Εισαγωγή

Απόσταση

The Euclidean distance between two points of the plane with Cartesian coordinates $(x_1,y_1)$ and $(x_2,y_2)$ is

$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}.$

This is the Cartesian version of Pythagoras' theorem. In three-dimensional space, the distance between points $(x_1, y_1, z_1)$ and $(x_2, y_2, z_2)$ is

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

which can be obtained by two consecutive applications of Pythagoras' theorem.

Ευκλείδειοι Μετασχηματισμοί=

Μεταφορά (Translation)

translation a set of points of the plane, preserving the distances and directions between them, is equivalent to adding a fixed pair of numbers (X,Y) to the Cartesian coordinates of every point in the set.

That is, if the original coordinates of a point are (x,y), after the translation they will be

$(x',y')=(x+X,y+Y).\,$

Κλιμάκωση (Scaling)=

To make a figure larger (μεγέθυνση) or smaller (Σμίκρυνση) is equivalent to multiplying the Cartesian coordinates of every point by the same positive number m. If (x,y) are the coordinates of a point on the original figure, the corresponding point on the scaled figure has coordinates

$(x',y')=(mx,my).\,$

If m is greater than 1, the figure becomes larger; if m is between 0 and 1, it becomes smaller.

Περιστροφή (Rotation)=

To rotate a figure counterclockwise around the origin by some angle $\theta$ is equivalent to replacing every point with coordinates (x,y) by the point with coordinates (x',y'), where

$x' = x \cos \theta - y \sin \theta\,$

$y'=x\sin \theta +y\cos \theta .\,$

Thus: $(x',y') = ((x \cos \theta - y \sin \theta\,) , (x \sin \theta + y \cos \theta\,)) .$

Κατοπτρισμός (Reflection)=

If (x, y) are the Cartesian coordinates of a point, then (−x, y) are the coordinates of its reflection across the second coordinate axis (the Y axis), as if that line were a mirror. Likewise, (x, −y) are the coordinates of its reflection across the first coordinate axis (the X axis).

Γενικός Μετασχηματισμός (General transformations)=

The Euclidean transformations of the plane are the translations, rotations, scalings, reflections, and arbitrary compositions thereof. The result $(x',y')$ of applying a Euclidean transformation to a point $(x,y)$ is given by the formula

$(x',y')=(x,y)A+b\,$

where A is a 2×2 matrix and b is a pair of numbers, that depend on the transformation; that is,

$x'=xA_{11}+yA_{21}+b_{1}\,$

$y'=xA_{12}+yA_{22}+b_{2}.\,$

The matrix A must have orthogonal rows with same Euclidean length, that is,

$A_{11}A_{21}+A_{12}A_{22}=0\,$

and

$A_{11}^{2}+A_{12}^{2}=A_{21}^{2}+A_{22}^{2}.$

This is equivalent to saying that A times its transpose must be a diagonal matrix. If these conditions do not hold, the formula describes a more general affine transformation of the plane.

The formulas define a translation if and only if A is the identity matrix. The transformation is a rotation around some point if and only if A is a rotation matrix, meaning that

$A_{11}^{2}+A_{12}^{2}=A_{21}^{2}+A_{22}^{2}=A_{11}A_{22}-A_{21}A_{12}=1.$

Μερικοί Μετασχηματισμοί

In two-dimensional space R² linear maps are described by 2 × 2 real matrices. These are some examples:

• rotation by 90 degrees counterclockwise:

  $\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}$

• rotation by θ degrees counterclockwise:

  $\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}$

• reflection against the x axis:

  $\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$

• reflection against the y axis:

  $\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}}$

• scaling by 2 in all directions:

  $\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}}$

• horizontal shear mapping:

  $\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1&m\\0&1\end{pmatrix}}$

• squeeze mapping:

  $\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}k&0\\0&1/k\end{pmatrix}}$

• projection onto the y axis:

  $\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}.$

Εσωτερική Αρθρογραφία

• Ευκλείδειος Χώρος
• Επίπεδο
• [[]]

Ιστογραφία

• Ομώνυμο άρθρο στην Βικιπαίδεια
• Ομώνυμο άρθρο στην Livepedia
• [ ]
• [ ]

Κίνδυνοι Χρήσης

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη, την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει. "Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο, η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης" του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει." Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς, και για μακρά χρονική περίοδο, αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία, ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε. Επίσης, Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)" (όχι μόνον, της Sciencepedia αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)), αν και άκρως απαραίτητοι, είναι αδύνατον να ελεγχθούν (λόγω της ρευστής φύσης του Web), και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο. Ο αναγνώστης πρέπει να είναι εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

---

>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)

---