Εφαπτόμενον Διάνυσμα







- Ένα είδος διανύσματος
Περιεχόμενα
Ετυμολογία[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Η ονομασία "Εφαπτόμενο" σχετίζεται ετυμολογικά με την λέξη "εφαπτομένη".
Εισαγωγή[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
In mathematics, a tangent vector is a vector that is tangent to a curve or surface at a given point.
Tangent vectors are described in the differential geometry of curves in the context of curves in Rn.
More generally, tangent vectors are elements of a tangent space of a differentiable manifold.
Tangent vectors can also be described in terms of germs.
In other words, a tangent vector at the point is a linear derivation of the algebra defined by the set of germs at .
Motivation[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Before proceeding to a general definition of the tangent vector, we discuss its use in calculus and its tensor properties.
Calculus[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Let [1] The unit tangent vector is given by
be a parametric smooth curve. The tangent vector is given by , where we have used the a prime instead of the usual dot to indicate differentiation with respect to parameter t.Example[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Given the curve
in
, the unit tangent vector at time is given byContravariance[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
If
is given parametrically in the n-dimensional coordinate system xi (here we have used superscripts as an index instead of the usual subscript) by orthen the tangent vector field
is given byUnder a change of coordinates
the tangent vector
in the ui-coordinate system is given bywhere we have used the Einstein summation convention.
Therefore, a tangent vector of a smooth curve will transform as a contravariant tensor of order one under a change of coordinates.[2]
Κατευθυνόμενη Παράγωγος[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Let differentiable function and let be a vector in . We define the directional derivative in the direction at a point by
be aThe tangent vector at the point [3] as
may then be definedProperties[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Let
be differentiable functions, let be tangent vectors in at , and let .Then
Tangent vector on manifolds[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Let
be a differentiable manifold and let be the algebra of real-valued differentiable functions .Then the tangent vector to derivation which shall be linear — i.e., for any and we have
at a point in the manifold is given by theNote that the derivation will by definition have the Leibniz property
Υποσημειώσεις[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Εσωτερική Αρθρογραφία[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Βιβλιογραφία[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
- Gray, Alfred (1993), Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces, Boca Raton: CRC Press.
- Stewart, James (2001), Calculus: Concepts and Contexts, Australia: Thomson/Brooks/Cole.
- Kay, David (1988), Schaums Outline of Theory and Problems of Tensor Calculus, New York: McGraw-Hill.
Ιστογραφία[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
![]() ![]() |
---|
Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες "Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι Επίσης, |
- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν
- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)