Θεμελιώδες Θεώρημα Ανάλυσης

Θεμελιώδες Θεώρημα της Ανάλυσης

Fundamental theorem of calculus

1o Θεμελιώδες Θεώρημα Ανάλυσης

Θεμελιώδες Θεώρημα Αριθμητικής

---

Θεμελιώδες Θεώρημα Άλγεβρας

---

Θεμελιώδες Θεώρημα Ανάλυσης

1o Θεμελιώδες Θεώρημα Ανάλυσης

2o Θεμελιώδες Θεώρημα Ανάλυσης

Θεμελιώδες Θεώρημα Ανάλυσης

1o Θεμελιώδες Θεώρημα Ανάλυσης

2o Θεμελιώδες Θεώρημα Ανάλυσης

Θεμελιώδες Θεώρημα Ανάλυσης

Θεμελιώδες Θεώρημα Ανάλυσης

Θεώρημα Stokes
Θεμελιώδες Θεώρημα Λογισμού

Μαθηματικά

---

Μαθηματικό Θεώρημα
Μαθηματικά Θεωρήματα
Νόμοι Φυσικής
Εξισώσεις
Μαθηματικό Αξίωμα
Αριθμός
Μαθηματικός Χώρος

Μαθηματική Ανάλυση
Διαφορική Ανάλυση
Ολοκληρωτική Ανάλυση Θεμελιώδες Θεώρημα Ανάλυσης

Θεμελιώδες Θεώρημα Ανάλυσης

Θεμελιώδες Θεώρημα Ανάλυσης

Θεμελιώδες Θεώρημα Ανάλυσης

- Ένα Θεώρημα των Μαθηματικών.

Ετυμολογία

Πρότυπο:Theorems

Η ονομασία "Θεώρημα" σχετίζεται ετυμολογικά με το όνομα του μαθηματικού "[[]]".

Περιγραφή

Άλλες ονομασίες:

- Θεμελιώδες Θεώρημα του Λογισμού.

- Θεμελιώδες Θεώρημα του Απειροστικού Λογισμού

- Θεμελιώδες θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού.

Αρχικά, θα δώσουμε την αυστηρή μαθηματική διατύπωσή του και στην συνέχεια τις διατυπώσεις του όπως χρησιμεύουν στην Φυσική.

Μαθηματική Διατύπωση

Εφόσον $f$ είναι συνεχής και Riemann integrable στο διάστημα $[a, b]$ και $x\in(a,b)$ ισχύει:

${\begin{aligned}if\qquad \qquad \qquad \qquad \\{\frac {d}{dx}}F(x)=f(x)\qquad \qquad \qquad \\then\qquad \qquad \qquad \qquad \\\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\left\lbrack F(x)\right\rbrack _{a}^{b}\qquad \qquad \end{aligned}}$

Πρώτο Θεμελιώδες Θεώρημα

Εκφράζει ότι:

Η αόριστη ολοκλήρωση της παραγώγου μιάς συνάρτησης f(x), σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, ισούται με την ίδια την συνάρτηση f(x).

Δεύτερο Θεμελιώδες Θεώρημα

Εκφράζει ότι:

Η ορισμένη ολοκλήρωση της παραγώγου μιάς συνάρτησης f(x), σε ένα διάστημα (a, b), ισούται με την διαφορά των τιμών της συνάρτησης f(x) στα άκρα του διαστήματος αυτού.

Επιπλέον αυτό ισχύει για κάθε υπο-διάστημα που περιλαμβάνεται στο διάστημα αυτό.

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Πολλοί μαθηματικοί ονομάζουν το πρώτο δεύτερο και αντίστροφα.

Γεωμετρική Σημασία

Το Θεμελιώδες θεώρημα της Ανάλυσης έχει εκπληκτικές μαθηματικές γενικεύσεις και φυσικές προεκτάσεις.

Γενικώς, από γεωμετρικής σκοπιάς, συσχετίζει ανοικτά γεωμετρικά αντικείμενα δηλ. (σημεία, ανοικτές καμπύλες, ανοικτές επιφάνειες, χωρικές περιοχές) με τα αντίστοιχα σύνορά τους δηλ. (σημεία, ζεύγη σημείων, κλειστές καμπύλες, κλειστές επιφάνειες)

• Το 1ο Θεώρημα συσχετίζει ένα "σημείο" με το σύνορό του. Ο εφαρμοζόμενος τελεστής στο "σημείο" είναι το Αόριστο Ολοκλήρωμα)). Υπενθυμίζεται ότι ως σύνορο ενός σημείου ορίζεται, τετριμμένα, το ίδιο το σημείο. Ο εφαρμοζόμενος τελεστής σε αυτό είναι ο ταυτοτικός (δηλ. η μονάδα).

• Το 2ο Θεώρημα συσχετίζει ένα "ευθύγραμμο τμήμα" με το σύνορό του (αλγεβρικά, βέβαια, αναφερόμαστε σε ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών και τις τιμές της συνάρτησης, αντίστοιχα). Ο εφαρμοζόμενος τελεστής στο "ευθύγραμμο τμήμα" είναι το Ορισμένο Ολοκλήρωμα)). Υπενθυμίζεται ότι το σύνορο ενός ευθυγράμμου τμήματος είναι ένα ζεύγος σημείων. Ο εφαρμοζόμενος τελεστής, στο σύνορο είναι η διαφορά (Δ).

• Η πρώτη επέκταση είναι το Θεμελιώδες Θεώρημα Διανυσματικής Ανάλυσης. Αυτό συσχετίζει μία "ανοικτή καμπύλη" με το σύνορό της. Ο εφαρμοζόμενος τελεστής σε αυτήν είναι το Επικαμπύλιο Ολοκλήρωμα. Υπενθυμίζεται ότι το σύνορο μίας ανοικτής καμπύλης είναι και πάλι ένα ζεύγος σημείων. Ο εφαρμοζόμενος τελεστής, στο σύνορο είναι η διαφορά (Δ).

• Η επόμενη μεσο-επέκταση είναι το Θεώρημα Green. Αυτό συσχετίζει μία επίπεδη "ανοικτή επιφάνεια" με το σύνορό της. Ο εφαρμοζόμενος τελεστής σε αυτήν είναι και το διπλό Επιφανειακό Ολοκλήρωμα. Υπενθυμίζεται ότι το σύνορο μίας επίπεδης "ανοικτής επιφάνειας" είναι μία επίπεδη "κλειστή καμπύλη". Ο εφαρμοζόμενος τελεστής στο σύνορο είναι το κλειστό Επικαμπύλιο Ολοκλήρωμα.

• Η επόμενη πραγματική επέκταση είναι το Θεώρημα Stokes. Αυτό συσχετίζει μία οποιαδήποτε "ανοικτή επιφάνεια", του τρισδιάστατου χώρου, με το σύνορό της. Ο εφαρμοζόμενος τελεστής σε αυτήν είναι το διπλό Επιφανειακό Ολοκλήρωμα. Υπενθυμίζεται ότι το σύνορο μίας επίπεδης "ανοικτής επιφάνειας" είναι μία τρισδιάστατη "κλειστή καμπύλη". Ο εφαρμοζόμενος τελεστής στο σύνορο είναι και πάλι το κλειστό Επικαμπύλιο Ολοκλήρωμα.

• Η επόμενη επέκταση είναι το Θεώρημα Gauss. Αυτό συσχετίζει μία "χωρική περιοχή" του τρισδιάστατου χώρου με το σύνορό της. Ο εφαρμοζόμενος τελεστής σε αυτήν είναι το τριπλό ολοκλήρωμα όγκου. Υπενθυμίζεται ότι το σύνορο μίας "χωρικής περιοχής" είναι μία "κλειστή επιφάνεια". Ο εφαρμοζόμενος τελεστής στο σύνορο είναι το κλειστό Επιφανειακό Ολοκλήρωμα.

Τα ανωτέρω δείχνουν την εκπληκτική "μεγαλοπρέπεια" του θεωρήματος αυτού που αν και εκκινεί από την Άλγεβρα απλώνει τα πλοκάμια του βαθιά μέσα στην Διαφορική Γεωμετρία (αλλά και στην Ηλεκτρομαγνητική Θεωρία της Φυσικής).

Ωστόσο, είναι ακόμη εντυπωσιακότερο να αναζητήσουμε τις ρίζες του εκπληκτικού αυτού θεωρήματος. Βρίσκονται, με απόλυτα τετριμμένη μορφή, στην Αριθμητική.

Η τετριμμένη περίπτωση της Αριθμητικής

Πράγματι, εδώ ο τελεστής "ολοκλήρωμα" αντικαθίσταται με έναν αριθμό (c) με ενσωματωμένη την (δεξιά) πράξη του πολλαπλασιασμού. Ο τελεστής "παράγωγος" αντικαθίσταται με τον αντίστροφο αριθμό (1/c) με ενσωματωμένη επίσης την (δεξιά) πράξη του πολλαπλασιασμού. Το αποτέλεσμα της συνδυασμένης δράσης των δύο αυτών "τετριμμένων τελεστών" σε έναν τυχαίο αριθμό φ που εδώ υποκαθιστά την συνάρτηση f δίνει ως αποτέλεσμα τον ίδιο τον αριθμό φ. (όπως ακριβώς το ολοκλήρωμα είναι ο αντίστροφος τελεστής της παραγώγου). Προφανώς, στην Αριθμητική, το σύνορο ενός αριθμού δεν έχει έννοια. Ωστόσο, η τετριμμένη μορφή του υπάρχει και ταυτίζεται με τον ίδιο τον αριθμό.

Σύνοψη

${\begin{aligned}\int _{a}^{b}dx\cdot {\frac {d}{dx}}f(x)=f(b)-f(a)\\\\\int _{{\vec {r}}_{1}}^{{\vec {r}}_{2}}d{\vec {r}}\cdot {\vec {\nabla }}f({\vec {r}})=f({\vec {r}}_{2})-f({\vec {r}}_{1})\\\\\iint _{S}d{\vec {S}}{\boldsymbol {\cdot }}[{\vec {\nabla }}\times {\vec {F}}({\vec {r}})]=\oint _{c}d{\vec {r}}{\boldsymbol {\cdot }}{\vec {F}}({\vec {r}})\\\\\iiint _{V}dV\cdot [{\vec {\nabla }}\,{\boldsymbol {\cdot }}{\vec {F}}({\vec {r}})]=\oiint _{S}\;d{\vec {S}}{\boldsymbol {\cdot }}{\vec {F}}({\vec {r}})\\\end{aligned}}$

Εσωτερική Αρθρογραφία

• Μαθηματικά
• Άλγεβρα
• Γεωμετρία
• Μαθηματική Ανάλυση
• Τοπολογία
• Μαθηματικό Θεώρημα
• Μαθηματικά Θεωρήματα
• Μαθηματικό Αξίωμα
• Μαθηματικός Χώρος

Ιστογραφία

• Ομώνυμο άρθρο στην Βικιπαίδεια
• Ομώνυμο άρθρο στην Livepedia
• Fundamental theorem of calculus
• [ ]

Κίνδυνοι Χρήσης

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη, την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει. "Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο, η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης" του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει." Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς, και για μακρά χρονική περίοδο, αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία, ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε. Επίσης, Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)" (όχι μόνον, της Sciencepedia αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)), αν και άκρως απαραίτητοι, είναι αδύνατον να ελεγχθούν (λόγω της ρευστής φύσης του Web), και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο. Ο αναγνώστης πρέπει να είναι εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

---

>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)

---