Ιδιοδιάνυσμα

Ιδιοδιάνυσμα

Eigenvector

Ιδιοδιάνυσμα Ιδιοτιμή

- Ένα είδος διανύσματος.

Ετυμολογία

Η ονομασία "Ιδιοδιάνυσμα" σχετίζεται ετυμολογικά με την λέξη "διάνυσμα".

Εισαγωγή

Ιδιοδιανύσματα Τελεστή

Έστω ένας τελεστής Α, ο οποίος δρα πάνω σε ένα διάνυσμα |x>. Το αποτέλεσμα θα είναι ένα νέο διάνυσμα |y>, σύμφωνα με τον ορισμό του τελεστή, εν γένει διαφορετικό από το |x>, δηλ.

Α |x> = |y>.

Για κάθε τελεστή Α, υπάρχουν ωστόσο κάποια χαρακτηριστικά διανύσματα, τέτοια ώστε η δράση του Α πάνω σε αυτά απλώς τα πολλαπλασιάζει με έναν αριθμό, λ, δηλαδή

Α |x> = λ |x>

Τα διανύσματα αυτά λέγονται "ιδιοδιανύσματα" του τελεστή Α και οι αριθμοί λ λέγονται ιδιοτιμές του Α και είναι χαρακτηριστικά μεγέθη του τελεστή Α.

Αλλά ένας τελεστής σε δεδομένη βάση μπορεί να αναπαρασταθεί από έναν πίνακα, τα πιο πάνω μπορούν να μεταφερθούν αυτούσια και στη δράση πινάκων.

Χαρακτηριστικά διανύσματα Μήτρας

Έστω μία τετραγωνική μήτρα Α, η οποία δρα πάνω σε ένα διάνυσμα (πίνακα στήλη) |ψ>. Το αποτέλεσμα θα είναι ένα νέο διάνυσμα (πίνακας στήλη) |φ>, δηλαδή

$A|\psi \rangle =|\phi \rangle$.

Για κάθε πίνακα (α), σε αναλογία με τον αντίστοιχο τελεστή, έστω Α, υπάρχουν κάποια χαρακτηριστικά διανύσματα, τέτοια ώστε η δράση του (α) πάνω σε αυτά αφήνει αναλλοίωτη τη διεύθυνσή τους, και απλώς τα πολλαπλασιάζει με έναν αριθμό (δηλαδή αλλάζει μόνο το μέτρο τους˙ τα «διαστέλλει» ή τα «συστέλλει», χωρίς να τους αλλάζει τη διεύθυνση), δηλαδή

$A|\psi \rangle =\lambda |\psi \rangle$ (1)

Τα διανύσματα αυτά, |ψ>, για τα οποία ισχύει η (1) λέγονται ιδιοδιανύσματα του πίνακα (α), και οι αριθμοί λ, οι οποίοι στην ουσία ισοδυναμούν με τον (α) όσον αφορά τη δράση πάνω σταιδιοδιανύσματα, λέγονται ιδιοτιμές του (α) και είναι χαρακτηριστικοί αριθμοί του (α).

(Μπορούμενα πούμε ότι ο (α) πάνω στα ιδιοδιανύσματα εκφυλίζεται στον αριθμό λ ή ότι ο λ πάνω στο ιδιοδιάνυσμα αντικαθιστά τη δράση του (α).)

Για κάθε ιδιοδιάνυσμα υπάρχει μία ιδιοτιμή, που ικανοποιεί την (1).

Τα ιδιοδιανύσματα όπως ορίζονται στην (1) ορίζονται με απροσδιοριστία μιας πολλαπλασιαστικής σταθεράς. Δηλαδή αν το |x> είναι ιδιοδιάνυσμα με ιδιοτιμή λ, τότε και το κ|χ> (κ αριθμός) είναι επίσης ιδιοδιάνυσμα, με την ίδια ιδιοτιμή.

Θα μπορούσαμε να πούμε δηλαδή ότι η σχέση ορισμού των ιδιοδιανυσμάτων, Εξ. (1), ορίζει μόνο τη διεύθυνση των ιδιοδιανυσμάτων και όχι το μέτρο τους.

Παράδειγμα

Για τον Μήτρα A

$A={\begin{bmatrix}3&1\\1&3\end{bmatrix}},$

το διάνυσμα

$v={\begin{bmatrix}4\\-4\end{bmatrix}}$

είναι ένα ιδιοδιάνυσμα με ιδιοτιμή 2.

Πράγματι,

$Av={\begin{bmatrix}3&1\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}4\\-4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3\cdot 4+1\cdot (-4)\\1\cdot 4+3\cdot (-4)\end{bmatrix}}$

$={\begin{bmatrix}8\\-8\end{bmatrix}}=2\cdot {\begin{bmatrix}4\\-4\end{bmatrix}}.$

Αντίθετα, το διάνυσμα

$v={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}$

δεν είναι ένα ιδιοδιάνυσμα, αφού

${\begin{bmatrix}3&1\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3\cdot 0+1\cdot 1\\1\cdot 0+3\cdot 1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\3\end{bmatrix}},$

και αυτό το διάνυσμα δεν είναι πολλαπλάσιο του αρχικού διανύσματος $v$.

Εφαρμογές

Τα ιδιοδιανύσματα και οι ιδιοτιμές παίζουν κεντρικό ρόλο σε πολλούς Επιστημονικούς Κλάδους.

Οι ιδιοτιμές έχουν μεγάλη σημασία στα Μαθηματικά.

Παράδειγμα είναι μία μήτρα περιγράφει μετασχηματισμό από ένα διανυσματικό χώρο επί του εαυτού του.

Τα συστήματα γραμμικών κανονικών διαφορικών εξισώσεων αποτελούν ένα παράδειγμα.

Οι ιδιοτιμές έχουν επίσης μεγάλη σημασία στην Φυσική και της Επιστήμης Υλικών.

Οι τιμές λ μπορεί να αντιστοιχούν σε:

• τις επιτρεπτές τιμές Ενέργειας ή Ορμής ή Στροφορμής των ηλεκτρονίων σε ένα άτομο
• συχνότητες ταλάντωσης ενός συστήματος συζευγμένων ταλαντωτών (π.χ. ταλαντούμενων ατόμων),
• κρίσιμες τιμές παραμέτρων ευστάθειας,
• ενεργειακές στάθμες ατόμων
• κοκ.

Εσωτερική Αρθρογραφία

• ιδιοτιμή, ιδιοσυνάρτηση
• τελεστής

Ιστογραφία

• esperia.iesl.forth.gr
• users.uoa.gr
• ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ & ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ
• setosa.io
• Eigenvalue and eigenvector, jonathan

Κίνδυνοι Χρήσης

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη, την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει. "Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο, η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης" του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει." Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς, και για μακρά χρονική περίοδο, αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία, ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε. Επίσης, Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)" (όχι μόνον, της Sciencepedia αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)), αν και άκρως απαραίτητοι, είναι αδύνατον να ελεγχθούν (λόγω της ρευστής φύσης του Web), και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο. Ο αναγνώστης πρέπει να είναι εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

---

>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)

---