Κανονική Μεταθετική Σχέση

Κανονική Μεταθετική Σχέσις

Canonical commutation relation,

- Μία σχέση

Ετυμολογία

Η ονομασία "Σχέση" σχετίζεται ετυμολογικά με την λέξη "σχήμα".

Εισαγωγή

In quantum mechanics, the canonical commutation relation is the fundamental relation between canonical conjugate quantities (quantities which are related by definition such that one is the Fourier transform of another). For example, $$[\hat x,\hat p_x] = i\hbar \mathbb{I}$$

between the position operator x and momentum operator p_x in the x direction of a point particle in one dimension,
where [x , p_x] = x p_x − p_x x is the commutator of x and p_x,
i is the imaginary unit, and
ℏ is the reduced Planck's constant h/2π, and
$\mathbb{I}$ is the unit operator.

In general, position and momentum are vectors of operators and their commutation relation between different components of position and momentum can be expressed as $$[\hat r_i,\hat p_j] = i\hbar \delta_{ij} \mathbb{I}.$$ where $\delta_{ij}$ is the Kronecker delta.

This relation is attributed to Werner Heisenberg, Max Born and Pascual Jordan (1925), who called it a "quantum condition" serving as a postulate of the theory; it was noted by E. Kennard (1927) to imply the Heisenberg uncertainty principle. The Stone–von Neumann theorem gives a uniqueness result for operators satisfying (an exponentiated form of) the canonical commutation relation.

Relation to classical mechanics

By contrast, in classical physics, all observables commute and the commutator would be zero. However, an analogous relation exists, which is obtained by replacing the commutator with the Poisson bracket multiplied by iℏ, $$\{x,p\} = 1 \, .$$

This observation led Dirac to propose that the quantum counterparts $\hat{f}, \hat{g}$ of classical observables f, g satisfy $$[\hat f,\hat g]= i\hbar\widehat{\{f,g\}} \,$$

In 1946, Hip Groenewold demonstrated that a general systematic correspondence between quantum commutators and Poisson brackets could not hold consistently.

However, he further appreciated that such a systematic correspondence does, in fact, exist between the quantum commutator and a deformation of the Poisson bracket, today called the Moyal bracket, and, in general, quantum operators and classical observables and distributions in phase space. He thus finally elucidated the consistent correspondence mechanism, the Wigner–Weyl transform, that underlies an alternate equivalent mathematical representation of quantum mechanics known as deformation quantization.

Derivation from Hamiltonian mechanics

According to the correspondence principle, in certain limits the quantum equations of states must approach Hamilton's equations of motion. The latter state the following relation between the generalized coordinate q (e.g. position) and the generalized momentum p: $$\begin{cases} \dot{q} = \frac{\partial H}{\partial p} = \{q, H\}; \\ \dot{p} = -\frac{\partial H}{\partial q} = \{p, H\}. \end{cases}$$

In quantum mechanics the Hamiltonian $\hat{H}$, (generalized) coordinate $\hat{Q}$ and (generalized) momentum $\hat{P}$ are all linear operators.

The time derivative of a quantum state is - $i\hat{H}/\hbar$ (by Schrödinger equation). Equivalently, since the operators are not explicitly time-dependent, they can be seen to be evolving in time (see Heisenberg picture) according to their commutation relation with the Hamiltonian: $$\frac {d\hat{Q}}{dt} = \frac {i}{\hbar} [\hat{H},\hat{Q}]$$ $$\frac {d\hat{P}}{dt} = \frac {i}{\hbar} [\hat{H},\hat{P}] \,\, .$$

In order for that to reconcile in the classical limit with Hamilton's equations of motion, $[\hat{H},\hat{Q}]$ must depend entirely on the appearance of $\hat{P}$ in the Hamiltonian and $[\hat{H},\hat{P}]$ must depend entirely on the appearance of $\hat{Q}$ in the Hamiltonian. Further, since the Hamiltonian operator depends on the (generalized) coordinate and momentum operators, it can be viewed as a functional, and we may write (using functional derivatives): $$[\hat{H},\hat{Q}] = \frac {\delta \hat{H}}{\delta \hat{P}} \cdot [\hat{P},\hat{Q}]$$ $$[\hat{H},\hat{P}] = \frac {\delta \hat{H}}{\delta \hat{Q}} \cdot [\hat{Q},\hat{P}] \, \, .$$

In order to obtain the classical limit we must then have $$[\hat{Q},\hat{P}] = i \hbar ~ \mathbb{I}.$$

Εσωτερική Αρθρογραφία

• Επισυνόλεια Σχέση
• επίσχεση, κατάσχεση, ανάσχεση
• υπόσχεση
• συγγένεια
• συσχέτιση
• συσχετισμός
• Διμελής Σχέση
• Ισοδυναμιακή Σχέση
• Σχέση Μικρο-Οικονομίας Βιο-Κυττάρου
• Σχέση Μακρο-Οικονομίας Βιο-Οργανισμού
• σχετικοποίηση, σχετικισμός
• σχετικότητα

Ιστογραφία

• Ομώνυμο άρθρο στην Βικιπαίδεια
• Ομώνυμο άρθρο στην Livepedia
• [ ]
• [ ]

Κίνδυνοι Χρήσης

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη, την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει. "Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο, η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης" του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει." Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς, και για μακρά χρονική περίοδο, αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία, ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε. Επίσης, Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)" (όχι μόνον, της Sciencepedia αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)), αν και άκρως απαραίτητοι, είναι αδύνατον να ελεγχθούν (λόγω της ρευστής φύσης του Web), και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο. Ο αναγνώστης πρέπει να είναι εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

---

>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)

---