Καρτεσιανή Συντεταγμένη

Καρτεσιανόν Σύστημα

Cartesian System

Καρτεσιανό Σύστημα
Μοναδιαίο Διάνυσμα

Καρτεσιανό Σύστημα

Καρτεσιανό Σύστημα Συντεταγμένων

Καρτεσιανό Σύστημα Συντεταγμένων.

- Ένα είδος Συστήματος Συντεταγμένων.

Ετυμολογία

Οφείλει το όνομά του στον Καρτέσιο (Descartes) που το εισήγαγε

Εισαγωγή

Το Καρτεσιανό Σύστημα Συντεταγμένων (Cartesian Coordinate System) (or "Rectangular Coordinate System"), είναι ένα ορθογώνιο Σύστημα Συντεταγμένων καθορίζει την θέση ενός σημείου, του τρισδιάστατου επίπεδου (flat) Χώρου, με την βοήθεια τριών αποστάσεων από τους άξονες (x, y, z).

Καρτεσιανές συντεταγμένες στο επίπεδο

Το καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο αποτελείται από δύο προσανατολισμένες ευθείες, κάθετες μεταξύ τους, οι οποίες καλούνται συμβατικά άξονας τετμημένων (οριζόντιος άξονας) και άξονας τεταγμένων (κατακόρυφος άξονας) και συμβολίζονται αντίστοιχα με x και y. Το σημείο όπου τέμνονται λέγεται αρχή του συστήματος συντεταγμένων.

Ένα σημείο πάνω στο καρτεσιανό επίπεδο προσδιορίζεται μοναδικά από ένα ζεύγος αριθμών,

• την τετμημένη που είναι η απόσταση του σημείου από τον άξονα y και
• την τεταγμένη που είναι η απόσταση του σημείου από τον άξονα x.

Η τετμημένη και η τεταγμένη αποτελούν τις συντεταγμένες του σημείου. Με αυτή τη σύμβαση, η αρχή των αξόνων ταυτίζεται με το σημείο (0,0).

Επιπλέον ορίζεται απόσταση ίση με 1, σύμφωνα με την οποία αριθμούνται οι άξονες. Οι συντεταγμένες (x_P,y_P) ενός σημείου P δηλώνουν τη θέση του P κατά την ορθή προβολή του στους άξονες τετμημένων και τεταγμένων αντίστοιχα.

Καρτεσιανές συντεταγμένες στο χώρο

Εντελώς αντίστοιχα επιχειρήματα ισχύουν και στην περίπτωση των τριών ή και ανώτερων διαστάσεων. Στις τρεις διαστάσεις, εκτός από τους άξονες x και y ορίζουμε και έναν τρίτο άξονα z, κάθετο στο επίπεδο που ορίζουν οι δύο πρώτοι. Έτσι κάθε σημείο στο χώρο μπορεί να παρασταθεί από μία μοναδική τριάδα αριθμών (x,y,z), με κάθε συντεταγμένη να αντιστοιχεί στην κάθετη απόσταση του σημείου από κάθε έναν από τους τρεις άξονες αντίστοιχα.

• την τετμημένη που είναι η απόσταση του σημείου από τον άξονα y
• την τεταγμένη που είναι η απόσταση του σημείου από τον άξονα x
• την κατηγμένη που είναι η απόσταση του σημείου από το επίπεδο (x,y).

Διανυσματικός Λογισμός

Αναπαράσταση διανύσματος

Ένα οποιοδήποτε διάνυσμα μπορεί να γραφεί ως Γραμμικός Συνδυασμός d γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων, όπου d η διάσταση του χώρου που ανήκουν. Στην περίπτωση των τριών διαστάσεων, είναι βολικό να ορίσουμε τα ορθομοναδιαία διανύσματα $\boldsymbol{\hat{x}},\boldsymbol{\hat{y}},\boldsymbol{\hat{z}}$ τα οποία έχουν διεύθυνση κατά τη θετική φορά των αξόνων x, y και z αντίστοιχα. Έχοντας ορίσει την προηγούμενη βάση, μπορούμε να γράψουμε το διάνυσμα θέσης ενός σημείου με συντεταγμένες (x,y,z) στο χώρο με τον εξής τρόπο:

$\bold{r}=x\ \boldsymbol{\hat{x}}+y\ \boldsymbol{\hat{y}}+z\ \boldsymbol{\hat{z}}$

Επιπροσθέτως, τα μοναδιαία διανύσματα στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων ορίζονται έτσι ώστε να ικανοποιούν τις παρακάτω σχέσεις:

$\frac{\partial e_{i}}{\partial x_{j}}=0$

όπου i,j=1,2,...,d και

$(e_1,e_2,e_3,...)\equiv (\boldsymbol{\hat{x}},\boldsymbol{\hat{y}},\boldsymbol{\hat{z}},...), \ \ \ (x_1,x_2,x_3,...)\equiv (x,y,z,...)$

Τα μοναδιαία διανύσματα σε καρτεσιανές συντεταγμένες είναι λοιπόν σταθερά, δηλαδή οι παράγωγοι αυτών ως προς οποιαδήποτε καρτεσιανή μεταβλητή ισούται με μηδέν.

Τελεστής Ανάδελτα

Σε τρισδιάστατες καρτεσιανές συντεταγμένες, ο τελεστής ανάδελτα ορίζεται ως

$\boldsymbol{\nabla}(x,y,z)=\boldsymbol{\hat{x}}\frac{\partial}{\partial x}+\boldsymbol{\hat{y}}\frac{\partial}{\partial y}+\boldsymbol{\hat{z}}\frac{\partial}{\partial z}$

Λαπλασιανή

Έχοντας ορίσει τη μορφή του τελεστή ανάδελτα σε καρτεσιανές συντεταγμένες, μπορούμε να υπολογίσουμε τον τελεστή της Λαπλασιανής:

$\nabla^2(x,y,z)=\boldsymbol{\nabla}(x,y,z)\cdot\boldsymbol{\nabla}(x,y,z)=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}$

Τροχιές σωμάτων σε καρτεσιανές συντεταγμένες

Στη Φυσική, είναι πολλές φορές χρήσιμο να παραστήσουμε μαθηματικά τη θέση, ταχύτητα και επιτάχυνση ενός σώματος που κινείται σε τρεις διαστάσεις με τα παρακάτω διανύσματα:

$\begin{align} \bold{r} &= x\ \boldsymbol{\hat{x}}+y\ \boldsymbol{\hat{y}}+z\ \boldsymbol{\hat{z}} \\ \bold{v} &= \dot{x}\ \boldsymbol{\hat{x}}+\dot{y}\ \boldsymbol{\hat{y}}+\dot{z}\ \boldsymbol{\hat{z}} \\ \bold{a} &= \ddot{x}\ \boldsymbol{\hat{x}}+\ddot{y}\ \boldsymbol{\hat{y}}+\ddot{z}\ \boldsymbol{\hat{z}} \end{align}$

Οι παραπάνω σχέσεις αποδεικνύονται εύκολα παραγωγίζοντας τις συνιστώσες του διανύσματος θέσης r. Εν γένει, αν παραγωγίσουμε ένα διάνυσμα ενδέχεται να χρειαστεί να παραγωγίσουμε και μερικά από τα μοναδιαία διανύσματα. Αυτό εξαρτάται πάντα από τον τρόπο με τον οποίο ορίζονται τα διανύσματα αυτά. Ένα παράδειγμα συστήματος συντεταγμένων όπου ορίζονται οι παράγωγοι των μοναδιαίων διανυσμάτων είναι το Πολικό Σύστημα Συντεταγμένων.

Απειροστικός Λογισμός

Η χρήση καρτεσιανών συντεταγμένων είναι πολύ συνηθισμένη στον Απειροστικό Λογισμό. Παρακάτω αναφέρονται μερικά από τα δημοφιλέστερα προβλήματα που εμφανίζονται στον απειροστικό λογισμό, και πως εφαρμόζει κανείς τις καρτεσιανές συντεταγμένες στα προβλήματα αυτά.

Μήκος Καμπύλης

Εν γένει, το μήκος μίας καμπύλης μπορεί να υπολογισθεί μέσω ενός ολοκληρώματος αν παραμετρήσουμε τη καμπύλη αυτή με μία αυθαίρετη παράμετρο λ. Συγκεκριμένα, αν υποθέσουμε ότι οι συντεταγμένες (σε δύο διαστάσεις) κάθε σημείου μίας καμπύλης είναι συναρτήσεις της παραμέτρου λ και ότι κάθε σημείο αντιστοιχεί σε μία συγκεκριμένη τιμή της παραμέτρου, τότε το μήκος μεταξύ δύο σημείων Α και Β της καμπύλης θα ισούται με

$L_{AB}=\int_{A}^{B}ds=\int_{a}^{b}\sqrt{\left(\frac{x(\lambda)}{d\lambda}\right)^2+\left(\frac{y(\lambda)}{d\lambda}\right)^2}\ d\lambda$

όπου υποθέσαμε ότι οι τιμές της παραμέτρου λ στα σημεία Α και Β είναι a και b αντίστοιχα. Επίσης, ds είναι το στοιχειώδες μήκος της καμπύλης. Σε καρτεσιανές συντεταγμένες, το στοιχειώδες μήκος μίας καμπύλης σχετίζεται ισούται με

$ds^2=dx^2+dy^2 \ \ \$

όπου:

• dx μία στοιχειώδης μετατόπιση κατά τον άξονα x και
• dy μία στοιχειώδης μετατόπιση κατά τον άξονα y.

Η παραπάνω σχέση ισχύει για οποιονδήποτε δισδιάστατο Ευκλείδειο Χώρο, στον οποίο εφαρμόζεται το Πυθαγόρειο Θεώρημα.

Εφαρμογή του παραπάνω τύπου για τον υπολογισμό της περιμέτρου ενός κύκλου.

Έστω κύκλος ακτίνας R, με κέντρο την αρχή των αξόνων. Κάθε σημείο του κύκλου ικανοποιεί την εξίσωση $x^2+y^2=R^2\ ,$ συνεπώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ως παράμετρο για τις συντεταγμένες (x,y) κάθε σημείου τη γωνία θ που σχηματίζει η ακτίνα θέσης κάθε σημείου με τον άξονα x. Ένας τρόπος να παραμετροποιήσουμε τις συντεταγμένες κάθε σημείου του κύκλου είναι μέσω των εξισώσεων $x=R\cos{\theta}, \ \ \ y=R\sin{\theta}$ Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι ο παραπάνω τρόπος παραμέτρησης του προβλήματος ικανοποιεί τη συνθήκη x2+y2=R2 για τον κύκλο. Αντικαθιστώντας στη σχέση που δίνει το μήκος καμπύλης με την παράμετρο θ να λαμβάνει τιμές από 0 έως 2π, βρίσκουμε ότι: $C=\int_{0}^{2\pi}\sqrt{(-R\sin{\theta})^2+(R\cos{\theta})^2} d\theta=\int_{0}^{2\pi}\sqrt{R^2(\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta})}\ d\theta=2\pi R$ Που είναι ο γνωστός τύπος της περιμέτρου ενός κύκλου ακτίνας R.

Θα μπορούσε επίσης η καμπύλη να δίνεται υπό τη μορφή μίας συνάρτησης y=f(x). Στη περίπτωση αυτή, το μήκος μεταξύ δύο σημείων Α και Β της καμπύλης μπορεί να υπολογισθεί με τους δύο παρακάτω τρόπους:

$L_{AB}=\int_{x_A}^{x_B}\sqrt{1+\left(\frac{dy(x)}{dx}\right)^2}\ dx=\int_{y_A}^{y_B}\sqrt{\left(\frac{dx(y)}{dy}\right)^2+1}\ dy$

Ο πρώτος τρόπος απαιτεί τον υπολογισμό της παραγώγου της ίδιας της συνάρτησης y=f(x) με συνακόλουθη ολοκλήρωση ως προς τη μεταβλητή x, ενώ ο δεύτερος απαιτεί τον υπολογισμό της παραγώγου αντίστροφης συνάρτησης x=f ^-1(y) με συνακόλουθη ολοκλήρωση ως προς τη μεταβλητή y. Και οι δύο τρόποι είναι εντελώς ισοδύναμοι, συνεπώς επιλέγεται συνήθως εκείνος που θα διευκολύνει όσο το δυνατόν περισσότερο τον υπολογισμό του ολοκληρώματος που σχετίζεται με την εύρεση του μήκους της καμπύλης που μας ενδιαφέρει.

Εμβαδό

Σε καρτεσιανές συντεταγμένες, υπάρχουν δύο διαφορετικοί τρόποι υπολογισμού εμβαδού που περικλείεται από μία καμπύλη της μορφής y=f(x) και δύο ευθειών x=a, x=b.

Ο πρώτος είναι να ολοκληρώσουμε τη συνάρτηση f(x) από x=a έως x=b. Αν Α το εμβαδόν που θέλουμε να υπολογίσουμε, τότε:

$A=\int_{a}^{b}|f(x)|\ dx$

Η απόλυτη τιμή της συνάρτησης f(x) χρησιμοποιείται διότι, αν σε κάποιο διάστημα (c,d) εντός του (a,b) η συνάρτηση παίρνει αρνητικές τιμές, τότε το ολοκλήρωμά της θα μας δώσει ένα αρνητικό αριθμό. Συνεπώς, βάζουμε απόλυτη τιμή στη συνάρτηση καθώς ολοκληρώνουμε για να είμαστε σίγουροι ότι το εμβαδό που θα πάρουμε τελικά θα είναι θετικό.

Εφαρμογή του παραπάνω τύπου για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός κύκλου.

Έστω κύκλος ακτίνας R, με κέντρο την αρχή των αξόνων. Κάθε σημείο του κύκλου ικανοποιεί την εξίσωση $x^2+y^2=R^2\ ,$ Λύνοντας ως προς y, βρίσκουμε ότι $y=\pm\sqrt{R^2-x^2}$ Το πρόσημο συν αναφέρεται στο άνω ημικύκλιο, ενώ το πρόσημο πλην στο κάτω ημικύκλιο. Το εμβαδόν Α του κύκλου μπορούμε λοιπόν να πούμε ότι θα ισούται με δύο φορές το εμβαδόν του άνω ημικυκλίου: $A=2\int_{-R}^{R}\sqrt{R^2-x^2}\ dx=2\int_{\pi}^{2\pi}R^2\sin^2{\theta}\ d\theta=2R^2\int_{\pi}^{2\pi}\frac{1-\cos(2\theta)}{2}\ d\theta=(2R^2)\frac{\pi}{2}=\pi R^2$ Που είναι ο γνωστός τύπος του εμβαδού ενός κύκλου ακτίνας R. Στον υπολογισμό του παραπάνω ολοκληρώματος κάναμε την τριγωνομετρική αντικατάσταση x=Rcosθ και χρησιμοποιήσαμε τις τριγωνομετρικές ταυτότητες $\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta}=1, \ \ \ \cos(2\theta)=\cos^2{\theta}-\sin^2{\theta}$

Μετρική στον Ευκλείδειο χώρο

Στη Διαφορική Γεωμετρία, η μετρική του d-διάστατου Ευκλείδειου χώρου μπορεί να γραφεί σε καρτεσιανές συντεταγμένες υπό τη μορφή ενός d×d πίνακα με τον ακόλουθο τρόπο:

$g_{\mu\nu}=\mathbb{I}$

όπου I ο μοναδιαίος πίνακας. Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό, και υιοθετώντας την σύμβαση άθροισης Einstein, μπορούμε να γράψουμε το τετράγωνο του στοιχείου μήκους στον d-διάστατο Ευκλείδειο χώρο ως εξής:

$ds^2=g_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu}=dx^2+dy^2+dz^2+... \ \ \$

όπου θεωρήσαμε ότι οι δείκτες άθροισης μ,ν παίρνουν τις τιμές 1,2,3,...,d και

$(x^1,x^2,x^3,...)\equiv (x,y,z,...)$

Εσωτερική Αρθρογραφία

• Σύστημα Συντεταγμένων
• Σύστημα Αναφοράς
• Πολικές Συντεταγμένες
• Κυλινδρικές Συντεταγμένες
• Σφαιρικές Συντεταγμένες
• Καμπυλόγραμμες Συντεταγμένες

Βιβλιογραφία

• Finney, R.L., Giordano F.R. (2005). Απειροστικός λογισμός, Τόμος Ι. Ελληνική μετάφραση. Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης.
• Finney, R.L., Giordano F.R. (2005). Απειροστικός λογισμός, Τόμος ΙΙ. Ελληνική μετάφραση. Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης.

Ιστογραφία

• Ομώνυμο άρθρο στην Βικιπαίδεια
• Ομώνυμο άρθρο στην Livepedia
• Ομώνυμο άρθρο στην Astronomia
• [ ]
• [ ]

Κίνδυνοι Χρήσης

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη, την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει. "Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο, η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης" του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει." Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς, και για μακρά χρονική περίοδο, αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία, ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε. Επίσης, Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)" (όχι μόνον, της Sciencepedia αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)), αν και άκρως απαραίτητοι, είναι αδύνατον να ελεγχθούν (λόγω της ρευστής φύσης του Web), και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο. Ο αναγνώστης πρέπει να είναι εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

---

>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)

---