Κβαντικός Αρμονικός Ταλαντωτής

Quantum harmonic oscillator


Κβαντικός Αρμονικός Ταλαντωτής

Κλασσικός Αρμονικός Ταλαντωτής Κβαντικός Αρμονικός Ταλαντωτής

Κβαντικός Αρμονικός Ταλαντωτής

Κβαντικός Αρμονικός Ταλαντωτής

Κβαντικός Αρμονικός Ταλαντωτής

- Ένας Ταλαντωτής.

Ετυμολογία[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η ονομασία "Ταλαντωτής" προέρχεται ή συνδέεται ετυμολογικά με την λέξη "ταλάντωση".

Εισαγωγή[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ο κβαντικός αρμονικός ταλαντωτής (QHO) είναι το "κβαντικό ανάλογο" του μονοδιάστατου Κλασσικού Αρμονικού Ταλαντωτή της Κλασσικής Μηχανικής.

Έχει μεγάλη σημασία στη Κβαντική Φυσική, καθόσον αποτελεί πρότυπο μοντέλο ακριβώς επιλύσιμου συστήματος.

Χαμιλτoνιανή[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η Χαμιλτονιανή του ΚΑΤ αποτελείται από τον μη-σχετικιστικό όρο της κινητικής ενέργειας, καθώς επίσης και από έναν όρο δυναμικής ενέργειας που οφείλεται στη φύση της δύναμης επαναφοράς που ασκείται στο σωματίδιο (εν προκειμένω ο Νόμος Hooke). Μαθηματικά,[1]

όπου:

Η παραπάνω έκφραση ταυτίζεται με την ενέργεια του κλασικού αρμονικού ταλαντωτή, όπου k= mω2 η γνωστή Σταθερά Ελατηρίου.

Ιδιοσυναρτήσεις Χαμιλτονιανής[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η επίλυση της χρονοανεξάρτητης εξίσωσης Schrodinger για τον ΚΑΤ δίνει τις παρακάτω (κανονικοποιημένες) ιδιοσυναρτήσεις:[2]

όπου Ηn τα πολυώνυμα Hermitte που δίνονται από τον τύπο του Ροντρίγκες:[3]

Το ενεργειακό φάσμα του ΚΑΤ, όπως προκύπτει από την επίλυση της εξίσωσης εξίσωσης Schrodinger, είναι διακριτό με ενεργειακές στάθμες που ισαπέχουν κατά ħω μεταξύ τους.

Μαθηματικά, οι ιδιοσυναρτήσεις του ΚΑΤ περιγράφονται από τον τύπο:[4]

Το αποτέλεσμα αυτό είναι προϊόν της υψηλής συμμετρίας που παρουσιάζει η Χαμιλτονιανή του ΚΑΤ.

Το γεγονός ότι η κατάσταση ελάχιστης ενέργειας του ΚΑΤ είναι διάφορη του μηδενός (Ενέργεια Μηδενικού Σημείου) είναι άμεση συνέπεια της αρχής της απροσδιοριστίας του Heisenberg, ενώ παράλληλα βρίσκεται σε πλήρη συμφωνία με το κλασσικό όριο (ħ→0) για τη θεμελιώδη στάθμη, στο οποίο η ενέργεια του σωματιδίου μηδενίζεται (το σωματίδιο ηρεμεί στον «πυθμένα» του φρέατος).

Στον παρακάτω πίνακα παρουσιάζονται συνοπτικά οι πρώτες 5 κανονικοποιημένες ιδιοσυναρτήσεις του ΚΑΤ, μαζί με τις αντίστοιχες ιδιοτιμές της ενέργειας, τους αριθμούς των κόμβων που παρουσιάζει κάθε ιδιοσυνάρτηση και την αντίστοιχη τιμή της ισοτιμίας.

Κβαντικός Αριθμός n Ιδιοσυνάρτηση ψn (ħ=m=ω=1) Ιδιοτιμή En Αριθμός κόμβων Ισοτιμία
0 0 +1
1 1 -1
2 2 +1
3 3 -1
4 4 +1

Αρχή της απροσδιοριστίας στον ΚΑΤ[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ο προσδιορισμός της ενέργειας της θεμελιώδους στάθμης του ΚΑΤ είναι δυνατόν να πραγματοποιηθεί βάσει της αρχής της απροσδιοριστίας θέσης-ορμής. Συγκεκριμένα, υποθέτοντας ότι η απροσδιοριστία στη θέση του σωματιδίου είναι κάποια ελεύθερη παράμετρος a (η οποία θα προσδιορισθεί αργότερα), τότε η απροσδιοριστία στην ορμή του σωματιδίου θα είναι της τάξης του

Η μέση ενέργεια του ΚΑΤ ισούται με τη μέση τιμή της Χαμιλτονιανής αυτού, δηλαδή

Λόγω της συμμετρίας του δυναμικού του ταλαντωτή, είναι αναμενόμενο ότι η μέση της θέσης και της ορμής του σωματιδίου στη θεμελιώδη κατάσταση είναι μηδέν. Συνεπώς, τα τετράγωνα των μέσων τιμών της ορμής και της θέσης στην προηγούμενη σχέση μπορούν να αντικατασταθούν με τις αντίστοιχες απροσδιοριστίες:

Ο προσδιορισμός της ελάχιστης ενέργειας του ΚΑΤ μπορεί να γίνει μέσω της ελαχιστοποίησης της μέσης ενέργειας ως προς τη μεταβλητή a. Επιλύοντας το πρόβλημα ελαχιστοποίησης βρίσκουμε ότι

που ταυτίζεται με το διπλάσιο της ενέργειας θεμελιώδους στάθμης του ΚΑΤ. Εν γένει, η παραπάνω μέθοδος ελαχιστοποίησης μπορεί να μας δώσει την έκφραση της ελάχιστης ενέργειας ενός απλού συστήματος γνωστής Χαμιλτονιανής με απροσδιοριστία μίας σταθεράς (εν προκειμένω έναν παράγοντα 1/2).

Επίλυση της εξίσωσης Schrodinger[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Για τον πλήρη προσδιορισμό των ιδιοσυναρτήσεων και ιδιοτιμών της Χαμιλτονιανής του ΚΑΤ πρέπει να λυθεί η χρονοανεξάρτητη Εξίσωση Schrodinger με τις παρακάτω συνοριακές συνθήκες:

  • Η κυματοσυνάρτηση του σωματιδίου οφείλει να μηδενίζεται στο άπειρο
  • Η κυματοσυνάρτηση του σωματιδίου οφείλει να είναι συνεχής στο διάστημα στο οποίο ορίζεται

Το πρόβλημα του ΚΑΤ είναι μονοδιάστατο, με τη μεταβλητή x να παίρνει τιμές από το -∞ έως το +∞. Στον χώρο των θέσεων, η Εξίσωση Schrodinger μετατρέπεται σε μία ομογενή δευτεροτάξια Διαφορική Εξίσωση με μη σταθερούς συντελεστές:[5]

όπου ο τόνος δηλώνει παραγώγιση ως προς τη μεταβλητή x. Το πρόβλημα απλοποιείται εξαιρετικά αν επιλέξουμε ως σύστημα μονάδων εκείνο στο οποίο ħ=m=ω=1. Στο σύστημα αυτό, η προηγούμενη εξίσωση παίρνει την παρακάτω απλουστευμένη μορφή:[6]

Η παραπάνω Διαφορική Εξίσωση λύνεται με τη μέθοδο δυναμοσειρών.[7] Η λύση της διαφορικής εξίσωσης σε συνδυασμό με τις προαναφερθείσες συνοριακές συνθήκες προσδιορίζουν τόσο τις ιδιοτιμές, όσο και τις ιδιοσυναρτήσεις της Χαμιλτονιανής του ΚΑΤ. Στο φυσικό σύστημα μονάδων ħ=m=ω=1 του ταλαντωτή,

Η επαναφορά των διαστάσεων καταλήγει στις εκφράσεις των ιδιοτιμών και ιδιοσυναρτήσεων της Χαμιλτονιανής που δόθηκαν αρχικά. (Για περισσότερες πληροφορίες όσον αφορά την αποκατάσταση των διαστάσεων, δείτε το βιβλίο του Σ. Τραχανά Κβαντομηχανική Ι, σελίδες 293-295.)

Το σύστημα μονάδων ħ=m=ω=1[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Εν γένει, σε πολλά κβαντομηχανικά προβλήματα η επιλογή ενός κατάλληλου συστήματος μονάδων συχνά διευκολύνει σημαντικά τον υπολογιστικό χειρισμό διαφόρων εκφράσεων που εμφανίζονται σε αυτά. Εν προκειμένω, η επιλογή των σταθερών ħ, m και ω ως βασικού συστήματος μονάδων (ħ=m=ω=1) ορίζουν το λεγόμενο φυσικό σύστημα μονάδων του ΚΑΤ.

Στο παραπάνω σύστημα απλοποιούνται εξαιρετικά οι διάφορες εκφράσεις που εμφανίζονται στο πρόβλημα. Αν κατά τον υπολογισμό μίας ποσότητας (π.χ. ενέργεια, ορμή, θέση κτλ.) στο σύστημα αυτό επιθυμείται η επαναφορά των διαστάσεων, τότε η ποσότητα αυτή πολλαπλασιάζεται με τον μοναδικό εκείνο συνδυασμό των σταθερών ħ, m και ω που έχει τις διαστάσεις της εκάστοτε φυσικής ποσότητας.

Ο ακόλουθος πίνακας περιέχει τις μονάδες μέτρησης στο σύστημα ħ=m=ω=1 για διάφορα φυσικά μεγέθη.

Φυσικό μέγεθος Μονάδα μέτρησης στο σύστημα ħ=m=ω=1
Μήκος
Μάζα
Χρόνος
Δύναμη
Ορμή
Στροφορμή
Ενέργεια

Η μέθοδος των τελεστών κλίμακας[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Λόγω της υψηλής συμμετρίας της Χαμιλτονιανής του ΚΑΤ, είναι δυνατόν να προσδιοριστούν πλήρως οι ιδιοσυναρτήσεις και ιδιοτιμές του προβλήματος μέσω της μεθόδου που είναι γνωστή ως μέθοδος των τελεστών κλίμακας (ή τελεστές δημιουργίας-καταστροφής).

Η μέθοδος βασίζεται στην παρατήρηση ότι οι τελεστές (στο σύστημα μονάδων ħ=m=ω=1)

σχετίζονται άμεσα με την Χαμιλτονιανή του συστήματος ως ακολούθως:[8]

Η κύρια (εκ κατασκευής) ιδιότητα των τελεστών a και a είναι αντίστοιχα ότι «κατεβάζουν» και «ανεβάζουν» μία τυχαία ιδιοκατάσταση |n> του ΚΑΤ κατά 1. Οι ιδιότητες αυτές είναι σε θέση να προσδιορίσουν πλήρως όλες τις ιδιοκαταστάσεις |n> του ΚΑΤ, καθώς επίσης και το ενεργειακό φάσμα αυτού.

Συγκεκριμένα, η θεμελιώδης κατάσταση του ΚΑΤ προσδιορίζεται από τη σχέση[10]

η οποία προκύπτει από το γεγονός ότι ο τελεστής a δεν μπορεί να κατεβάσει την θεμελιώδη κατάσταση |0>.

Γνωρίζοντας την θεμελιώδη κατάσταση, ο υπολογισμός της n-οστής κατάστασης ανάγεται στον υπολογισμό της δράσης του τελεστή a n φορές πάνω στη θεμελιώδη. Μαθηματικά,[11]

Η μέθοδος των τελεστών κλίμακας είναι γενικά προτιμότερη από την απ' ευθείας επίλυση της εξίσωσης Σρέντιγκερ, καθώς είναι υπολογιστικά ταχύτερη και ευκολότερη.

Το ενεργειακό φάσμα δε του ΚΑΤ προσδιορίζεται από την χρονοανεξάρτητη εξίσωση Σρέντιγκερ αντικαθιστώντας τον τελεστή της Χαμιλτονιανής με την αντίστοιχη ισοδύναμη έκφραση που περιέχει τους τελεστές a, a.[12]

Βάσει του ορισμού τους, οι εν λόγω τελεστές δεν είναι ερμιτιανοί, συνεπώς δεν αντιπροσωπεύουν μετρούμενες ποσότητες όπως οι τελεστές ενέργειας, ορμής κτλ. Επίσης, δεν είναι δυνατόν να κατασκευασθούν τελεστές κλίμακας για κάθε Χαμιλτονιανή. Η κατασκευή τέτοιων τελεστών είναι δυνατή μόνο εφόσον υπάρχει τελεστής Α τέτοιος ώστε[13]

όπου ξ θετική ή αρνητική σταθερά. Σε αυτή τη περίπτωση, μπορούν να οριτούν δύο τελεστές Α και Α με την ιδιότητα να «ανεβάζουν» ή να «κατεβάζουν» μία τυχαία ιδιοκατάσταση |n> του συστήματος κατά ξ. Εν προκειμένω, οι τελεστές a και a έχουν την ιδιότητα

που σημαίνει ότι ο τελεστής a «κατεβάζει» την τυχούσα ιδιοκατάσταση της Χαμιλτονιανής κατά 1 μονάδα (ξ=-1), ενώ αντίστοιχα ο τελεστής a την «ανεβάζει» κατά 1 μονάδα (ξ=+1).

Ο «διαταραγμένος» ΚΑΤ[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ο ΚΑΤ αποτελεί μία γενική περίπτωση προσέγγισης τυχαίου μονοδιάστατου δυναμικού V(x) στη γειτονία ενός σημείου ισορροπίας. Αν το σωματίδιο που κινείται υπό την επίδραση του αρμονικού δυναμικού (1/2)kx2 έχει αρκετή ενέργεια ώστε να μπορεί να κινηθεί επαρκώς μακριά από το σημείο ισορροπίας του δυναμικού, τότε η προσέγγιση του αρμονικού δυναμικού καταρρέει και οι συνεισφορές όρων της τάξης του x3, x4 κοκ. γίνονται σημαντικές.

Προσθήκη διαταρακτικού όρου ~x3[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Από μαθηματικής σκοπιάς, το ζητούμενο του προβλήματος είναι ο υπολογισμός των ιδιοσυναρτήσεων και ιδιοτιμών του προβλήματος του ΚΑΤ με την προσθήκη ενός κυβικού όρου στο δυναμικό. Το πρόβλημα αυτό είναι αδύνατον να λυθεί αναλυτικά, αν και υπάρχουν ποικίλες υπολογιστικές τεχνικές που μπορούν να υπολογίσουν τις διάφορες ποσότητες με μεγάλη ακρίβεια.

Ωστόσο, υπάρχουν προσεγγιστικές μέθοδοι που επιτρέπουν τον υπολογισμό των ιδιοτιμών και ιδιοσυναρτήσεων του προβλήματος. Σύμφωνα με την Κβαντική Θεωρία Διαταραχών, αν ο πρόσθετος όρος στο δυναμικό είναι της μορφής λx3 όπου λ μία μικρή σταθερά, τότε είναι δυνατόν να υπολογίσει κανείς τις διορθώσεις στις οποίες υπόκεινται οι ιδιοσυναρτήσεις και ιδιοτιμές του «αδιατάρακτου» (ακριβώς επιλύσιμου) προβλήματος.

Η Χαμιλτονιανή μαζί με τον διαταρακτικό όρο έχει τη μορφή

Βάσει της θεωρίας διαταραχών, η ολική διόρθωση στις ιδιοτιμές της ενέργειας μέχρι και την δεύτερη τάξη διόρθωσης είναι:

Η προσθήκη λοιπόν του κυβικού όρου ως διαταραχή στον ΚΑΤ έχει ως αποτέλεσμα την μείωση της ενέργειας. Αξίζει να σημειωθεί ότι η φυσική σημασία της έννοιας «μικρή» διαταραχή εξαρτάται άμεσα από τις παραμέτρους του προβλήματος. Εν προκειμένω, «μικρή» διαταραχή μεταφράζεται στη μαθηματική συνθήκη

όπου λ0 ο μοναδικός εκείνος συνδυασμός των σταθερών ħ=m=ω=1 με διαστάσεις ίδιες με εκείνες της σταθεράς λ (ενέργεια ανά μήκος στον κύβο), ήτοι (m3ω5/ħ)1/2. Όσο ικανοποιείται η παραπάνω συνθήκη, η θεωρία διαταραχών μπορεί να εφαρμοστεί με ικανοποιητική ακρίβεια.

Υποσημειώσεις[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  1. Τραχανάς. Κβαντομηχανική ΙΙ. σελ. 234. 
  2. Τραχανάς. Κβαντομηχανική ΙΙ. σελ. 244. 
  3. Τραχανάς. Κβαντομηχανική ΙΙ. σελ. 244. 
  4. Τραχανάς. Κβαντομηχανική ΙΙ. σελ. 241. 
  5. Τραχανάς. Κβαντομηχανική Ι. σελ. 285. 
  6. Τραχανάς. Κβαντομηχανική Ι. σελ. 286. 
  7. Τραχανάς. Κβαντομηχανική Ι. σελ. 308-313. 
  8. Τραχανάς. Κβαντομηχανική ΙΙ. σελ. 238-239. 
  9. Τραχανάς. Κβαντομηχανική ΙΙ. 
  10. Τραχανάς. Κβαντομηχανική ΙΙ. σελ. 240. 
  11. Τραχανάς. Κβαντομηχανική ΙΙ. σελ. 244. 
  12. Τραχανάς. Κβαντομηχανική ΙΙ. σελ. 240-241. 
  13. Τραχανάς. Κβαντομηχανική ΙΙ. σελ. 241-242. 

Εσωτερική Αρθρογραφία[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Βιβλιογραφία[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Τραχανάς, Στέφανος (2005). Κβαντομηχανική Ι. Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης. ISBN 978-960-524-206-0.
  • Τραχανάς, Στέφανος (2008). Κβαντομηχανική ΙΙ. Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης. ISBN 978-960-524-267-1.

Ιστογραφία[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]


Ikl.jpg Κίνδυνοι ΧρήσηςIkl.jpg

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες
σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια
ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι
η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη,
την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει.

"Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα
να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο,
η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης"
του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει."

Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι
όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς,
και για μακρά χρονική περίοδο,
αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία,
ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε.



Επίσης,
Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)"
(όχι μόνον, της Sciencepedia
αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)),
αν και άκρως απαραίτητοι,
είναι αδύνατον να ελεγχθούν
(λόγω της ρευστής φύσης του Web),
και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν
σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο.
Ο αναγνώστης πρέπει να είναι
εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

IonnKorr-System-00-goog.png



>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)


Community content is available under CC-BY-SA unless otherwise noted.