Science Wiki
Advertisement

Κυκλική Ομάς

Cyclic Group, Ring of integers modulo n


Groups-Cyclic-01-goog

Κυκλική Ομάδα
Πηλικιακή Ομάδα

Groups-Integers-modulo-4-group-01-goog

Κυκλική Ομάδα Z4

Groups-Cyclic-02-goog

Κυκλική Ομάδα

Groups-Cyclic-04-goog

Κυκλική Ομάδα

Ring-integers-modulo-01-goog

Ring of integers modulo n

Groups-Prime-Numbers-01-goog

Πρώτος Αριθμός
Κυκλική Ομάδα

Group-Theory-01-goog

Ομαδοθεωρία
Αλγεβρική Ομάδα
Γενική Γραμμική Ομάδα
Ορθογώνια Ομάδα
Μοναδιακή Ομάδα
Μαθηματική Αναπαράσταση
Μαθηματική Μήτρα

- Μία Ομάδα.

Ετυμολογία[]

Η ονομασία "ομάδα" σχετίζεται ετυμολογικά με την λέξη "ομού".

Ορισμός[]

A group G is called cyclic if
there exists an element g in G such that

Since any group generated by an element in a group is a subgroup of that group, showing that the only subgroup of a group G that contains g is G itself suffices to show that G is cyclic.

For example, if G = { g0, g1, g2, g3, g4, g5 } is a group of order 6, then g6 = g0, and G is cyclic και συμβολίζεται .

In fact, G is essentially the same as (that is, isomorphic to) the set { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } with addition modulo 6.

For example, 1 + 2 ≡ 3 (mod 6) corresponds to g1 · g2 = g3, and 2 + 5 ≡ 1 (mod 6) corresponds to g2 · g5 = g7 = g1, and so on.

One can use the isomorphism χ defined by χ(gi) = i.

Εισαγωγή[]

Μια κυκλική ομάδα είναι η ομάδα της οποίας όλα τα στοιχεία προκύπτουν από δυνάμεις ενός συγκεκριμένου στοιχείου a.

Με πολλαπλασιαστικό συμβολισμό, τα στοιχεία της ομάδας θα είναι:

..., a−3, a−2, a−1, a0 = e, a, a2, a3, ...,

όπου a2 σημαίνει aa, και a−3 σημαίνει a−1a−1a−1=(aaa)−1 κτλ.h

Ένα τέτοιο στοιχείο a ονομάζεται γεννήτορας ή αρχικό στοιχείο της ομάδας.

Στην πρόσθεση, ένα στοιχείο είναι γεννήτορας όταν όλα τα υπόλοιπα στοιχεία μπορούν να γραφούν ως

..., −aa, −a, 0, a, a+a, ...

Στις ομάδες Z/nZ που αναφέρθηκαν παραπάνω, το στοιχείο 1 είναι γεννήτορας, οπότε αυτές οι ομάδες είναι κυκλικές.

Πράγματι, κάθε στοιχείο εκφράζεται ως ένα άθροισμα του οποίου όλοι οι όροι ισούνται με 1.

Κάθε κυκλική ομάδα με n στοιχεία είναι ισόμορφη αυτής της ομάδας.

Ένα δεύτερο παράδειγμα κυκλικής ομάδας είναι η ομάδα των n-οστών μιγαδικών ριζών της μονάδας, που προκύπτουν από τους μιγαδικούς αριθμούς z που ικανοποιούν την εξίσωση zn = 1.

Αυτοί οι αριθμοί μπορούν να παρασταθούν ως οι κορυφές ενός κανονικού n-γώνου, όπως φαίνεται στα δεξιά με μπλε χρώμα για n = 6. Η πράξη της ομάδας είναι ο πολλαπλασιασμός των μιγαδικών αριθμών. Στην εικόνα, πολλαπλασιάζοντας με το z αντιστοιχεί σε μια αριστερόστροφη περιστροφή κατά 60°. Χρησιμοποιώντας τη θεωρία σωμάτων, μπορούμε να αποδείξουμε ότι η ομάδα Fp× είναι κυκλική: για παράδειγμα, αν p = 5, το 3 είναι γεννήτορας, δεδομένου ότι 31 = 3,32 = 9 ≡ 4, 33 ≡ 2, and 34 ≡ 1.

Ορισμένες κυκλικές ομάδες έχουν άπειρο αριθμό στοιχείων. Σε αυτές τις ομάδες, για κάθε μη μηδενικό στοιχείο a, όλες οι δυνάμεις του a είναι διαφορετικές. Παρά την ονομασία "κυκλική ομάδα", οι δυνάμεις των στοιχείων δεν δημιουργούν κύκλο. Μια άπειρη κυκλική ομάδα είναι ισόμορφη με την (Z, +), την ομάδα των ακέραιων υπό την πράξη της πρόσθεσης που αναφέρθηκε παραπάνω. Όπως και αυτές οι δύο είναι αβελιανές, έτσι και όλες οι κυκλικές ομάδες είναι αβελιανές.

Η μελέτη των πεπερασμένων αβελιανών ομάδων έχει προχωρήσει αρκετά, συμπεριλαμβανομένου και του θεμελιώδους θεωρήματος των πεπερασμένων παραγόμενων αβελιανών ομάδων.

Έτσι, πολλές θεωρίες που σχετίζονται με τις ομάδες, όπως το κέντρο και ο αντιμεταθέτης, περιγράφουν πότε μια ομάδα δεν είναι αβελιανή.

The multiplicative group G = {1, -1, i, - i} is a cyclic group with generator i,

Ταξινόμηση[]

Διακρίνουμε:

  1. την κυκλική ομάδα που περιλαμβάνει τις ακέραιες δυνάμεις ενός στοιχείου (όταν η αρχική ομάδα είναι πολλαπλασιαστική),
  2. την ομάδα που περιλαμβάνει τα ακέραια πολλαπλάσια ενός στοιχείου (όταν η αρχική ομάδα είναι προσθετική).

Επειδή η τάξη ενός στοιχείου είναι ουσιαστικά η τάξη της κυκλικής ομάδας που παράγεται από το στοιχείο αυτό, προκύπτει ότι

  • η κυκλική ομάδα είναι άπειρη, όταν ,
  • η κυκλική ομάδα είναι πεπερασμένη, όταν .

Κάθε άπειρη κυκλική ομάδα είναι ισόμορφη με την ομάδα Ζm, των ακεραίων mod m. Κάθε πεπερασμένη κυκλική ομάδα τάξης είναι ισόμορφη με την ομάδα των ακεραίων .

Υποσημειώσεις[]

Εσωτερική Αρθρογραφία[]

Βιβλιογραφία[]

Ιστογραφία[]


Ikl Κίνδυνοι ΧρήσηςIkl

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες
σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια
ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι
η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη,
την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει.

"Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα
να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο,
η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης"
του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει."

Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι
όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς,
και για μακρά χρονική περίοδο,
αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία,
ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε.



Επίσης,
Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)"
(όχι μόνον, της Sciencepedia
αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)),
αν και άκρως απαραίτητοι,
είναι αδύνατον να ελεγχθούν
(λόγω της ρευστής φύσης του Web),
και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν
σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο.
Ο αναγνώστης πρέπει να είναι
εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

IonnKorr-System-00-goog



>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)


Advertisement