Κυκλική Ομάς
Cyclic Group, Ring of integers modulo n

Πηλικιακή Ομάδα





Κυκλική Ομάδα

Αλγεβρική Ομάδα
Γενική Γραμμική Ομάδα
Ορθογώνια Ομάδα
Μοναδιακή Ομάδα
Μαθηματική Αναπαράσταση
Μαθηματική Μήτρα
- Μία Ομάδα.
Ετυμολογία[]
Η ονομασία "ομάδα" σχετίζεται ετυμολογικά με την λέξη "ομού".
Ορισμός[]
A group G is called cyclic if
there exists an element g in G such that
Since any group generated by an element in a group is a subgroup of that group, showing that the only subgroup of a group G that contains g is G itself suffices to show that G is cyclic.
For example, if G = { g0, g1, g2, g3, g4, g5 } is a group of order 6, then g6 = g0, and G is cyclic και συμβολίζεται .
In fact, G is essentially the same as (that is, isomorphic to) the set { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } with addition modulo 6.
For example, 1 + 2 ≡ 3 (mod 6) corresponds to g1 · g2 = g3, and 2 + 5 ≡ 1 (mod 6) corresponds to g2 · g5 = g7 = g1, and so on.
One can use the isomorphism χ defined by χ(gi) = i.
Εισαγωγή[]
Μια κυκλική ομάδα είναι η ομάδα της οποίας όλα τα στοιχεία προκύπτουν από δυνάμεις ενός συγκεκριμένου στοιχείου a.
Με πολλαπλασιαστικό συμβολισμό, τα στοιχεία της ομάδας θα είναι:
- ..., a−3, a−2, a−1, a0 = e, a, a2, a3, ...,
όπου a2 σημαίνει a • a, και a−3 σημαίνει a−1 • a−1 • a−1=(a • a • a)−1 κτλ.h
Ένα τέτοιο στοιχείο a ονομάζεται γεννήτορας ή αρχικό στοιχείο της ομάδας.
Στην πρόσθεση, ένα στοιχείο είναι γεννήτορας όταν όλα τα υπόλοιπα στοιχεία μπορούν να γραφούν ως
- ..., −a−a, −a, 0, a, a+a, ...
Στις ομάδες Z/nZ που αναφέρθηκαν παραπάνω, το στοιχείο 1 είναι γεννήτορας, οπότε αυτές οι ομάδες είναι κυκλικές.
Πράγματι, κάθε στοιχείο εκφράζεται ως ένα άθροισμα του οποίου όλοι οι όροι ισούνται με 1.
Κάθε κυκλική ομάδα με n στοιχεία είναι ισόμορφη αυτής της ομάδας.
Ένα δεύτερο παράδειγμα κυκλικής ομάδας είναι η ομάδα των n-οστών μιγαδικών ριζών της μονάδας, που προκύπτουν από τους μιγαδικούς αριθμούς z που ικανοποιούν την εξίσωση zn = 1.
Αυτοί οι αριθμοί μπορούν να παρασταθούν ως οι κορυφές ενός κανονικού n-γώνου, όπως φαίνεται στα δεξιά με μπλε χρώμα για n = 6. Η πράξη της ομάδας είναι ο πολλαπλασιασμός των μιγαδικών αριθμών. Στην εικόνα, πολλαπλασιάζοντας με το z αντιστοιχεί σε μια αριστερόστροφη περιστροφή κατά 60°. Χρησιμοποιώντας τη θεωρία σωμάτων, μπορούμε να αποδείξουμε ότι η ομάδα Fp× είναι κυκλική: για παράδειγμα, αν p = 5, το 3 είναι γεννήτορας, δεδομένου ότι 31 = 3,32 = 9 ≡ 4, 33 ≡ 2, and 34 ≡ 1.
Ορισμένες κυκλικές ομάδες έχουν άπειρο αριθμό στοιχείων. Σε αυτές τις ομάδες, για κάθε μη μηδενικό στοιχείο a, όλες οι δυνάμεις του a είναι διαφορετικές. Παρά την ονομασία "κυκλική ομάδα", οι δυνάμεις των στοιχείων δεν δημιουργούν κύκλο. Μια άπειρη κυκλική ομάδα είναι ισόμορφη με την (Z, +), την ομάδα των ακέραιων υπό την πράξη της πρόσθεσης που αναφέρθηκε παραπάνω. Όπως και αυτές οι δύο είναι αβελιανές, έτσι και όλες οι κυκλικές ομάδες είναι αβελιανές.
Η μελέτη των πεπερασμένων αβελιανών ομάδων έχει προχωρήσει αρκετά, συμπεριλαμβανομένου και του θεμελιώδους θεωρήματος των πεπερασμένων παραγόμενων αβελιανών ομάδων.
Έτσι, πολλές θεωρίες που σχετίζονται με τις ομάδες, όπως το κέντρο και ο αντιμεταθέτης, περιγράφουν πότε μια ομάδα δεν είναι αβελιανή.
The multiplicative group G = {1, -1, i, - i} is a cyclic group with generator i,
Ταξινόμηση[]
Διακρίνουμε:
- την κυκλική ομάδα που περιλαμβάνει τις ακέραιες δυνάμεις ενός στοιχείου (όταν η αρχική ομάδα είναι πολλαπλασιαστική),
- την ομάδα που περιλαμβάνει τα ακέραια πολλαπλάσια ενός στοιχείου (όταν η αρχική ομάδα είναι προσθετική).
Επειδή η τάξη ενός στοιχείου είναι ουσιαστικά η τάξη της κυκλικής ομάδας που παράγεται από το στοιχείο αυτό, προκύπτει ότι
- η κυκλική ομάδα είναι άπειρη, όταν ,
- η κυκλική ομάδα είναι πεπερασμένη, όταν .
Κάθε άπειρη κυκλική ομάδα είναι ισόμορφη με την ομάδα Ζm, των ακεραίων mod m. Κάθε πεπερασμένη κυκλική ομάδα τάξης είναι ισόμορφη με την ομάδα των ακεραίων .
Υποσημειώσεις[]
Εσωτερική Αρθρογραφία[]
- Κυκλική Ομάδα Z1
- Κυκλική Ομάδα Z2
- Κυκλική Ομάδα Z3
- Κυκλική Ομάδα Z4
- Ομάδα
- Ομαδοθεωρία
- Ορθογώνια Ομάδα
- Μοναδιακή Ομάδα
- Ετεροτική Ομάδα
- Αναπαράσταση
- Μήτρα
Βιβλιογραφία[]
Ιστογραφία[]
- Ομώνυμο άρθρο στην Βικιπαίδεια
- Ομώνυμο άρθρο στην Livepedia
- mathcaptain.com/algebra
- Ζ2 & Ζ4 groups
- song & Hou, MIT
![]() ![]() |
---|
Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες "Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι Επίσης, |
- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν
- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)