Λείο Πολύπτυχο

Πολύπτυχον

smooth Μanifold

Λείο Πολύπτυχο

Τοπολογία
Πολύπτυχο
Μαθηματικά Πολύπτυχα

Λείο Πολύπτυχο
Αθανασία
Αφθαρσία

- Ένα Πολύπτυχο (ή αλλιώς, πολλαπλότητα)

Ετυμολογία

Η ονομασία "πολύπτυχο" σχετίζεται ετυμολογικά με την λέξη "πτυχή".

Εισαγωγή

a differentiable manifold for which all the transition maps are smooth.

That is, derivatives of all orders exist; so it is a C^k-manifold for all k.

An equivalence class of such atlases is said to be a "smooth structure".

smooth structure

In mathematics, a smooth structure on a manifold allows for an unambiguous notion of smooth function. In particular, a smooth structure allows one to perform mathematical analysis on the manifold.

Definition

A smooth structure on a manifold M is a collection of smoothly equivalent smooth atlases. Here, a smooth atlas for a topological manifold M is an atlas for M such that each transition function is a smooth map, and two smooth atlases for M are smoothly equivalent provided their union is again a smooth atlas for M. This gives a natural equivalence relation on the set of smooth atlases.

A smooth manifold is a topological manifold M together with a smooth structure on M.

Maximal smooth atlases

By taking the union of all atlases belonging to a smooth structure, we obtain a maximal smooth atlas. This atlas contains every chart that is compatible with the smooth structure. There is a natural one-to-one correspondence between smooth structures and maximal smooth atlases. Thus, we may regard a smooth structure as a maximal atlas and vice versa.

In general, computations with the maximal atlas of a manifold are rather unwieldy. For most applications, it suffices to choose a smaller atlas. For example, if the manifold is compact, then one can find an atlas with only finitely many charts.

Equivalence of smooth structures

Let $\mu$ and $\nu$ be two maximal atlases on M. The two smooth structures associated to $\mu$ and $\nu$ are said to be equivalent if there is a homeomorphism $f: M \rightarrow M$ such that $\mu \circ f= \nu$.

Exotic spheres

John Milnor showed in 1956 that the 7-dimensional sphere admits a smooth structure that is not equivalent to the standard smooth structure. A sphere equipped with a nonstandard smooth structure is called an exotic sphere.

E8 Manifold

The E8 manifold is an example of a topological manifold that does not admit a smooth structure. This essentially demonstrates that Rokhlin's theorem holds only for smooth structures, and not topological manifolds in general.

Related structures

The smoothness requirements on the transition functions can be weakened, so that we only require the transition maps to be k-times continuously differentiable; or strengthened, so that we require the transition maps to be real-analytic. Accordingly, this gives a $C^k$ or (real-)analytic structure on the manifold rather than a smooth one. Similarly, we can define a complex structure by requiring the transition maps to be holomorphic.

Εσωτερική Αρθρογραφία

• Τοπολογία
• Μαθηματικό Πολύπτυχο
• Μαθηματικά Πολύπτυχα
• Αλγεβρική Ομάδα
• Χωροχρονικό Συνεχές

Ιστογραφία

• Ομώνυμο άρθρο στην Βικιπαίδεια
• Ομώνυμο άρθρο στην Livepedia
• [ ]
• [ ]

Κίνδυνοι Χρήσης

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη, την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει. "Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο, η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης" του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει." Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς, και για μακρά χρονική περίοδο, αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία, ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε. Επίσης, Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)" (όχι μόνον, της Sciencepedia αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)), αν και άκρως απαραίτητοι, είναι αδύνατον να ελεγχθούν (λόγω της ρευστής φύσης του Web), και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο. Ο αναγνώστης πρέπει να είναι εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

---

>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)

---