Ο Λογισµός Μεταβολών ασχολείται, γενικά, µε την βελτιστοποίηση µεταβλητών ποσοτήτων,
που ονοµάζονται συναρτησοειδή, επί ορισµένων αποδεκτών κλάσεων
αντικειµένων.
Πολλές από τις µεθόδους που αναπτύχθηκαν εδώ και περισσότερα από
διακόσια έτη από τον Euler, τον Lagrange και άλλους.
Ο λογισµός των µεταβολών συνεχίζει µέχρι και σήµερα να συνεισφέρει σηµαντικές τεχνικές σε πολλούς κλάδους των
επιστηµών της Μηχανικής και της Φυσικής, και πολλές σηµαντικές µεθόδους στην
Εφαρμοσμένη Ανάλυση.
Ο Λογισµός Μεταβολών περιορίζεται κυρίως σε συναρτησοειδή που ορίζονται µέσω
ολοκληρωµάτων, και προσδιορίζει ικανές και αναγκαίες συνθηκές για ακρότατα.
Το πρόβληµα της ελαχιστοποίησης ή µεγιστοποίησης ενός συναρτησοειδούς J επί του συνόλου
A λέγεται µεταβολικό πρόβλημα.
Από τα βασικά θέματα του Διαφορικού Λογισμού είναι η εύρεση ακροτάτων (δηλ. μέγιστων και ελάχιστων) τιμών μιας συνάρτησης.
Θα αναλύσουμε το ζήτημα δίνοντας βάση στην φυσική του ερμηνεία.
Κάθε Φυσικό Σύστημα χαρακτηρίζεται από ορισμένες ιδιότητες.
Η σημαντικότερη ιδιότητα ενός φυσικού συστήματος είναι η εξέλιξή του.
Θεωρούμε, καταρχάς, ότι το σύστημα:
- εκκινεί από την θέση (ή κατάσταση) "a" και
- καταλήγει στην θέση (ή κατάσταση) "b"
Στην συνέχεια θεωρούμε ότι η εξέλιξη ενός φυσικού συστήματος εκφράζεται φυσικά από το φυσικό μέγεθος δράση.
Η δράσηεκφράζεται μαθηματικά από ένα συναρτησιοειδές:
όπου το πεδίο ορισμού του συναρτησιοειδούς. Το πεδίο ορισμού αποτελείται από καμπύλες .
Η εξέλιξη ενός συστήματος προϋποθέτει, προφανώς, την ύπαρξη δυνατών "πορειών εξέλιξης".
Ως δυνατές χαρακτηρίζονται οι "πορείες εξέλιξης" που διέρχονται από τις θέσεις "a" και "b".
Θεωρούμε ότι οι "πορείες εξέλιξης" ενός φυσικού συστήματος εκφράζονται μαθηματικά από ένα σύνολο καμπυλών:
ένα χρονικό διάστημα, υποσύνολο του Χρόνου, μέσα στον οποίο εξελίσσεται το φυσικό σύστημα.
Όμως, έχει διαπιστωθεί πειραματικά ότι τα φυσικά συστήματα δεν ακολουθούν τυχαίες "πορείες εξέλιξης". Ακολουθούν την "άριστη" εξελικτική πορεία δηλ. την οικονομικότερη.
Γεωμετρικά, οι καμπύλες αυτές είναι μέλη μιας παραμετρικής οικογένειας καμπυλών.
Η δράση υπακούει σε έναν πολύ βασικό Συμπαντικό Νόμο. Τον Νόμο Οικονομίας της Φύσης. Αυτός εκφράζεται μαθηματικά με την συνθήκη το συναρτησιοειδές έχει να έχει ελάχιστο.
Τώρα, το συναρτησιοειδές μπορεί να θεωρηθεί ως συνάρτηση της παραμέτρου .
Οπότε λαμβάνει ακρότατη τιμή όταν η παράμετρος μηδενίζεται:
Gegeben seien zwei Zeitpunkte mit und eine in allen Argumenten zweifach stetig differenzierbare Funktion, die Lagrangefunktion
Beispielsweise ist bei der Lagrangefunktion des freien relativistischen Teilchens mit Masse und
das Gebiet das kartesische Produkt von und dem Inneren der Einheitskugel.
Als Funktionenraum wird die Menge aller zweifach stetig differenzierbaren Funktionen
gewählt, die zum Anfangszeitpunkt und zum Endzeitpunkt die fest vorgegebenen Orte bzw. einnehmen:
und deren Werte zusammen mit den Werten ihrer Ableitung in liegen,
.
Mit der Lagrangefunktion wird nun das Funktional , die Wirkung, durch
definiert.
Gesucht ist diejenige Funktion , die die Wirkung minimiert.
Entsprechend der im vorhergehenden Abschnitt vorgestellten Technik untersuchen wir dazu alle differenzierbaren einparametrigen Familien , die für durch die stationäre Funktion des Funktionals gehen (es gilt also ). Genutzt wird die im letzten Abschnitt hergeleitete Gleichung
Hereinziehen der Differentiation nach dem Parameter in das Integral liefert mit der Kettenregel
Dabei stehen für die Ableitungen nach dem zweiten bzw. dritten Argument und für die partielle Ableitung nach dem Parameter .
Es wird sich später als günstig erweisen, wenn im zweiten Integral statt wie im ersten Integral steht. Das erreicht man durch partielle Integration:
An den Stellen und gelten unabhängig von die Bedingungen und . Ableiten dieser beiden Konstanten nach liefert . Deshalb verschwindet der Term und man erhält nach Zusammenfassen der Integrale und Ausklammern von die Gleichung
und mit
Außer zum Anfangszeitpunkt und zum Endzeitpunkt unterliegt keinen Einschränkungen. Damit sind die Zeitfunktionen bis auf die Bedingungen beliebige zweimal stetig differenzierbare Zeitfunktionen. Die letzte Gleichung kann also nur dann für alle zulässigen erfüllt sein, wenn der Faktor im gesamten Integrationsintervall gleich null ist (das wird in den Bemerkungen etwas detaillierter erläutert). Damit erhält man für die stationäre Funktion die Euler-Lagrange-Gleichung
die für alle erfüllt sein muss.
Die angegebene, zum Verschwinden zu bringende Größe bezeichnet man auch als Eulerableitung der Lagrangefunktion
Vor allem in Physikbüchern wird die Ableitung als Variation bezeichnet. Dann ist die Variation von Die Variation der Wirkung
ist wie bei eine Linearform in den Variationen der Argumente, ihre Koeffizienten heißen Variationsableitung des Funktionals Sie ist im betrachteten Fall die Eulerableitung der Lagrangefunktion
Die Euler-Lagrangesche Differentialgleichung ist lediglich eine notwendige aber keine hinreichende Bedingung für eine Extremale. Weitere notwendige Bedingungen stammen von A. Legendre und A. Clebsch sowie von C.G. Jacobi. Eine hinreichende aber nicht notwendige Bedingung lieferte K. Weierstraß.
The Euler–Lagrange equation[]
Under ideal conditions, the maxima and minima of a given function may be located by finding the points where its derivative vanishes (i.e., is equal to zero). By analogy, solutions of smooth variational problems may be obtained by solving the associated Euler–Lagrange equation.
Consider the functional:
The function should have at least one derivative in order to satisfy the requirements for valid application of the function; further, if the functional attains its local minimum at and is an arbitrary function that has at least one derivative and vanishes at the endpoints and , then we must have
for any number ε close to 0. Therefore, the derivative of with respect to ε (the first variation of A) must vanish at ε = 0.
Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες
σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια
ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι
η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη,
την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει.
"Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα
να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο,
η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης"
του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει."
Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι
όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς,
και για μακρά χρονική περίοδο,
αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία,
ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε.
Επίσης,
Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)"
(όχι μόνον, της Sciencepedia
αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)),
αν και άκρως απαραίτητοι,
είναι αδύνατον να ελεγχθούν
(λόγω της ρευστής φύσης του Web),
και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν
σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο.
Ο αναγνώστηςπρέπει να είναι
εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.
- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν