Μαθηματικό Σύνολο

Σύνολον

Set

Συνολοθεωρία

Σύνολο Cantor

Τοπολογία
Ανοικτό Σύνολο
Κλειστό Σύνολο

Αποκλεισμός
Διαχωρισμός
Ένταξη
ενσωμάτωση

Αποκλεισμός
Διαχωρισμός
Ένταξη
ενσωμάτωση
αφομοίωση

Στατιστική Μηχανική
Στατιστικό Σύνολο

Καθολικό Σύνολο (Universal set)

---

Το σύνολο Ω είναι το Οικουμενικό σύνολο. Α'= Ω - Α
Είναι το σύνολο που περιέχει όλα όσα είναι παρεμφερή
από το περιβάλλον του εξεταζόμενου συνόλου.
Ορίζεται τυπικά ώστε να μην προκύπτουν αντιφάσεις και παραλογισμοί.
π.χ. έστω ένα σύνολο Α = {1,2,3}.
Το συμπλήρωμά του Α' περιέχει το παρεμφερές στοιχείο 7,
αλλά όχι και το ζώο "λαγός"
(καθώς αυτό θα οδηγούσε σε άσκοπους παραλογισμούς)
Το συμπλήρωμα του Ω είναι το κενό σύνολο.

- Ένα Μαθηματικό Δόμημα.

Ετυμολογία

Η ονομασία "Σύνολο" σχετίζεται ετυμολογικά με την λέξη "ολότητα".

Είναι ένα άπειρο ή πεπερασμένο πλήθος μαθηματικών πραγμάτων (αριθμοί, σημεία, εξισώσεις, σχήματα κλπ.), που έχουν μια κοινή ιδιότητα η οποία είναι και καθοριστική για το αν ένα ορισμένο στοιχείο ανήκει ή όχι στο συγκεκριμένο σύνολο.

Ορισμός

Σύνολο είναι οποιαδήποτε συλλογή ομοειδών αντικειμένων (πραγμάτων που έχουν ή ικανοποιούν μία συγκεκριμένη ιδιότητα).

Στοιχεία Συνόλου

Τα μέλη της ομάδας αυτής καλούνται «στοιχεία» του συνόλου. Το πλήθος των στοιχείων ενός συνόλου καλείται «πληθικός αριθμός» του συνόλου (συμβολίζεται συνήθως με «Ν»). Υπάρχουν πεπερασμένα και άπειρα σύνολα, ανάλογα με το αν ο πληθικός τους αριθμός είναι πεπερασμένος ή άπειρος.

Συμβολισμός

Ένα σύνολο συμβολίζεται με δύο άγκιστρα «{}» ανάμεσα στα οποία είτε γράφονται τα στοιχεία του (η σειρά δεν έχει καμία σημασία, αρκεί κάποιο από αυτά να μην επαναλαμβάνεται) είτε περιγράφεται η ιδιότητα που ικανοποιούν. Είθισται επίσης να ονομάζουμε τα σύνολα, συνήθως με κάποιο κεφαλαίο γράμμα της αλφαβήτου.

• Ένα σύνολο Κ, για το οποίο ισχύει Ν(Κ)=0, ονομάζεται κενό σύνολο και συμβολίζεται: Κ={} ή Κ=ø

Παραδείγματα

• Το πεπερασμένο σύνολο Α που περιέχει τους αριθμούς 1, 3 και 5 γράφεται: Α={1,3,5} και έχει πληθικό αριθμό Ν(Α)=3.
• Το άπειρο σύνολο των μη αρνητικών άρτιων (ζυγών) ακεραίων γράφεται : Β={0,2,4,...} ή Β={2·κ, κ ∈ Z⁺₀} ή Β={2·κ, κ=0,1,2,3,...} και Ν(Β)=+∞
• Το άπειρο σύνολο των μη αρνητικών περιττών (μονών) ακεραίων γράφεται : Γ={1,3,5,...} ή Γ={2·κ+1, κ ∈ Z⁺₀} ή Γ={2·κ+1, κ=0,1,2,3,...} και Ν(Γ)=+∞

Αριθμητικά Σύνολα

Ορισμένα σύνολα έχουν μεγάλη μαθηματική αξία και αναφέρονται τόσο συχνά στα μαθηματικά κείμενα που έχουν αποκτήσει ειδικά ονόματα και συμβολισμό για να αναγνωρίζονται. Τα σημαντικότερα είναι τα εξής:

• $\mathrm{\mathbb{P}}$, το σύνολο όλων των Πρώτων Αριθμών.
• $\mathrm{\mathbb{N}}$, το σύνολο όλων των Φυσικών Αριθμών. Αυτό γράφεται και ως {0, 1, 2, 3, ...}.
• $\mathrm{\mathbb{Z}}$, το σύνολο όλων των Ακεραίων Αριθμών. Αυτό γράφεται και ως {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}.
• $\mathrm{\mathbb{Q}}$, το σύνολο όλων των Ρητών Αριθμών. Αυτό γράφεται και ως $\mathrm{ \mathbb{Q} = \begin{Bmatrix} x:x=\frac{\alpha}{\beta}: \alpha, \beta \in \mathbb{Z}, \beta \neq 0 \end{Bmatrix}}$.
• $\mathrm{\mathbb{R}}$, το σύνολο όλων των Πραγματικών Αριθμών.
• $\mathrm{\mathbb{C}}$, το σύνολο όλων των Μιγαδικών Αριθμών. Αυτό γράφεται και ως {z:z = x + yi, i²=-1}. $\mathbb{C} \equiv \mathbb{R}^2 \equiv \mathbb{R} \times \mathbb{R}$.
• $\mathrm{\mathbb{H}}$, το σύνολο όλων των Τετραδιάστατων Αριθμών. Αυτό γράφεται και ως {z:z = a + bi + cj + dk: i² = j² = k² = ijk = -1}. $\mathrm{\mathbb{H} \equiv \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R} \equiv \mathbb{R}^4 }$.
• $\mathrm{\mathbb{R}^v \equiv \begin{matrix} \underbrace{\mathbb{R} \times \mathbb{R} \times ... \times \mathbb{R}} \\ \mathrm{v \; \pi \alpha \rho \acute{\alpha} \gamma o \nu \tau \epsilon \varsigma} \end{matrix}}$, το σύνολο των στοιχείων του διανυσματικού χώρου διάστασης $\mathrm{v \in \mathbb{N},\; v>2}$.

Το καθένα από τα παραπάνω σύνολα έχει άπειρα στοιχεία, αλλά ισχύει $\mathrm{\mathbb{P} \subset \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C} \subset \mathbb{R}^3 \subset \mathbb{H} \subset \mathbb{R}^v}$.

Άλλες Έννοιες

• Παράγωγος συνόλου είναι το σύνολο των σημείων συσσώρευσης του αρχικού συνόλου.

• Κλειστό Σύνολο είναι αυτό που η παράγωγός του είναι υποσύνολο του συνόλου αυτού.
• Αριθμήσιμο Σύνολο είναι αυτό που στα στοιχεία του μπορεί να γίνει αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία με τα στοιχεία του συνόλου των φυσικών αριθμών.
• Κενό Σύνολο είναι ένα σύνολο χωρίς κανένα στοιχείο.

Ένωση Συνόλων

${A}\cup{B} := \{ x \mid \left( x \in {A} \right) \lor \left( x \in {B} \right) \}$

Τομή Συνόλων

${A}\cap{B} := \{ x \mid \left( x \in {A} \right) \and \left( x \in {B} \right) \}$

Εσωτερική Αρθρογραφία

• Φυσικό Σύστημα
• Συνολοθεωρία
• Αριθμησιμότητα
• Πλήρες Σύνολο Τελεστών
• Πλήρες Σύνολο Αναλλοιώτων
• Γεννητορικό Σύνολο

Ιστογραφία

• Ομώνυμο άρθρο στην Βικιπαίδεια
• Ομώνυμο άρθρο στην Livepedia
• [ ]
• [ ]

Κίνδυνοι Χρήσης

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη, την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει. "Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο, η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης" του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει." Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς, και για μακρά χρονική περίοδο, αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία, ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε. Επίσης, Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)" (όχι μόνον, της Sciencepedia αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)), αν και άκρως απαραίτητοι, είναι αδύνατον να ελεγχθούν (λόγω της ρευστής φύσης του Web), και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο. Ο αναγνώστης πρέπει να είναι εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

---

>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)

---