Μεταθέτης
commutator
Μεταθέτης
Μεταθέτης
Μεταθέτης
- Ένα Μαθηματικό Μέγεθος
Η ονομασία "Μεταθέτης " σχετίζεται ετυμολογικά με την λέξη "μετάθεση " .
In mathematics, the commutator gives an indication of the extent to which a certain binary operation fails to be commutative.
There are different definitions used in group theory and ring theory .
[
A
^
,
B
^
]
=
A
^
B
^
−
B
^
A
^
{\displaystyle [\hat{A},\hat{B}] = \hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}}
Ιδιότητες:
[
A
^
,
B
^
]
+
[
B
^
,
A
^
]
=
0
{\displaystyle [{\hat A}, {\hat B} ]+ [ {\hat B}, {\hat A} ] = 0 }
[
A
^
,
A
^
]
=
0
{\displaystyle [ {\hat A} , {\hat A} ]= 0
}
[
A
^
,
B
^
+
C
^
]
=
[
A
^
,
B
^
]
+
[
A
^
,
C
^
]
{\displaystyle [ \hat{A}, \hat{B} + \hat{C} ] = [ \hat{A}, \hat{B} ]
+ [ \hat{A}, \hat{C} ]}
[
A
^
+
B
^
,
C
^
]
=
[
A
^
,
C
^
]
+
[
B
^
,
C
^
]
{\displaystyle [ \hat{A} + \hat{B}, \hat{C} ]= [ \hat{A}, \hat{C} ]
+ [ \hat{B}, \hat{C} ]}
[
A
^
,
B
^
C
^
]
=
[
A
^
,
B
^
]
C
^
+
B
^
[
A
^
,
C
^
]
{\displaystyle [ \hat{A}, \hat{B} \hat{C} ]= [ \hat{A}, \hat{B} ]
\hat{C} + \hat{B} [\hat{A}, \hat{C} ]
}
[
A
^
B
^
,
C
^
]
=
[
A
^
,
C
^
]
B
^
+
A
^
[
B
^
,
C
^
]
{\displaystyle [ \hat{A} \hat{B}, \hat{C} ]= [ \hat{A}, \hat{C} ]
\hat{B} + \hat{A} [\hat{B}, \hat{C} ]}
[
A
^
,
[
B
^
,
C
^
]
]
+
[
C
^
,
[
A
^
,
B
^
]
]
+
[
B
^
,
[
C
^
,
A
^
]
]
=
0
{\displaystyle [ \hat{A}, [ \hat{B}, \hat{C} ] ]
+ [\hat{C}, [ \hat{A}, \hat{B}] ] +
[ \hat{B}, [ \hat{C}, \hat{A}] ] = 0 }
If
A
^
{\displaystyle \hat{A}}
and
B
^
{\displaystyle \hat{B} }
are two operators which commute with their commutator, then:
[
A
^
,
B
^
n
]
=
n
B
^
n
−
1
[
A
^
,
B
^
]
{\displaystyle [\hat{A}, \hat{B}^{n}]= n \hat{B}^{n-1} [\hat{A}, \hat{B}]
}
[
A
^
n
,
B
^
]
=
n
A
^
n
−
1
[
A
^
,
B
^
]
{\displaystyle [\hat{A}^{n}, \hat{B}]= n \hat{A}^{n-1} [\hat{A}, \hat{B}]
}
We also have the identity (useful for coupled-cluster theory)
e
A
^
B
^
e
−
A
^
=
B
^
+
[
A
^
,
B
^
]
+
1
2
!
[
A
^
,
[
A
^
,
B
^
]
+
1
3
!
[
A
^
,
[
A
^
,
[
A
^
,
B
^
]
]
]
+
⋯
{\displaystyle e^{\hat{A}} \hat{B} e^{-\hat{A}} = \hat{B} + [\hat{A},\hat{B}] +
\frac {1}{2!} [ \hat{A}, [ \hat{A},\hat{B}] + \frac {1}{3!} [ \hat{A}, [ \hat{A}, [ \hat{A}, \hat{B}] ] ] + \cdots
}
Finally, if
[
A
^
,
B
^
]
=
i
C
^
{\displaystyle [ \hat{A}, \hat{B} ] = i \hat{C}}
then the uncertainties in A and B, defined as:
Δ
A
2
=<
A
2
>
−
<
A
>
2
{\displaystyle \Delta A^2 = <A^2> - <A>^2}
obey the relation
(
Δ
A
)
(
Δ
B
)
≥
1
2
|
<
C
>
|
{\displaystyle
(\Delta A) (\Delta B) \geq \frac{1}{2} \vert<C>\vert
}
This is the famous Heisenberg uncertainty principle .
It is easy to derive the well-known relation
(
Δ
x
)
(
Δ
p
x
)
≥
ℏ
2
{\displaystyle
(\Delta x) (\Delta p_x) \geq \frac{\hbar}{2}
}
from this generalized rule.
i
ℏ
d
A
^
d
t
=
i
ℏ
∂
⟨
A
^
⟩
∂
t
+
[
A
^
,
H
^
]
{\displaystyle i \hbar \frac{\mathrm{d} \hat{A}}{\mathrm{d}t} = i\hbar \frac{\partial \langle\hat{A}\rangle}{\partial t} +[\hat{A},\hat{H}]}
[
L
^
2
,
H
^
]
=
0
{\displaystyle [\hat{L}^2,\hat{H}] = 0 }
[
L
→
^
,
H
^
]
=
0
{\displaystyle [\hat{\vec{L}},\hat{H}] = 0 }
[
H
^
,
r
→
^
]
=
i
ℏ
m
P
→
^
{\displaystyle [\hat{H},\hat{\vec{r}}] = \frac{i\hbar} {m} \hat{\vec{P}}}
[
L
→
^
2
,
L
^
x
]
=
0
^
{\displaystyle [\hat{\vec{L}}^2,\hat{L}_x] = \mathit{\hat {0}} }
[
L
→
^
2
,
L
^
y
]
=
0
^
{\displaystyle [\hat{\vec{L}}^2,\hat{L}_y] = \mathit{\hat {0}} }
[
L
→
^
2
,
L
^
z
]
=
0
^
{\displaystyle [\hat{\vec{L}}^2,\hat{L}_z] = \mathit{\hat {0}} }
[
x
^
,
P
^
x
]
=
i
ℏ
1
^
{\displaystyle [\hat{x},\hat{P}_x] = i\hbar \mathit{\hat {1}} }
[
y
^
,
P
^
y
]
=
i
ℏ
1
^
{\displaystyle [\hat{y},\hat{P}_y] = i\hbar \mathit{\hat {1}} }
[
z
^
,
P
^
z
]
=
i
ℏ
1
^
{\displaystyle [\hat{z},\hat{P}_z] = i\hbar \mathit{\hat {1}} }
[
x
^
,
y
^
]
=
0
^
{\displaystyle [\hat{x},\hat{y}] = \mathit{\hat {0}} }
[
P
^
x
,
P
^
y
]
=
0
^
{\displaystyle [\hat{P}_x,\hat{P}_y] = \mathit{\hat {0}} }
[
x
^
,
P
^
x
]
=
i
ℏ
1
^
{\displaystyle [\hat{x},\hat{P}_x] = i\hbar \mathit{\hat {1}} }
[
x
^
,
y
^
]
=
0
^
[
P
^
x
,
P
^
y
]
=
0
^
[
x
^
,
P
^
x
]
=
i
ℏ
1
^
{\displaystyle \begin{align}
\; [\hat{x},\hat{y}] = \mathit{\hat {0}} \; \\
\; [\hat{P}_x,\hat{P}_y] = \mathit{\hat {0}} \; \\
\; [\hat{x},\hat{P}_x] = i\hbar \mathit{\hat {1}}
\end{align}}
Κίνδυνοι Χρήσης
Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες
σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια
ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι
η "Sciencepedia " δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη ,
την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει.
"Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα
να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο,
η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης"
του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει."
Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι
όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς,
και για μακρά χρονική περίοδο,
αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία ,
ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε.
Επίσης,
Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)"
(όχι μόνον, της Sciencepedia
αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)),
αν και άκρως απαραίτητοι,
είναι αδύνατον να ελεγχθούν
(λόγω της ρευστής φύσης του Web ),
και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν
σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο .
Ο αναγνώστης πρέπει να είναι
εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.
- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν
>>Διαμαρτυρία προς την wikia <<
- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)