Μετασχηματισμός Lorentz

Μετασχηματισμός Lorentz

Lorentz Transformation

Μετασχηματισμός Lorentz
Υπερβολική Στροφή

Μετασχηματισμός Lorentz

Μετασχηματισμός Lorentz

Μετασχηματισμός Lorentz

Μετασχηματισμός Lorentz
Υπερβολική Στροφή

Μετασχηματισμός Lorentz
Υπερβολική Στροφή

Μετασχηματισμός Lorentz
Υπερβολική Στροφή

Μετασχηματισμός
Σημειακός Μετασχηματισμός
Συνεχής Μετασχηματισμός
Διακριτός Μετασχηματισμός
Χρονική Αναστροφή
Χωρική Αναστροφή
Χρονική Μεταφορά
Χωρική Μεταφορά
Χρονική Στροφή
Χωρική Στροφή
Αβελιανός Μετασχηματισμός
Αναβελιανός Μετασχηματισμός
Γαλιλαϊκός Μετασχηματισμός
Μετασχηματισμός Lorentz
Μετασχηματισμός Poincare

Μετασχηματισμός
Ενεργητικός Μετασχηματισμός
Παθητικός Μετασχηματισμός
Μετασχηματισμός Στροφής

Οι Μετασχηματισμοί Lorentz, οι οποίοι ονομάστηκαν προς τιμήν του Ολλανδού φυσικού και μαθηματικού που τους επινόησε, του Lorentz Hendrik (1853-1928), αποτελούν τη βάση της Ειδικής θεωρίας της Σχετικότητας, η οποία εισήχθη σε μια προσπάθεια να αρθούν οι αντιφάσεις ανάμεσα στις θεωρίες του Hλεκτρομαγνητισμού και της Κλασσικής Μηχανικής.

Εισαγωγή

Υπό τους μετασχηματισμούς αυτούς, η ταχύτητα του φωτός είναι η ίδια σε όλα τα συστήματα αναφοράς, όπως αξιώνει η Ειδική Σχετικότητα.

Αν και οι εξισώσεις συνδέονται με την Ειδική Σχετικότητα, διατυπώθηκαν πριν από αυτήν και προτάθηκαν από τον Λόρεντζ το 1904 ως εξήγηση του πειράματος Michelson-Morley, μέσω της συστολής του μήκους.

Οι μετασχηματισμοί αυτοί έρχονται σε αντίθεση με τους περισσότερο διαισθητικούς μετασχηματισμούς του Γαλιλαίου, που δίνουν καλά αποτελέσματα σε μη-σχετικιστικές (χαμηλές) ταχύτητες.

Μπορούν να χρησιμοποιηθούν (για παράδειγμα) για να υπολογίσουμε την τροχιά ενός σωματιδίου όπως αυτή περιγράφεται από ένα "κινούμενο" Αδρανειακό Σύστημα Αναφοράς που κινείται με σταθερή ταχύτητα (σε σχέση με το αρχικό "ακίνητο" Σύστημα Αναφοράς).

Αντικαθιστούν τους προγενέστερους μετασχηματισμούς του Γαλιλαίου.

Η ταχύτητα του φωτός,c, εισέρχεται ως παράμετρος στους μετασχηματισμούς Lorentz. Αν η ταχύτητα υ είναι επαρκώς μικρή σε σχέση με την c, τότε $v/c \to 0$, και προκύπτουν οριακά οι μετασχηματισμοί Γαλιλαίου.

Εξισώσεις

Οι μετασχηματισμοί Lorentz αποτελούν μια ομάδα μετασχηματισμών που χρησιμοποιείται για να μετασχηματίσει τις χωροχρονικές συντεταγμένες (ή γενικότερα, οποιοδήποτε τετραδιάνυσμα) από ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς, $S$, σε ένα άλλο, $S'$, όπου το $S'$ κινείται με σχετική ταχύτητα ${\upsilon}$ ως προς το $S$ κατά μήκος του χ-άξονα. Αν ένα γεγονός έχει χωρο-χρονικές συντεταγμένες $(t, x, y, z)$ στο $S$ και $(t', x', y', z')$ στο $S'$, τότε αυτές συσχετίζονται με βάση τους μετασχηματισμούς Lorentz με τον ακόλουθο τρόπο:

$t' = \gamma \left(t - \frac{v x}{c^{2}} \right)$

$x'= \gamma\left(x - vt\right)$

$y' = y \,$

$z' = z \,$

όπου το

$\gamma \equiv \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$

καλείται παράγοντας Lorentz και $c$ είναι η ταχύτητα του φωτός στο κενό.

Οι Μετασχηματισμοί υπό μορφή πινάκων

Οι παραπάνω τέσσερεις εξισώσεις μπορούν να γραφούν συμπαγώς σε μορφή μήτρας ως εξής

$\begin{bmatrix} t' \\x' \\y' \\z' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \gamma&-\frac{v}{c^2} \gamma&0&0\\ -v \gamma&\gamma&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} t\\x\\y\\z \end{bmatrix}$

ή εναλλακτικά ως

$\begin{bmatrix} c t' \\x' \\y' \\z' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \gamma&-\frac{v}{c} \gamma&0&0\\ -\frac{v}{c} \gamma&\gamma&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c t\\x\\y\\z \end{bmatrix}.$

• Η πρώτη μορφή έχει το πλεονέκτημα ότι φαίνεται εύκολα ότι ανάγεται στους μετασχηματισμούς του Γαλιλαίου στο όριο $\upsilon /c \to 0$.

• Η δεύτερη μορφή έχει το πλεονέκτημα ότι δείχνει σαφώς τη διατήρηση του χωροχρονικού μήκους $ds^2 = (cdt)^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2$, που είναι μια θεμελιώδης αναλλοίωτη ποσότητα της Ειδικής Σχετικότητας.

Οι εξισώσεις αυτές ισχύουν μόνο στην περίπτωση που η ταχύτητα ${\upsilon}$ βρίσκεται κατά μήκος του x-άξονα. του συστήματος $S$.

Σε περιπτώσεις όπου η ${\upsilon}$ δε δείχνει κατά μήκος του x-άξονα του $S$, είναι συνήθως ευκολότερο να κάνουμε μια περιστροφή του συστήματος, ώστε να φέρουμε την ${\upsilon}$ κατά μήκος του x-άξονα του $S$, ώστε να αποφύγουμε την εμπλοκή με τη γενική μορφή του μετασχηματισμού Lorentz.

Για μια προώθηση (boost) σε τυχούσα κατεύθυνση, είναι βολικό να αναλύσουμε το χωρικό διάνυσμα $\mathbf{x}$ σε συνιστώσες κάθετες και παράλληλες προς την ταχύτητα $\mathbf{\upsilon}$: $\mathbf{x}=\mathbf{x}_\perp+\mathbf{x}_\|$. Μόνο η συνιστώσα $\mathbf{x}_\|$ στην κατεύθυνση της $\mathbf{\upsilon}$ μεταβάλλεται κατά τον παράγοντα $\gamma$:

$t' = \gamma \left(t - \frac{\upsilon x_\|}{c^{2}} \right)$

$\mathbf{x}' = \mathbf{x}_\perp + \gamma \left(\mathbf{x}_\| - \mathbf{\upsilon} t \right)$

Οι παραπάνω εξισώσεις μπορούν να εκφραστούν σε μορφή πίνακα ως

$\begin{bmatrix} c t' \\ \\ \mathbf{x}' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \gamma&-\frac{\mathbf{\upsilon^T}}{c}\gamma\\ \\ -\frac{\mathbf{\upsilon}}{c}\gamma&\mathbf{1}+\frac{\mathbf{\upsilon}\cdot\mathbf{\upsilon^T}}{\upsilon^2}(\gamma-1)\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c t\\ \\ \mathbf{x} \end{bmatrix}$.

Ένας ακόμη περιοριστικός παράγοντας του παραπάνω μετασχηματισμού είναι ότι η "αρχή" των αξόνων των δύο συστημάτων πρέπει να συμπίπτει για $t = t' = 0$. Αυτό σημαίνει ότι το "γεγονός" με συντεταγμένες $(0,0,0,0)$ στο σύστημα $S$ πρέπει να είναι το ίδιο με το "γεγονός" με συντεταγμένες $(0,0,0,0)$ στο $S'$. Μια γενίκευση των μετασχηματισμών Λόρεντζ που χαλαρώνει αυτή την απαίτηση είναι οι μετασχηματισμοί Πουανκαρέ.

Γενικότερα, αν Λ είναι οποιαδήποτε 4x4 μήτρα τ.ω. Λ^TgΛ=g, όπου T είναι η ανάστροφος της μήτρας και

$g= \begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 0&-1&0&0\\ 0&0&-1&0\\ 0&0&0&-1 \end{bmatrix}$

και X είναι το 4-άνυσμα που περιγράφει τις χωροχρονικές μετατοπίσεις, τότε ο $X\rightarrow \Lambda X$ είναι ο πιο γενικός μετασχηματισμός Lorentz. Οι ορισμένες με αυτό τον τρόπο μήτρες Λ αποτελούν μια αναπαράσταση της ομάδας SO(3,1), γνωστή επίσης και ως ομάδα Lorentz.

Ηλεκτροδυναμική

Οι μετασχηματισμοί των φυσικών μεγεθών της Ηλεκτροδυναμικής είναι:

$\begin{align} & {\vec{E}}'=\gamma \left( \vec{E}+\vec{v}\times \vec{B} \right)+(1-\gamma )\frac{\vec{E} \cdot \vec{v} }{{{v}^{2}}}\vec{v} \\ & {\vec{B}}'=\gamma \left( \vec{B}-\frac{1}{{{c}^{2}}}\vec{v}\times \vec{E} \right)+(1-\gamma )\frac{\vec{B}\cdot \vec{v}}{{{v}^{2}}}\vec{v} \\ & {\vec{D}}'=\gamma \left( \vec{D}+\frac{1}{{{c}^{2}}}\vec{v}\times \vec{H} \right)+(1-\gamma )\frac{\vec{D}\cdot \vec{v}}{{{v}^{2}}}\vec{v} \\ & {\vec{H}}'=\gamma \left( \vec{H}-\vec{v}\times \vec{D} \right)+(1-\gamma )\frac{\vec{H}\cdot \vec{v}}{{{v}^{2}}}\vec{v} \\ & {\vec{j}}'=\vec{j}-\frac{\rho \cdot \vec{v}}{\gamma }+\left( \frac{1}{\gamma }-1 \right)\frac{\vec{j}\cdot \vec{v}}{{{v}^{2}}}\vec{v} \\ & {\rho }'=\frac{1}{\gamma }\cdot \left( \rho -\frac{1}{{{c}^{2}}}\vec{j}\cdot \vec{v} \right) \\ \end{align}$

Στην περίπτωση που γ = 1 έχουμε:

$\begin{align} & {\vec{E}}'=\vec{E}+\vec{v}\times \vec{B} \\ & {\vec{B}}'=\vec{B}-1/{{c}^{2}}\vec{v}\times \vec{E}\approx \vec{B} \\ & \vec{E}=\vec{E}'-\vec{v}\times {\vec{B}}' \\ & \vec{B}={\vec{B}}'+1/{{c}^{2}}\vec{v}\times {\vec{E}}'\approx {\vec{B}}' \\ \end{align}$

Ιστορία

Ο Lorentz ανακάλυψε το 1900 ότι οι μετασχηματισμοί διατηρούν αναλλοίωτες τις Eξισώσεις Maxwell. Ωστόσο, ο Λόρεντζ δεχόταν την υπόθεση του αιθέρα· Ήταν ο Einstein που πρώτος ανέπτυξε τη Θεωρία Σχετικότητας και θεμελίωσε τους μετασχηματισμούς σε στέρεο φυσικό υπόβαθρο. Παρά το γεγονός αυτό, θεωρούσε ουσιαστικά τον Lorentz "πατέρα" της Σχετικότητας.

Οι μετασχηματισμοί Lorentz δημοσιεύθηκαν για πρώτη φορά το 1904, αλλά ο φορμαλισμός τους ήταν ατελής. Ο Henri Poincare, Γάλλος μαθηματικός, αναθεώρησε τον φορμαλισμό του Lorentz για να κάνει τις τέσσερεις εξισώσεις ένα συνεκτικό, αυτοσυνεπές σύνολο, όπως τις ξέρουμε σήμερα.

Απόδειξη

Η γενική μορφή με την βοήθεια μήτρας γράφεται ως εξής:

$\begin{bmatrix} ct' \\ x' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix} \begin{bmatrix} ct \\ x \end{bmatrix}\;,$

Εκτελώντας τις πράξεις προκύπτει το σύστημα εξισώσεων:

$\,\!ct' = Act + Bx$

$\,\!x' = Cx + Dct$

Όταν το σώμα βρίσκεται στην αρχή του "ακίνητου συστήματος αναφοράς" (O) δηλ.

$x = 0 \;$

τότε η ταχύτητα του ως προς το "κινούμενο συστήματος αναφοράς" (O') είναι αρνητική:

$\frac{dx'}{dt'} = - v$,

Παραγωγίζοντας έχουμε:

$\frac{dx'}{dt'} = - v = \frac{d(0 + Dct)}{d(At + 0)} = \frac{d(Dct)}{d(At)}= \frac{Dc}{A}$

---

Ο αντίστροφος μετασχηματισμός είναι:

$\begin{bmatrix} A & B \\ C & D \\ \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{AD - BC} \begin{bmatrix} \,\, \,D & \!\!-B \\ -C & \,A \\ \end{bmatrix}.$

P : $\frac{dx}{dt}$

Spacetime interval

In a given coordinate system x^μ, if two events A and B are separated by

$(\Delta t, \Delta x, \Delta y, \Delta z) = (t_B-t_A, x_B-x_A, y_B-y_A, z_B-z_A)\ ,$

the spacetime interval between them is given by

$ds^2 = - c^2(dt)^2 + (dx)^2 + (dy)^2 + (dz)^2\ .$

This can be written in another form using the Minkowski metric.

In this coordinate system,

$\eta_{\mu\nu} = \begin{bmatrix} -1&0&0&0\\ 0&1&0&0 \\ 0&0&1&0 \\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}\ .$

Then, we can write

$ds^2 = \begin{bmatrix}c dt & dx & dy & dz \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1&0&0&0\\ 0&1&0&0 \\ 0&0&1&0 \\ 0&0&0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c dt \\ dx \\ dy \\ dz \end{bmatrix}$

or, using the Einstein summation convention,

$ds^2= \eta_{\mu\nu} dx^\mu x^\nu\ .$

Now suppose that we make a coordinate transformation x^μ → x′ ^μ. Then, the interval in this coordinate system is given by

$ds'^2 = \begin{bmatrix}c dt' & dx' & dy' & dz' \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1&0&0&0\\ 0&1&0&0 \\ 0&0&1&0 \\ 0&0&0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c dt' \\ dx' \\ dy' \\ dz' \end{bmatrix}$

or

$ds'^2= \eta_{\mu\nu} x'^\mu dx'^\nu\ .$

It is a result of special relativity that the interval is an invariant. That is, s² = s′ ². For this to hold, it can be shown that it is necessary (but not sufficient) for the coordinate transformation to be of the form

$dx'^\mu = dx^\nu \Lambda^\mu_\nu + C^\mu\ .$

Here, C^μ is a constant vector and Λ^μ_ν a constant matrix, where we require that

$\eta_{\mu\nu}\Lambda^\mu_\alpha \Lambda^\nu_\beta = \eta_{\alpha\beta}\ .$

Such a transformation is called a Poincare transformation or an inhomogeneous Lorentz transformation. The C^a represents a spacetime translation. When C^a = 0, the transformation is called an homogeneous Lorentz transformation, or simply a Lorentz transformation.

Taking the determinant of

$\eta_{\mu\nu}{\Lambda^\mu}_\alpha{\Lambda^\nu}_\beta = \eta_{\alpha\beta}$

gives us

$\det (\Lambda^a_b) = \pm 1\ .$

The cases are:

• Proper Lorentz transformations have det(Λ^μ_ν) = +1, and form a subgroup called the special orthogonal group SO(1,3).
• Improper Lorentz transformations are det(Λ^μ_ν) = −1, which do not form a subgroup, as the product of any two improper Lorentz transformations will be a proper Lorentz transformation.

From the above definition of Λ it can be shown that (Λ⁰₀)² ≥ 1, so either Λ⁰₀ ≥ 1 or Λ⁰₀ ≤ −1, called orthochronous and non-orthochronous respectively.

An important subgroup of the proper Lorentz transformations are the proper orthochronous Lorentz transformations which consist purely of boosts and rotations.

Any Lorentz transform can be written as a proper orthochronous, together with one or both of the two discrete transformations; space inversion P and time reversal T, whose non-zero elements are:

$P^0_0=1, P^1_1=P^2_2=P^3_3=-1$

$T^0_0=-1, T^1_1=T^2_2=T^3_3=1$

The set of Poincaré transformations satisfies the properties of a group and is called the Poincare group. Under the Erlangen program, Minkowski space can be viewed as the geometry defined by the Poincaré group, which combines Lorentz transformations with translations. In a similar way, the set of all Lorentz transformations forms a group, called the Lorentz group.

A quantity invariant under Lorentz transformations is known as a Lorentz scalar.

Εσωτερική Αρθρογραφία

• Ειδική Σχετικότητα
• Μετασχηματισμός

Ιστογραφία

• Ομώνυμο άρθρο στην Βικιπαίδεια
• Ομώνυμο άρθρο στην Livepedia
• Μετασχηματισμοί_Lorentz
• [ ]
• [ ]

Κίνδυνοι Χρήσης

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη, την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει. "Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο, η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης" του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει." Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς, και για μακρά χρονική περίοδο, αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία, ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε. Επίσης, Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)" (όχι μόνον, της Sciencepedia αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)), αν και άκρως απαραίτητοι, είναι αδύνατον να ελεγχθούν (λόγω της ρευστής φύσης του Web), και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο. Ο αναγνώστης πρέπει να είναι εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

---

>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)

---