Μετρικός Τανυστής

Μετρικός Τανυστής

Metric Tensor

Μετρική
Μετρικός Τανυστής

---

Ευκλείδεια Μετρική
Μετρική Minkowski
Μετρική Robertson-Walker
Μετρική Schwarzschild
Μετρική Reissner-Nordstrom
Μετρική Kerr
Μετρική Kerr-Newman
Μετρική Alcubierre
Μετρική Egushi-Hanson
Αναλλοίωτη Μετρική

Μετρικός Τανυστής

- Ένας τανυστής που καθορίζει την μετρική ενός Χώρου.

Ετυμολογία

Η ονομασία "Μετρικός" σχετίζεται ετυμολογικά με την λέξη "μέτρο".

Εισαγωγή

Εμφανίζεται συνήθως στην μετρική ενός Χώρου.

$ds^2 = \sum_{i,j=1}^n g_{ij}dx^i dx^j$

Αναπαράσταση

Η μορφή του (δηλ. η ανάπαράστασή του) εξαρτάται

• από τις διαστάσεις του θεωρούμενου Χώρου,
• από την καμπυλότητα του Χώρου αυτού.
• από το χρησιμοποιούμενο Σύστημα Συντεταγμένων,

Δισδιάστατος Επίπεδος Χώρος

• Στο Καρτεσιανό Σύστημα έχει την εξής μορφή:

$g = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix} \$

• Στο Πολικό Σύστημα έχει την εξής μορφή:

$g = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \rho^2 \end{bmatrix} \$

Τρισδιάστατος Επίπεδος Χώρος

• Στο Καρτεσιανό Σύστημα έχει την εξής μορφή:

$g = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix} \$

• Στο Κυλινδρικό Σύστημα έχει την εξής μορφή:

$g = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & \rho^2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix} \$

• Στο Σφαιρικό Σύστημα έχει την εξής μορφή:

$g = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & r^2 & 0 \\ 0 & 0 & r^2 \sin^2\theta \end{bmatrix} \$

Examples

The Euclidean metric

The most familiar example is that of elementary Euclidean geometry: the two-dimensional Euclidean metric tensor. In the usual $x$-$y$ coordinates, we can write

$g = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}. \$

The length of a curve reduces to the formula:

$L = \int_a^b \sqrt{ (dx)^2 + (dy)^2}. \$

Polar Metric

The Euclidean metric in some other common coordinate systems can be written as follows.

Polar coordinates: $(r, \theta) \$

$x = r \cos \theta$

$y = r \sin \theta$

$J = \begin{bmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta \end{bmatrix}.$

So

$g = J^\top J = \begin{bmatrix}\cos^2\theta+\sin^2\theta & -r\sin\theta \cos\theta + r\sin\theta\cos\theta \\ -r\cos\theta\sin\theta + r\cos\theta\sin\theta & r^2 \sin^2\theta + r^2\cos^2\theta\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & r^2\end{bmatrix} \$

by trigonometric identities.

In general, in a Cartesian coordinate system xⁱ on a Euclidean space, the partial derivatives $\partial/\partial x^i$ are orthonormal with respect to the Euclidean metric. Thus the metric tensor is the Kronecker delta δ_ij in this coordinate system. The metric tensor with respect to arbitrary (possibly curvilinear) coordinates $q^i$ is given by:

$g_{ij} = \sum_{kl}\delta_{kl}{\partial x^k \over \partial q^i} {\partial x^l \over \partial q^j} = \sum_k\frac{\partial x^k}{\partial q^i}\frac{\partial x^k}{\partial q^j}.$

The spherical metric

The unit sphere in R³ comes equipped with a natural metric induced from the ambient Euclidean metric. In standard spherical coordinates $(\theta,\phi)$, with $\theta$ the co-latitude, the angle measured from the z axis, and $\phi$ the angle from the x axis in the xy plane, the metric takes the form

$g = \left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & \sin^2 \theta \end{array}\right].$

This is usually written in the form

$ds^2 = d\theta^2 + \sin^2\theta\,d\phi^2.$

Lorentzian metrics from relativity

In flat Minkowski space (special relativity), with coordinates $x^\mu \rightarrow (x^0, x^1, x^2, x^3)= (ct, x, y, z) \ ,$ the metric is

$\eta = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}. \$

For a curve with—for example—constant time coordinate, the length formula with this metric reduces to the usual length formula. For a timelike curve, the length formula gives the proper time along the curve.

In this case, the spacetime interval is written as

$ds^2 = c^2 dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2 = dx^\mu dx_\mu = \eta_{\mu \nu} dx^\mu dx^\nu\$.

The Schwarzschild metric describes the spacetime around a spherically symmetric body, such as a planet, or a black hole. With coordinates $(x^0, x^1, x^2, x^3)=(ct, r, \theta, \phi)$, we can write the metric as

$G = (g_{\mu\nu}) = \begin{bmatrix} (1-\frac{2GM}{rc^2}) & 0 & 0 & 0\\ 0 & -(1-\frac{2GM}{r c^2})^{-1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -r^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -r^2 \sin^2 \theta \end{bmatrix}\,$

where G (inside the matrix) is the gravitational constant and M the mass of the body.

Εσωτερική Αρθρογραφία

• Τανυστική Ανάλυση
• Τανυστής
• Τανυστής Riemann
• Μετρικός Τανυστής Minkowski

Ιστογραφία

• Ομώνυμο άρθρο στην Βικιπαίδεια
• Ομώνυμο άρθρο στην Livepedia
• [ ]
• [ ]

Κίνδυνοι Χρήσης

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη, την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει. "Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο, η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης" του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει." Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς, και για μακρά χρονική περίοδο, αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία, ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε. Επίσης, Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)" (όχι μόνον, της Sciencepedia αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)), αν και άκρως απαραίτητοι, είναι αδύνατον να ελεγχθούν (λόγω της ρευστής φύσης του Web), και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο. Ο αναγνώστης πρέπει να είναι εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

---

>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)

---