Μητραϊκός Πολλαπλασιασμός

Matrix, πίνακας

Matrix-multiplication-01-goog — **Μητραϊκός Πολλαπλασιασμός**

Products-dot-05-goog — Εσωτερικός Πολλαπλασιασμός (dot product)

Matrix-multiplication-11-goog — **Μητραϊκός Πολλαπλασιασμός**
*The interesting thing about matrix multiplication is that the operation is not commutative. In other words, the order in which the matrices are multiplied it does matter*

Multiplication-10-goog — **Μητραϊκός Πολλαπλασιασμός**
Κλασματικός Αριθμός

Rotation-matrix-02-goog — **Μητραϊκός Πολλαπλασιασμός** Περιστροφή

Rotation-matrix-01-goog — **Μητραϊκός Πολλαπλασιασμός**Περιστροφή

Numbers-03-goog — **Διακριτά Μαθηματικά** Αριθμητική Αριθμοθεωρία Αριθμός Τελεστής
**Αλγεβρικές Πράξεις** Πρόσθεση Αφαίρεση Πολλαπλασιασμός Διαίρεση
**Συνολοϊκές Πράξεις** Συνολοϊκή Ένωση Συνολοϊκή Τομή
**Λογικές Πράξεις** Σύζευξη (Conjunction) Διάζευξη (Disjunction) Άρνηση (Negation)
**Ιδιότητες Πράξεων** Ανακλαστική Ιδιότητα Μεταθετική Ιδιότητα Προσεταιριστική Ιδιότητα Επιμεριστική Ιδιότητα

Matrices-03-goog — **Πολλαπλασιασμός** Μητρών

Matrices-031-goog — **Πολλαπλασιασμός** Μητρών

Matrices-02-goog — **"Σχήμα 1o"**
**Πολλαπλασιασμός** Μητρών

Matrices-04-goog — **"Σχήμα 2o"**
**Πολλαπλασιασμός** Μητρών

Matrices-05-goog — **"Σχήμα 3o"**
**Πολλαπλασιασμός** Μητρών

Matrices-06-goog — **"Σχήμα 4o"**
**Πολλαπλασιασμός** Μητρών

Matrices-07-goog — **"Σχήμα 5o"**
**Πολλαπλασιασμός** Μητρών

- Μία Μαθηματική Πράξη.

Ετυμολογία[]

Η ονομασία "Μητραϊκός" σχετίζεται ετυμολογικά με την λέξη "Μήτρα".

Εισαγωγή[]

Η χρησιμότητα των μητρών οφείλεται στον ιδιόμορφο τρόπο με τον οποίο εκτελείται ο πολλαπλασιασμός τους.

Αν ο πολλαπλασιασμός των μητρών γινόταν κατά ανάλογο τρόπο με την πρόσθεση, δηλαδή σε δύο μήτρες ίδιων διαστάσεων να πολλαπλασιάζουμε τα αντίστοιχα στοιχεία
τότε
οι μήτρες θα αποτελούσαν απλά «αποθήκες» στοιχείων χωρίς ουσιαστικό λόγο ύπαρξης καθώς δεν θα έκαναν τίποτα περισσότερο από το να ομαδοποιούν πράξεις αριθμών.

Ο πολλαπλασιασμός δυο μητρών ορίζεται μόνο όταν οι στήλες (columns) της πρώτης είναι ίσες με τις σειρές (rows) του δεύτερης.

Ο πολλαπλασιασμός του n×m μήτρας $A = (\alpha_{ij})$ με την m×k μήτρα $B=(\beta_{jr})$ έχει ως αποτέλεσμα τον n×k μήτρα $A B= C(C_{ik})$ με στοιχεία

c_{ik}= \alpha_{i1}\beta_{1k} + \alpha_{i2}\beta_{2k} + \cdots + \alpha_{\mu n}\beta_{\mu k}

= \sum_{r=1}^{\mu} \alpha_{ir}\beta_{rk} \qquad \qquad (1)

Έτσι το δεύτερο στοιχείο της πρώτης σειράς υπολογίζεται από την πρώτη σειρά της Α και τη δεύτερη στήλη της Β (κίτρινο χρώμα στην απεικόνιση).

Ακολουθεί το γενικό σχήμα:

{\displaystyle \begin{bmatrix} \color{red}{a} & \color{blue}{b} \\ \color{red}{c} & \color{blue}{d} \\ \end{bmatrix} \bullet \begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} = }

{\displaystyle = \begin{bmatrix} \color{red}{a} \\ \color{red}{c} \\ \end{bmatrix} \; \boldsymbol{\cdot} \; x + \begin{bmatrix} \color{blue}{b} \\ \color{blue}{d} \\ \end{bmatrix} \; \boldsymbol{\cdot} \; y }

{\displaystyle = \begin{bmatrix} {\color{red}{a}} \cdot x & {\color{blue}{b}} \cdot y \\ {\color{red}{c}} \cdot x & {\color{blue}{d}} \cdot y \\ \end{bmatrix} }

Παράδειγμα:

{\displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = }

{\displaystyle = \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ 4 & 2 \\ \end{bmatrix} }

όπου:

5 = (1 \cdot 3  +  0 \cdot 2  +  2 \cdot 1)

1 = (1 \cdot 1   +   0 \cdot 1   +   2 \cdot 0)

4 = (-1 \cdot 3  +  3 \cdot 2  +  1 \cdot 1)

2 = (-1 \cdot 1   +   3 \cdot 1   +   1 \cdot 0)

Ο πολλαπλασιασμός μητρών είναι προσεταιριστικός και επιμεριστικός ως προς την πρόσθεση, όταν οι αντίστοιχες πράξεις ορίζονται, αλλά δεν είναι αντιμεταθετικός.

Μελέτη[]

Ενδιαφέρον παρουσιάζει η ανάλυση των 5 σχημάτων που εκτίθενται παραπλεύρως.

1ο Σχήμα:

Δύο μήτρες $A \in \R^{5 \times 3}$ και $B \in \R^{3 \times 4}$ πολλαπλασιάζονται.
O πολλαπλασιασμός τους είναι δυνατός οπότε
Tο γινόμενο που προκύπτει είναι μία νέα Μήτρα $C \in \R^{5 \times 4}$

A \cdot B = C

2ο Σχήμα:

Ένα διάνυσμα-σειρά $u \in \R^{1 \times 4}$ πολλαπλασιάζεται με ένα διάνυσμα-στήλη $v \in \R^{4 \times 1}$ πολλαπλασιάζονται.

Το γινόμενο που προκύπτει είναι ένα βαθμωτό $a \in \R$ (δηλ. ένας Πραγματικός Αριθμός)

\langle u, v \rangle = u^T \cdot v = a

3ο Σχήμα:

Ένα διάνυσμα-στήλη $u \in \R^{5 \times 1}$ πολλαπλασιάζεται με ένα διάνυσμα-σειρά $v \in \R^{1 \times 4}$ πολλαπλασιάζονται
Το γινόμενο που προκύπτει είναι μία Μήτρα $C \in \R^{5 \times 4}$

x \otimes y = x \cdot y^T = C

4ο Σχήμα:

Μία (5x3) μήτρα $A \in \R^{5 \times 3}$ πολλαπλασιάζεται με ένα (3x1) διάνυσμα-στήλη $u \in \R^{3 \times 1}$ .
Το γινόμενο που προκύπτει είναι ένα νέο (5x1) διάνυσμα-στήλη $v \in \R^{5 \times 1}$

u \otimes v = x \cdot y^T = C

5ο Σχήμα:

Ένα (1x4) διάνυσμα-σειρά $u \in \R^{1 \times 3}$ πολλαπλασιάζεται με μια (4x3) μήτρα $A \in \R^{4 \times 3}$
Το γινόμενο που προκύπτει είναι ένα νέο διάνυσμα-σειρά $v \in \R^{1 \times 4}$

u \otimes v = x \cdot y^T = C

Εξήγηση[]

Σε κάθε μήτρα αντιστοιχεί μια Γραμμική Απεικόνιση.

Ο πολλαπλασιασμός γραμμικών απεικονίσεων επιτυγχάνεται διαμέσου της Επιμεριστικής Ιδιότητας και το αποτέλεσμα που προκύπτει είναι επίσης μια γραμμική απεικόνιση όπου και σε αυτή αντιστοιχεί μία μήτρα.

Επομένως, ο πολλαπλασιασμός μητρών ακολουθεί τον πολλαπλασιασμό των γραμμικών απεικονίσεων.

Η πρόσθεση πινάκων είναι απλή γιατί η πρόσθεση γραμμικών απεικονίσεων είναι απλή, αφού προσθέτεις τα αντίστοιχα στοιχεία και δεν ανακατεύεις τα πράγματα με την επιμεριστική ιδιότητα.

Υποσημειώσεις[]

Εσωτερική Αρθρογραφία[]

Βιβλιογραφία[]

Ιστογραφία[]

Κίνδυνοι Χρήσης

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες
σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια
ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι
η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη,
την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει.

"Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα
να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο,
η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης"
του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει."

Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι
όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς,
και για μακρά χρονική περίοδο,
αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία,
ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε.

Επίσης,
Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)"
(όχι μόνον, της Sciencepedia
αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)),
αν και άκρως απαραίτητοι,
είναι αδύνατον να ελεγχθούν
(λόγω της ρευστής φύσης του Web),
και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν
σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο.
Ο αναγνώστης πρέπει να είναι
εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)