65.081 Pages

Μηχανή Atwood

- Μία Απλή Μηχανή.

## Ετυμολογία

Η ονομασία "Μηχανή Atwood" σχετίζεται ετυμολογικά με την λέξη " ".

## Εισαγωγή

The Atwood machine (or Atwood's machine) was invented in 1784 by the English mathematician George Atwood as a laboratory experiment to verify the mechanical laws of motion with constant acceleration.

Atwood's machine is a common classroom demonstration used to illustrate principles of classical mechanics.

The ideal Atwood Machine consists of two objects of mass m1 and m2, connected by an inextensible massless string over an ideal massless pulley.[1]

When m1 = m2, the machine is in neutral equilibrium regardless of the position of the weights.

When m1 ≠ m2 both masses experience uniform acceleration.

## Equation for constant acceleration

We are able to derive an equation for the acceleration by using force analysis.

If we consider a massless, inextensible string and an ideal massless pulley, the only forces we have to consider are: tension force (T), and the weight of the two masses (W1 and W2).

To find an acceleration we need to consider the forces affecting each individual mass.

Using Newton's second law (with a sign convention of ) we can derive a system of equations for the acceleration (a).

As a sign convention, we assume that a is positive when downward for and upward for . Weight of and is simply and respectively.

Forces affecting m1:

Forces affecting m2:

and adding the two previous equations we obtain

,

and our concluding formula for acceleration

Conversely, the acceleration due to gravity, g, can be found by timing the movement of the weights, and calculating a value for the uniform acceleration a: .

The Atwood machine is sometimes used to illustrate the Lagrangian method of deriving equations of motion.[2]

## Η Εξίσωση της Τάσης του Νήματος (tension)

It can be useful to know an equation for the tension in the string.

To evaluate tension, substitute the equation for acceleration in either of the 2 force equations.

For example, substituting into , results in

ή

Παρατηρούμε ότι ο όρος με τις μάζες είναι η λεγόμενη Ανηγμένη Μάζα (ή αλλιώς η Αρμονική Μέση Τιμή της)

## Equations for a pulley with inertia and friction

For very small mass differences between m1 and m2, the rotational inertia I of the pulley of radius r cannot be neglected. The angular acceleration of the pulley is given by the no-slip condition:

where is the angular acceleration. The net torque is then:

Combining with Newton's second law for the hanging masses, and solving for T1, T2, and a, we get:

Acceleration:

Tension in string segment nearest m1:

Tension in string segment nearest m2:

Should bearing friction be negligible (but not the inertia of the pulley and not the traction of the string on the pulley rim), these equations simplify as the following results:

Acceleration:

Tension in string segment nearest m1:

Tension in string segment nearest m2:

### Practical implementations

Atwood's original illustrations show the main pulley's axle resting on the rims of another four wheels, to minimize friction forces from the. Many historical implementations of the machine follow this design.

An elevator with a counterbalance approximates an ideal Atwood machine and thereby relieves the driving motor from the load of holding the elevator cab — it has to overcome only weight difference and inertia of the two masses. The same principle is used for funicular railways with two connected railway cars on inclined tracks, and for the elevators on the Eiffel Tower which counterbalance each other.

## Υποσημειώσεις

1. Tipler, Paul A. (1991). Physics For Scientists and Engineers (3rd, extended έκδοση). New York: Worth Publishers. σελ. 160. ISBN 0-87901-432-6.  Chapter 6, example 6-13
2. Goldstein, Herbert (1980). Classical Mechanics (2nd έκδοση). New Delhi: Addison-Wesley/Narosa Indian Student Edition. σελ. 26–27. ISBN 81-85015-53-8.  Section 1-6, example 2

## Ιστογραφία

Κίνδυνοι Χρήσης

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες
σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια
ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι
η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη,
την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει.

"Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα
να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο,
η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης"
του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει."

Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι
όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς,
και για μακρά χρονική περίοδο,
αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία,
ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε.

Επίσης,
(όχι μόνον, της Sciencepedia
αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)),
αν και άκρως απαραίτητοι,
είναι αδύνατον να ελεγχθούν
(λόγω της ρευστής φύσης του Web),
και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν
σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο.
Ο αναγνώστης πρέπει να είναι
εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)

Community content is available under CC-BY-SA unless otherwise noted.