Μιγαδικός Αριθμός

Complex Number

Numbers-Complex-blackboard-01-goog — **Μιγαδικός Αριθμός**

Numbers-complex-real-01-goog — **Μιγαδικός Αριθμός**
Φανταστικός Αριθμός

Numbers-Complex-properties-01-goog — **Μιγαδικός Αριθμός**

Complex-plane-00-goog — Μιγαδικό Επίπεδο

Complex-Plane-000-goog — Μιγαδικό Επίπεδο

Complex-plane-05a-goog — Μιγαδικό Επίπεδο

Complex-plane-number-01-goog — Μιγαδικό Επίπεδο
**Μιγαδικός Αριθμός**

Imaginary-world-01-goog — **Μιγαδικός Αριθμός**
Φανταστικός Αριθμός

Complex-number-01-goog — **Μιγαδικός Αριθμός**
Μιγαδικό Επίπεδο

Imaginary-Plane-01-goog — **Μιγαδικός Αριθμός**
Μιγαδικό Επίπεδο

Complex-Plane-02-goog — **Μιγαδικός Αριθμός**
Μιγαδικό Επίπεδο

Complex-plane-01-goog — **Μιγαδικός Αριθμός**
Μιγαδικό Επίπεδο

Complex-plane-05-goog — **Μιγαδικός Αριθμός**
Μιγαδικό Επίπεδο
Ταυτότητα Euler

Complex-Plane-03-goog — **Μιγαδικός Αριθμός**
Μιγαδικό Επίπεδο

Complex-plane-04-goog — **Μιγαδικός Αριθμός**
Μιγαδικό Επίπεδο

Numbers-Complex-01-goog — **Μιγαδικός Αριθμός**

Spacetime-8D-complex-01-goog — Μιγαδικός Χώρος

Numbers-03-goog — Διακριτά Μαθηματικά Αριθμητική
Αριθμοθεωρία
Αριθμός
Μαθηματική Πράξη
Τελεστής

Numbers-Complex-operations-01-goog — **Μιγαδικός Αριθμός**
Μαθηματική Πράξη

Numbers-Complex-operations-02-goog — **Μιγαδικός Αριθμός**
Μαθηματική Πράξη

Numbers-Complex-operations-03-goog — **Μιγαδικός Αριθμός**
Μαθηματική Πράξη

Numbers-Complex-operations-04-goog — **Μιγαδικός Αριθμός**
Μαθηματική Πράξη

Complex-Sinusoid-01-goog — Μιγαδικό Σωληνοειδές

Complex-Sinusoid-02-goog — Μιγαδικό Σωληνοειδές

Complex-Sinusoid-03-goog — Μιγαδικό Σωληνοειδές

Rerpresentation-Matrix-Complex-Numbers-01-goog — Μητραϊκή Αναπαράσταση Μιγαδικού Αριθμού

Rerpresentation-Matrix-Complex-Numbers-03-goog — Μητραϊκή Αναπαράσταση Μιγαδικού Αριθμού

- Ένα είδος αριθμών.

Ετυμολογία[]

Αριθμοί

Α. Αριθμοσύνολα
Φυσικός Αριθμός Number Ακέραιος Αριθμός Number Ρητός Αριθμός Number Άρρητος Αριθμός Number Υπερβατικός Αριθμός Number Πραγματικός Αριθμός Number Φανταστικός Αριθμός Number Μιγαδικός Αριθμός Number Άρτιος Αριθμός Number Περιττός Αριθμός Number Θετικός Αριθμός Number Αρνητικός Αριθμός Number --- Αλγεβρικός Αριθμός Number Πρώτος Αριθμός Number
Β. Ειδικοί Αριθμοί
Μηδενικός Αριθμός Number Μοναδιαίος Αριθμός Number Αριθμός i Number Αριθμός π Number Αριθμός e Number
Γ. Άλλοι Αριθμοί
Αντίστροφος Αριθμός Number Αντίθετος Αριθμός Number Ασύμμετρος Αριθμός Number Περιοδικός Αριθμός Number Απεριοδικός Αριθμός Number Δεκαδικός Αριθμός Number Κλασματικός Αριθμός Number Σιμμιγής Αριθμός Number Κβαντικός Αριθμός Number Μαγικός Αριθμός Number Χρυσός Αριθμός Number Αποκαλυπτικός Αριθμός Number
Δ. Ψηφία
Ένα Number Δύο Number Τρία Number Τέσσερα Number Πέντε Number Έξι Number Επτά Number Οκτώ Number Εννέα Number Δέκα Number Εκατό Number Χίλια Number Εκατομμύριο Number

Η ονομασία "μιγαδικός" σχετίζεται ετυμολογικά με την λέξη "μιγάς".

Εισαγωγή[]

Στα μαθηματικά, οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μία επέκταση του συνόλου των πραγματικών αριθμών με την προσθήκη του στοιχείου i, που λέγεται Φανταστική Μονάδα, και έχει την ιδιότητα:

i^2=-1.\,

Κάθε μιγαδικός αριθμός μπορεί να γραφτεί με τη μορφή α + βi, όπου τα α και β είναι πραγματικοί αριθμοί και λέγονται πραγματικό μέρος και φανταστικό μέρος του του μιγαδικού αριθμού, αντίστοιχα.

Για παράδειγμα, ο 3 + 2i είναι ένας μιγαδικός, με πραγματικό μέρος 3 και φανταστικό μέρος 2.

Για τους μιγαδικούς αριθμούς ορίζονται οι πράξεις της πρόσθεσης, του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης, όπως και στους πραγματικούς αριθμούς. Στην ορολογία των μαθηματικών, αυτό σημαίνει ότι το σύνολο των μιγαδικών είναι σώμα.

Η βασική διαφορά των μιγαδικών αριθμούς με τους πραγματικούς είναι η ύπαρξη του στοιχείου i και των πολλαπλασίων του, που όταν υψωθούν στο τετράγωνο δίνουν αρνητικούς πραγματικούς αριθμούς.

Επιπλέον, στους μιγαδικούς δεν ορίζεται η διάταξη, δηλαδή δεν έχει έννοια να συγκρίνουμε δύο μιγαδικούς ώστε να πούμε ότι ένας μιγαδικός αριθμός είναι μεγαλύτερος ή μικρότερος από κάποιον άλλον μιγαδικό αριθμό.

Οι μιγαδικοί αριθμοί έχουν, μεταξύ άλλων, σημαντικές εφαρμογές στη λύση διαφορικών εξισώσεων αλλά και στη μελέτη διάφορων φυσικών προβλημάτων

Ορισμοί[]

Συμβολισμοί και πράξεις[]

Το σύνολο των μιγαδικών αριθμών συμβολίζεται συνήθως ως C, ή $\mathbb{C}$ και ορίζεται ως εξής:

\mathbb{C}=\{a+bi:a,b\in\mathbb{R}\}

Το σύνολο των μιγαδικών περιέχει επιπλέον όλους τους πραγματικούς αριθμούς, καθώς κάθε πραγματικός αριθμός μπορεί να γραφτεί ως ένας μιγαδικός με μηδενικό φανταστικό μέρος: α = α + 0i.

Αν το φανταστικό μέρος ενός μιγαδικού είναι ίσο με το μηδέν, τότε αυτός ο μιγαδικός ταυτίζεται με τον πραγματικό αριθμό α.

Το πραγματικό μέρος ενός μιγαδικού z= a + bi συμβολίζεται με Re(z) ενώ το φανταστικό μέρος με Im(z), δηλαδή ισχύει:

Re(z)=a
Im(z)=b

Δύο μιγαδικοί αριθμοί, z₁=x₁+iy₁ και z₂=x₂+iy₂, είναι ίσοι μεταξύ τους "αν και μόνον αν" τα πραγματικά τους μέρη και τα φανταστικά τους μέρη είναι μεταξύ τους ίσα. Δηλαδή, αν x₁=x₂ και y₁=y₂.

Πράξεις μεταξύ μιγαδικών αριθμών, γίνονται με βάση τους γνωστούς κανόνες αντιμετάθεσης, προσεταιρισμού και επιμερισμού, της άλγεβρας:

(a + bi) + (c + di) = (a+c) + (b+d)i
(a + bi) − (c + di) = (a−c) + (b−d)i
(a + bi)(c + di) = ac + bci + adi + bd i ² = (ac−bd) + (bc+ad)i

Μιγαδικό Επίπεδο[]

Κάθε μιγαδικός αριθμός z = a + bi μπορεί να αντιστοιχισθεί σε ένα σημείο Μ(a,b) ενός διδιάστατου Καρτεσιανού Συστήματος Συντεταγμένων. Κάθε τέτοιο σημείο Μ λέγεται εικόνα του αντίστοιχου μιγαδικού αριθμού z και συμβολίζεται με M(z) ή M(a,b). Σε αυτή την περίπτωση, το Καρτεσιανό Σύστημα Συντεταγμένων λέγεται μιγαδικό επίπεδο (ή διάγραμμα Argand).

Λόγω της παραπάνω αντιστοίχισης μιγαδικού με σημείο, κάθε μιγαδικός αριθμός z μπορεί να αναπαρασταθεί στο μιγαδικό επίπεδο με το διάνυσμα $\overrightarrow{OM}$ , που έχει αρχή το κέντρο Ο των αξόνων και τέλος το σημείο Μ(a,b).

Το μέτρο του μιγαδικού αριθμού ορίζεται ως το μέτρο του διανύσματος $\overrightarrow{OM}$ ή, ισοδύναμα, ως η απόσταση του Μ από το κέντρο Ο του μιγαδικού επιπέδου:

|z|=\sqrt{x^2+y^2}\geq 0

Συζυγής μιγαδικός[]

Ο συζυγής ενός μιγαδικού αριθμού z = a + ib ορίζεται ως a - ib, και συμβολίζεται $\bar{z}$ ή $z^*\,$ .

Γεωμετρικά, ο $\bar{z}$ αποτελεί τον κατοπτρισμό του z ως προς τον άξονα των πραγματικών. Για ένα μιγαδικό αριθμό z, τον συζυγή και το μέτρο του ισχύουν οι ακόλουθες σχέσεις:

$|z|^2 = z\bar{z}$

$|z|=|\bar{z}|=|-z|=|\bar{-z}|$

$\overline{z+w} = \bar{z} + \bar{w}$

$\overline{zw} = \bar{z}\bar{w}$

$\overline{(z/w)} = \bar{z}/\bar{w}$

$\bar{z}=z$ αν και μόνο αν ο z είναι πραγματικός

$\bar{z}=-z$ αν και μόνο αν ο z είναι φανταστικός

$\bar{\bar{z}}=z$

$z^{-1} = \bar{z}|z|^{-2}$ για z μη μηδενικό.

Τριγωνομετρική μορφή[]

Εκτός από τις καρτεσιανές συντεταγμένες του, ένας μιγαδικός μπορεί να εκφρασθεί και σε πολική ή τριγωνομετρική μορφή. Οι πολικές συντεταγμένες ενός μιγαδικού z είναι το ζεύγος (r,φ),

όπου

r = |z|, είναι το μέτρο του μιγαδικού και
φ = arg(z), το πρωτεύον όρισμα του z.

Όρισμα ενός μιγαδικού z είναι κάθε μία από τις γωνίες που σχηματίζει ο θετικός οριζόντιος ημιάξονας R με το αντίστοιχο διάνυσμα του z.

Πρωτεύον όρισμα είναι η γωνία εκείνη που βρίσκεται στο διάστημα [0, 2π], και συμβολίζεται με Arg(z).

Οπότε κάθε άλλο όρισμα του z, διαφέρει κατά 2kπ από το Arg(z), όπου k Ακέραιος Αριθμός.

Ισχύει ότι:

z = x + iy = r (\cos \phi + i\sin \phi )  \,

όπου:

r=|z|=\sqrt{x^2+y^2}\geq 0

και το όρισμα $\phi$ προσδιορίζεται με προσθετέο 2kπ, δηλαδή ορίσματα που διαφέρουν κατά ένα ακέραιο πολλαπλάσιο του 2π είναι ισοδύναμα.

Εκθετική μορφή[]

Χρησιμοποιώντας τoν Τύπο Euler, η τριγωνομετρική μορφή μετατρέπεται σε

z = r\,\mathrm{e}^{i \varphi}\,

που λέγεται εκθετική μορφή.

Με βάση την εκθετική μορφή των μιγαδικών αριθμών, μπορούν να οριστoύν ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεσή τους ως εξής:

{\displaystyle r_1 e^{i\phi_1} \cdot r_2 e^{i\phi_2} = r_1 r_2 e^{i(\phi_1 + \phi_2)} \,}

και

{\displaystyle \frac{r_1 e^{i\phi_1}} {r_2 e^{i\phi_2}} = \frac{r_1}{r_2} e^{i (\phi_1 - \phi_2)}. \,}

Κατά αυτό τον τρόπο:

η πρόσθεση μιγαδικών ταυτίζεται με πρόσθεση διανυσμάτων ενώ
ο πολλαπλασιασμός μπορεί να θεωρηθεί ως μία στροφή (και ομοιοθεσία, δηλ. επιμήκυνση ή σμίκρυνση) διανύσματος.

Ο πολλαπλασιασμός με τον φανταστικό αριθμό i αντιστοιχεί σε μία στροφή 90 μοιρών (με φορά αντίθετη των δεικτών του ωρολογίου).

Η γεωμετρική επομένως σημασία της εξίσωσης i² = −1, που ορίζει τον φανταστικό αριθμό, είναι ότι δύο διαδοχικές στροφές 90 μοιρών ταυτίζονται με μία στροφή 180 μοιρών.

Μητραϊκή Αναπαράσταση Μιγαδικού Αριθμού[]

Πολλαπλασιάζουμε τον Μιγαδικό Αριθμό

{\color {red}{a}} + {\color {blue}{ib}}

με την μήτρα-στήλη

{\displaystyle \begin{bmatrix} \color {blue}{i} \\ \color {red}{1} \\ \end{bmatrix}}

οπότε έχουμε:

{\displaystyle ({\color {red}{a}} + {\color {blue}{ib}}) \cdot \begin{bmatrix} \color {blue}{i} \\ \color {red}{1} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \color {red}{a} - \color {red}{b} \\ \color {red}{a} + \color {blue}{ib} \\ \end{bmatrix}}

Όμως, ισχύει η ισότητα:

{\displaystyle \begin{bmatrix} \color {red}{a} - \color {red}{b} \\ \color {red}{a} + \color {blue}{ib} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \color {red}{a} & -\color {red}{b} \\ \color {red}{b} & \color {red}{a} \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \color {blue}{i} \\ \color {red}{1} \\ \end{bmatrix} }

Οπότε έχουμε:

{\displaystyle \begin{bmatrix} \color {red}{a} & -\color {red}{b} \\ \color {red}{b} & \color {red}{a} \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \color {blue}{i} \\ \color {red}{1} \\ \end{bmatrix} = ({\color {red}{a}} + {\color {blue}{ib}}) \cdot \begin{bmatrix} \color {blue}{i} \\ \color {red}{1} \\ \end{bmatrix} }

Ιστορία[]

Οι μιγαδικοί αριθμοί ανακαλύφθηκαν από τον Ιταλό μαθηματικό Τζερόλαμο Καρντάνο, ο οποίος τους αποκαλούσε φανταστικούς, στην προσπάθεια του να βρει αναλυτικές λύσεις σε κυβικές εξισώσεις.

Η διαδικασία επίλυσης τέτοιων εξισώσεων απαιτεί ενδιάμεσους υπολογισμούς, οι οποίοι μπορεί να περιλαμβάνουν τετραγωνικές ρίζες αρνητικών αριθμών, ακόμη και όταν η ρίζα είναι πραγματικός αριθμός.

Το γεγονός αυτό οδήγησε τελικά στο θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας, που δείχνει ότι στους μιγαδικούς αριθμούς είναι πάντοτε δυνατόν να βρεθούν λύσεις σε πολυωνυμικές εξισώσεις.

Υποσημειώσεις[]

Εσωτερική Αρθρογραφία[]

Βιβλιογραφία[]

Ιστογραφία[]

Κίνδυνοι Χρήσης

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες
σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια
ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι
η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη,
την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει.

"Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα
να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο,
η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης"
του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει."

Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι
όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς,
και για μακρά χρονική περίοδο,
αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία,
ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε.

Επίσης,
Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)"
(όχι μόνον, της Sciencepedia
αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)),
αν και άκρως απαραίτητοι,
είναι αδύνατον να ελεγχθούν
(λόγω της ρευστής φύσης του Web),
και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν
σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο.
Ο αναγνώστης πρέπει να είναι
εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)