Νόμοι De Morgan

Νόμοι De Morgan

Theorems, De Morgan Laws

Νόμοι De Morgan

Νόμοι De Morgan

Μαθηματικά

---

Μαθηματικό Θεώρημα
Μαθηματικά Θεωρήματα
Μαθηματική Εικασία
Μαθηματικές Εικασίες
Εξίσωση
Εξισώσεις
Μαθηματικό Αξίωμα
Μαθηματικά Αξιώματα

---

Νόμοι Φυσικής

---

Αριθμός
Αριθμοί
Μαθηματικός Χώρος
Μαθηματικοί Χώροι

- Ένα Θεώρημα των Μαθηματικών.

Ετυμολογία

Πρότυπο:Theorems

Η ονομασία "Θεώρημα" σχετίζεται ετυμολογικά με το όνομα του μαθηματικού "[[]]".

Περιγραφή

In propositional logic and boolean algebra, De Morgan's laws are a pair of transformation rules that are both valid rules of inference. They are named after Augustus De Morgan, a 19th-century British mathematician. The rules allow the expression of conjunctions and disjunctions purely in terms of each other via negation.

The rules can be expressed in English as:

the negation of a disjunction is the conjunction of the negations; and

the negation of a conjunction is the disjunction of the negations;

or

the complement of the union of two sets is the same as the intersection of their complements; and

the complement of the intersection of two sets is the same as the union of their complements.

or

not (A or B) = not A and not B; and

not (A and B) = not A or not B

In set theory and Boolean algebra, these are written formally as

${\begin{aligned}{\overline {A\cup B}}&={\overline {A}}\cap {\overline {B}},\\{\overline {A\cap B}}&={\overline {A}}\cup {\overline {B}},\end{aligned}}$

where

• A and B are sets,
• Πρότυπο:Overline is the complement of A,
• ∩ is the intersection, and
• ∪ is the union.

In formal language, the rules are written as

$\neg(P\or Q)\iff(\neg P)\and(\neg Q),$

and

$\neg(P\and Q)\iff(\neg P)\or(\neg Q)$

where

• P and Q are propositions,
• $\neg$ is the negation logic operator (NOT),
• $\and$ is the conjunction logic operator (AND),
• $\lor$ is the disjunction logic operator (OR),
• $\iff$ is a metalogical symbol meaning "can be replaced in a logical proof with".

Applications of the rules include simplification of logical expressions in computer programs and digital circuit designs. De Morgan's laws are an example of a more general concept of mathematical duality.

Formal notation

The negation of conjunction rule may be written in sequent notation:

$\neg (P\land Q)\vdash (\neg P\lor \neg Q).$

The negation of disjunction rule may be written as:

$\neg (P\lor Q)\vdash (\neg P\land \neg Q).$

In rule form: negation of conjunction

${\frac {\neg (P\land Q)}{\therefore \neg P\lor \neg Q}}$

and negation of disjunction

${\frac {\neg (P\lor Q)}{\therefore \neg P\land \neg Q}}$

and expressed as a truth-functional tautology or theorem of propositional logic:

${\begin{aligned}\neg (P\land Q)&\to (\neg P\lor \neg Q),\\\neg (P\lor Q)&\to (\neg P\land \neg Q),\end{aligned}}$

where $P$ and $Q$ are propositions expressed in some formal system.

Substitution form

De Morgan's laws are normally shown in the compact form above, with negation of the output on the left and negation of the inputs on the right. A clearer form for substitution can be stated as:

${\begin{aligned}(P\land Q)&\equiv \neg (\neg P\lor \neg Q),\\(P\lor Q)&\equiv \neg (\neg P\land \neg Q).\end{aligned}}$

This emphasizes the need to invert both the inputs and the output, as well as change the operator, when doing a substitution.

Set theory and Boolean algebra

In set theory and Boolean algebra, it is often stated as "union and intersection interchange under complementation", which can be formally expressed as:

${\begin{aligned}{\overline {A\cup B}}&={\overline {A}}\cap {\overline {B}},\\{\overline {A\cap B}}&={\overline {A}}\cup {\overline {B}},\end{aligned}}$

where:

• Πρότυπο:Overline is the negation of A, the overline being written above the terms to be negated,
• ∩ is the intersection operator (AND),
• ∪ is the union operator (OR).

The generalized form is:

${\begin{aligned}{\overline {\bigcap _{i\in I}A_{i}}}&\equiv \bigcup _{i\in I}{\overline {A_{i}}},\\{\overline {\bigcup _{i\in I}A_{i}}}&\equiv \bigcap _{i\in I}{\overline {A_{i}}},\end{aligned}}$

where I is some, possibly uncountable, indexing set.

In set notation, De Morgan's laws can be remembered using the mnemonic "break the line, change the sign".

Εσωτερική Αρθρογραφία

• Μαθηματικά
• Άλγεβρα
• Γεωμετρία
• Μαθηματική Ανάλυση
• Τοπολογία
• Μαθηματική Αρχή
• Μαθηματικό Θεώρημα
• Μαθηματικά Θεωρήματα
• Μαθηματικό Αξίωμα
• Μαθηματικός Χώρος

Ιστογραφία

• Ομώνυμο άρθρο στην Βικιπαίδεια
• Ομώνυμο άρθρο στην Livepedia
• [ ]
• [ ]

Κίνδυνοι Χρήσης

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη, την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει. "Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο, η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης" του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει." Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς, και για μακρά χρονική περίοδο, αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία, ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε. Επίσης, Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)" (όχι μόνον, της Sciencepedia αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)), αν και άκρως απαραίτητοι, είναι αδύνατον να ελεγχθούν (λόγω της ρευστής φύσης του Web), και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο. Ο αναγνώστης πρέπει να είναι εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

---

>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)

---