Ομαδοθεωρία

Θεωρία Ομάδων

Group Theory

Αλγεβρική Ομάδα
Ομαδοθεωρία

Ομαδοθεωρία.

Αλγεβρικές Ομάδες

---

Γενική Γραμμική Ομάδα (GL(n))

---

Πραγματική Γενική Γραμμική Ομάδα (GL(n,R))
Μιγαδική Γενική Γραμμική Ομάδα (GL(n,C))

---

Πραγματική Ειδική Γραμμική Ομάδα (SL(n,R))
Πραγματική Ορθογώνια Ομάδα (O(n,R))
Πραγματική Ειδική Ορθογώνια Ομάδα (SO(n,R))

---

Μιγαδική Ειδική Γραμμική Ομάδα (GL(n,C))
Μιγαδική Μοναδιστική Ομάδα (U(n,C))
Μιγαδική Ειδική Μοναδιστική Ομάδα (SU(n,C))

"Θεαματική" Απεικόνιση της Ομάδας E8

Αλγεβρική Ομάδα
Ομαδοθεωρία

Ομαδοθεωρία
Αλγεβρική Ομάδα
Ομομορφισμός
Ισομορφισμός

- Ένας κλάδος της Άλγεβρας.

Εισαγωγή

Η έννοια του αλγεβρικού δομήματος της ομάδας εμφανίστηκε στα Μαθηματικά στις αρχές του 19ου αιώνα.

Η ανάπτυξη της αντίστοιχης θεωρίας οφείλεται στην συμβολή των μαθηματικών Gauss, Cauchy, Abel, Hamilton, Galois, Sylvester, Caley και άλλων.

Όμως, η θεωρία αυτή δεν βρήκε εφαρμογή στη Φυσική παρά μόνο ύστερα από την θεμελίωση της Κβαντικής Φυσικής το 1925.

Ανάλυση

Στα μαθηματικά, θεωρία ομάδων είναι το πεδίο που μελετά τις αλγεβρικές δομές γνωστές ως ομάδες.

Οι ομάδες εισήχθησαν πρώτα στα μαθηματικά τον 19ο αιώνα στην προσπάθεια για γενικές λύσεις πολυωνυμικών εξισώσεων. Ο τυπικός αφαιρετικός ορισμός που χρησιμοποιείται σήμερα δεν εισήχθηκε παρά μόνο τον 20ο αιώνα.

Οι ομάδες έχουν γίνει κεντρικό αντικείμενο στη μελέτη της Αφηρημένης Άλγεβρας, και αποτελούν βασικά συστατικά περιπολοκότερων αλγεβρικών δομών όπως ο δακτύλιος, το πεδίο ή ο Διανυσματικός Χώρος, και συναντώνται συχνά παντού στα Μαθηματικά.

Η θεωρία ομάδων έχει πολλές εφαρμογές στη Φυσική και τη Χημεία, και μπορεί να εφαρμοστεί σε οποιαδήποτε κατάσταση που χαρακτηρίζεται από συμμετρία.

Η "ταξινόμηση πεπερασμένων απλών ομάδων" είναι ένα από τα μεγάλα μαθηματικά κατορθώματα του 20ου αιώνα.

Ορισμός ομάδας

Στα μαθηματικά, η ομάδα $(G, *)$ ορίζεται ως εξής:

Είναι ένα σύνολο $G$ εφοδιασμένο με μία δυαδική Πράξη

$*\colon G\times G\rightarrow G\;\;and\;\;(a,b)\mapsto a*b$

ονομάζεται ομάδα, όταν ισχύουν οι εξής ιδιότητες:

• Κλειστότητα (cloasure):
• Προσεταιριστικότητα: Για κάθε στοιχείο της ομάδας $a$, $b$ και $c$ ισχύει: $(a*b)*c = a*(b*c)$
• ουδέτερο στοιχείο: Υπάρχει ουδέτερο στοιχείο $e\in G$, για το οποίο για κάθε στοιχείο $a$ της ομάδας ισχύει: $a*e=e*a=a$.
• Αντίστροφο στοιχείο: Για κάθε στοιχείο $a$ της ομάδας υπάρχει ένα στοιχείο $a^{-1}\in G$ έτσι ώστε να ισχύει $a*a^{-1}=a^{-1}*a=e$.

Θεματολογία

• Στοιχεία αφηρημένων ομάδων πεπερασμένης τάξης.
• Ομάδες μετασχηματισμών συμμετρίας.
• Συζυγείς κλάσεις.
• Συμμετρική Ομάδα.
• Αναπαραστάσεις.
• Μη αναγωγίσιμες αναπαραστάσεις.
• Χαρακτήρες.
• Λήμμα Schur.
• Αναγωγή αναπαραστάσεων.
• Θεώρημα Wigner.
• Συνεχείς ομάδες και αναπαραστάσεις τους.
• Ομάδα Lie
• Άλγεβρα Lie.
• Ορθογώνια Ομάδα
• Ορθογώνια Ομάδα Ο(n),
• Ορθογώνια Ομάδα O(1),
• Ορθογώνια Ομάδα O(2),
• Ορθογώνια Ομάδα O(3),
• Μοναδιακή Ομάδα,
• Ειδική Μοναδιακή Ομάδα
• Ειδική Μοναδιακή Ομάδα SU(n),
• Μοναδιακή Ομάδα U(1),
• Ειδική Μοναδιακή Ομάδα SU(2),
• Ειδική Μοναδιακή Ομάδα SU(3),
• Ειδική Μοναδιακή Ομάδα SU(2),
• Γενική Μοναδιακή Ομάδα
• Γενική Μοναδιακή Ομάδα GU(n),
• Ομάδα Sp(n).
• Τελεστής Casimir.
• Συμμετρία Τετραέδρου
• Αξιώματα Ομάδας
• Διεδρική Ομάδα
• Υποομάδα
• Γεννήτορας
• Μετάταξη
• Ισομορφισμός
• Πλατωνικό Στερεό
• Θεώρημα Cayley
• Ομάδα Μητρών
• Θεώρημα Lagrange
• Διαμέριση
• Θεώρημα Cauchy
• Μαθηματική Συζυγία
• Ομάδα Πηλίκων
• Ομομορφισμός
• Δράση Τροχιάς
• Σταθεροποιητής
• Καταμέτρηση Τροχιάς -
• Πεπερασμένη Ομάδα Περιστροφών
• Θεώρημα Sylow (Ταξινόμηση ομάδων τάξης 15)
• Πεπερασμένως Παραγόμενη Αβελιανή Ομάδα
• Αυτομορφισμός
• Ευκλείδεια Ομάδα
• Ελεύθερη Ομάδα
• Αλγεβρικό Δένδρο
• Θεώρημα Nielsen-Schreier.

Εσωτερική Αρθρογραφία

• Μαθηματική Ομάδα
• Αφηρημένη Άλγεβρα
• Μόδιο (modul)

Ιστογραφία

• Ομώνυμο άρθρο στην Βικιπαίδεια
• Ομώνυμο άρθρο στην Livepedia
• semfe.gr
• Group Theory for Physicists
• wiki site
• d.vvedensky, "group theory"
• Θεωρία Ομάδων, Κεχαγιάς
• semfe.gr
• Group Theory, Tremblay
• Visual Group Theory, Macauley

Κίνδυνοι Χρήσης

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη, την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει. "Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο, η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης" του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει." Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς, και για μακρά χρονική περίοδο, αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία, ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε. Επίσης, Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)" (όχι μόνον, της Sciencepedia αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)), αν και άκρως απαραίτητοι, είναι αδύνατον να ελεγχθούν (λόγω της ρευστής φύσης του Web), και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο. Ο αναγνώστης πρέπει να είναι εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

---

>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)

---