Ομογενής Διαφορική Εξίσωση

Διαφορική Εξίσωσις

Homogeneous Differential Equation

Ομογενής Διαφορική Εξίσωση

---

Λύση με χρήση ansatz

Ομογενής Διαφορική Εξίσωση

Μαθηματικά
Άλγεβρα
Μαθηματική Ανάλυση

---

Μαθηματική Εξίσωση
Εξισώσεις
Μαθηματικές Εξισώσεις
Αλγεβρική Εξίσωση
Αλγεβρικές Εξισώσεις
Διαφορική Εξίσωση
Διαφορικές Εξισώσεις

---

Φυσική Φυσικός Νόμος

- Είδος Διαφορικής Εξίσωσης

Ετυμολογία

Η ονομασία "ομογενής" σχετίζεται ετυμολογικά με την λέξη "ομογένεια".

Ορισμός

Μία  διαφορική εξίσωση ονομάζεται  ομογενής σε κάθε μία από τις παρακάτω δύο περιπτώσεις:

1) εάν η εξίσωση είναι πρώτης τάξης  και οι συντελεστές των διαφορικών  dx και dy είναι  του ίδιου βαθμού ομογενείς συναρτήσεις των μεταβλητών,

και

2) εάν είναι γραμμικές οποιασδήποτε τάξης, αλλά ο σταθερός όρος είναι μηδενικός.

Ομογενής Διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης

Μία συνηθισμένη διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης της μορφής:

$M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0$

είναι ομογενής, εάν και οι δύο συναρτήσεις M(x, y) και N(x, y) είναι  ομογενείς συναρτήσεις του ίδιου βαθμού n. Δηλ. πολλαπλασιάζοντας κάθε μεταβλητή με την παράμετρο λ, να ισχύει:

$M(\lambda x, \lambda y) = \lambda^n M(x,y)\,$    και    $N(\lambda x, \lambda y) = \lambda^n N(x,y)\,.$

Έτσι,

$\frac{M(\lambda x, \lambda y)}{N(\lambda x, \lambda y)} = \frac{M(x,y)}{N(x,y)}\,.$

Μέθοδος επίλυσης

Στο κλάσμα   $\frac{M(tx,ty)}{N(tx,ty)} = \frac{M(x,y)}{N(x,y)}$, μπορούμε να κάνουμε την αντικατάσταση $t = 1/x$ ,  ώστε τα κλάσμα να μετατραπεί σε μία συνάρτηση  $f$ του λόγου $y/x$:

$\frac{M(x,y)}{N(x,y)} = \frac{M(tx,ty)}{N(tx,ty)} = \frac{M(1,y/x)}{N(1,y/x)}=f(y/x)\,.$

Κάνοντας στη συνέχεια την  αλλαγή μεταβλητής  $y=ux$ και παραγωγίζοντας σύμφωνα με τον κανόνα  παραγώγισης γινομένου συναρτήσεων, προκύπτει:

$\frac{d(ux)}{dx} = x\frac{du}{dx} + u\frac{dx}{dx} = x\frac{du}{dx} + u,$

Έτσι η αρχική διαφορική εξίσωση μετασχηματίζεται σε διαφορική εξίσωση  χωριζόμενων μεταβλητών   της μορφής:

$x\frac{du}{dx} = f(u) - u\$.

Αυτή η μορφή μπορεί τώρα να ολοκληρωθεί απ' ευθείας 

Οι εξισώσεις σε αυτήν τη συζήτηση δεν προορίζονται να χρησιμοποιηθούν ως τύποι της λύσης. Απλώς επιδεικνύουν τη μέθοδο λύσης.

Ειδική περίπτωση

Μία διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης της μορφής  (τα $a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2$ είναι όλα σταθερές):

$(a_1x + b_1y + c_1) dx + (a_2x + b_2y + c_2) dy = 0\,$

όπου $a_1b_2 \neq a_2b_1$, μπορεί να μετασχηματιστεί σε ομογενή διαφορική εξίσωση του λόγου ($t/z$) χρησιμοποιώντας τον γραμμικό μετασχηματισμό :

$x =x_0+t ; \,\,\,\, y =z_0+z\,$

($x_0$ και  $y_0$ είναι οι λύσεις του συστήματος $a_1x + b_1y + c_1=0 \qquad a_2x + b_2y + c_2=0\,$)

Δευτεροτάξια Ομογενής Διαφορική Εξίσωση

In the n=2 case

$y'' + a y' + by = 0,$

the characteristic equation is of the form

$k^2 + a k + b = 0. \,$

We then can solve for k.

There are three particular cases of interest:

• Case #1: Two distinct roots, k₁ and k₂
• Case #2: One real repeated root, k
• Case #3: Complex roots, α ± βi

In case #1, the general solution is given by

$y = c_1 e^{k_{1}x} + c_2 e^{k_2x}. \,$

In case #2, the general solution is given by

$y = ( c_1 + c_2 x ) e^{kx}.$

In case #3, the general solution is given, using Euler's equation, by

$y = c_1 e^{\alpha x} \cos(\beta x) + c_2 e^{\alpha x} \sin(\beta x), \,$

$\alpha = \mathop{\rm Re}(k), \,$

$\beta = \mathop{\rm Im}(k). \,$

In each case, the constants $c_1, \, c_2$ are functions of the initial conditions $y(0), \, y'(0).$ They can be found by using the values of the initial conditions in the solution equation for y and in the resulting equation for y' , giving two equations in the two unknown parameters.

Εσωτερική Αρθρογραφία

• Διαφορική Εξίσωση
• Διαφορική Ανάλυση

Ιστογραφία

• Ομώνυμο άρθρο στην Βικιπαίδεια
• Ομώνυμο άρθρο στην Livepedia
• [ ]
• [ ]

Κίνδυνοι Χρήσης

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη, την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει. "Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο, η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης" του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει." Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς, και για μακρά χρονική περίοδο, αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία, ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε. Επίσης, Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)" (όχι μόνον, της Sciencepedia αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)), αν και άκρως απαραίτητοι, είναι αδύνατον να ελεγχθούν (λόγω της ρευστής φύσης του Web), και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο. Ο αναγνώστης πρέπει να είναι εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

---

>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)

---