Πιθανότητα

Πιθανότης

Probability

Πιθανότητα
Τύχη

Μαθηματικά

Πιθανοθεωρία
Πιθανότητα
Μαθηματικά

Πιθανότητα

Μέση Τιμή Πιθανότητα
Πιθανοθεωρία
Μαθηματικά

Πιθανοθεωρία
Στατιστική
Μαθηματικά

Πιθανότητα

---

Διακριτότητα & Συνέχεια

Πιθανοθεωρία
Στατιστική
Μαθηματικά

Πιθανοθεωρία
Πιθανότητα
Απιθανότητα

Πυκνότητα Πιθανότητας

Πιθανότητα
Φρέαρ Δυναμικού
Κβαντικός Αρμονικός Ταλαντωτής
Κλασσικός Αρμονικός Ταλαντωτής

Συμβάν
Ενδεχόμενο
Αποτέλεσμα

Πιθανότητα

---

Κβαντικός Αρμονικός Ταλαντωτής (άνω)

---

Κλασσικός Αρμονικός Ταλαντωτής (κάτω)

Πιθανότητα

Κανόνας Born

Πιθανoτικό Πλάτος

Πιθανότητα
Αρχή Διατήρησης

- Μία μαθηματική έννοια.

Ετυμολογία

Η ονομασία "Πιθανότητα" σχετίζεται ετυμολογικά με τις λέξεις

Σχετική Επιστήμη

Θεωρία Πιθανοτήτων είναι η μαθηματική μελέτη της πιθανότητας.

Περιγραφή

Oι πιθανότητες ανατίθενται σε γεγονότα που μπορεί να συμβούν ή όχι με κάποιο τυχαίο τρόπο. Οι πιθανότητες $P(E)$ ανατίθενται στα γεγονότα $E$. Οι πιθανότητες είναι κανονικοποιημένες και παίρνουν τιμές στο διάστημα από 0 μέχρι 1.

Δυο βασικές έννοιες της θεωρίας πιθανοτήτων είναι η Τυχαία Μεταβλητή και η Συνάρτηση Κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής.

Κλασσική Πιθανότητα

Η εννοία της πιθανότητας ορισθηκε αρχικώς, για να περιγράψει το αποτέλεσμα ενός πειράματος τύχης, όπως π.χ. η ρίψη ενός ζαριού ή νομίσματος.

Βασικοί Ορισμοί

• Απλό ενδεχόμενο ονομάζεται ένα δυνατό αποτέλεσμα ενός πειράματος τύχης και συνήθως συμβολίζεται με $\,\omega$.

• Δειγματοχώρος $\Omega\,$ είναι το σύνολο όλων των απλών ενδεχομένων. Για ένα απλό ενδεχόμενο $\,\omega$ ισχύει $\,\omega\in\Omega$.

• Γεγονός $A\,$ είναι ένα σύνολο δυνατών αποτελεσμάτων. Ένα γεγονός έχει ως στοιχεία απλά ενδεχόμενα και είναι υποσύνολο του $\Omega,\,$ $A \sub\Omega\,$.

To $\Omega\,$ είναι το ίδιο ένα γεγονός και ονομάζεται βέβαιο γεγονός.

Παράδειγμα

Θεώρουμε ως πείραμα τύχης την ρίψη ενός ζαριού. Σε αυτή την περίπτωση έχουμε έξι απλά ενδεχόμενα. 'Εστω $\,\omega_1$ το ενδεχόμενο να φέρουμε 1 και αντιστοίχως τα $\,\omega_i, i=2,\dots,6$. Ο δειγματοχώρος ειναι ο $\,\Omega=\{\omega_1, \omega_2, \omega_3, \omega_4, \omega_5, \omega_6\}$ ή για λόγους απλότητας $\,\Omega=\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Το γεγονός $A\,$ να φέρουμε ζυγό αριθμό είναι (με τον απλοποιημένο συμβολισμό) $\,A=\{2, 4, 6\}$. Το γεγονός $B\,$ να φέρουμε αριθμό μικρότερο ή ίσο του 2 είναι $\,B=\{1, 2\}$.

Ορισμός

Η κλασσική πιθανότητα ορίζεται σε πειράματα τύχης, όπου το πλήθος των απλών ενδεχομένων είναι πεπερασμένο και όλα τα απλά ενδεχόμενα είναι ισοπίθανα.

Σε αυτή την περίπτωση πιθανότητα ενός γεγονότος Α ονομάζεται το πηλίκο του πλήθους των ευνοϊκών αποτελεσμάτων ως προς το πλήθος των δυνατών αποτελεσμάτων.

$P(A)=\frac{\#A}{\#\Omega}$

Παράδειγμα

Συνεχίζοντας το παραπάνω παράδειγμα έχουμε

$P(A)=\frac{\#A}{\#\Omega}=\frac{\#\{2, 4, 6\}}{\#\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}}=\frac36=0,5$

$P(B)=\frac{\#B}{\#\Omega}=\frac{\#\{1,2\}}{\#\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}}=\frac26=0,333$

Μέτρο πιθανότητας

Η αξιωματική θεμελίωση των πιθανοτήτων προήλθε από τον Ρώσο μαθηματικό Andrey Kolmogorov.

Ορισμός

Έστω ένα σύνολο $\Omega$ και μία σ-άλγεβρα του $\mathcal{F}$. Πιθανότητα $P$ ονομάζεται η συνάρτηση $P:\mathcal{F}\to \R$ που ικανοποιεί:

1. $P(A)\geq 0, \;\forall A\in\mathcal{F}$
2. $P(\Omega)=1\,$
3. $P(\cup_{i\in I}A_i) = \sum_{i\in I}P(A_i)\quad \forall \{A_i\}_{i\in I}\sub\mathcal{F}, I\sub\N:A_i\cap A_j = \emptyset \;\forall i\neq j$

Η πιθανότητα είναι ένα μέτρο στον $(\Omega, \mathcal{F})$ με την ιδιότητα $P(\Omega)=1\,$.

Αν στην πιθανότητα $P \,$ αντιστοιχεί μία Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας f, τότε η πιθανότητα του Α υπολογίζεται ως:

$P(A)=\int_Af(x)dx\;$

Ιδιότητες

• $P(\Omega\backslash A) = 1-P(A)$
• $P(\emptyset)=0$
• $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)$.

Δεσμευμένη Πιθανότητα

Πιθανότητα

Πιθανότητα

Η πιθανότητα ότι ένα γεγονός $E$ συμβαίνει με δεδομένο ότι έχει συμβεί ένα γεγονός $F$ είναι η δεσμευμένη πιθανότητα του $E$ με δεδομένο το $F$ η οποία ορίζεται, μόνο αν το $F$ δεν είναι αδύνατο γεγονός $(P(F)> 0)$, ως:

$P(E|F)=\frac{P(E \cap F)}{P(F)}$ .

Αν η δεσμευμένη πιθανότητα του $E$ με δεδομένο το $F$ είναι ίδια με τη ("αδέσμευτη") πιθανότητα του $E$, τότε τα $E$ και $F$ είναι ανεξάρτητα γεγονότα και ισχύει $P(E \cap F)=P(E)\cdot P(F)$.

H δεσμευμένη πιθανότητα $P(\cdot|F)=:Q(\cdot)$ ορίζει ένα μέτρο πιθανότητας στον $(F,\mathcal{F}_F)$, όπου $\mathcal{F}_F=\cup_{A\in\mathcal{F}}(A\cap F)$, αφού ικανοποιεί τα αξιώματα του ορισμού.

Εσωτερική Αρθρογραφία

• Πιθανότητα
• Πιθανοκρατία
• Πιθανοθεωρία
• Τυχαιότητα
• Θεωρία Μαύρου Κύκνου
• Πυκνότητα Πιθανότητας
• Κανονικοποίηση

Ιστογραφία

• Ομώνυμο άρθρο στην Βικιπαίδεια
• Ομώνυμο άρθρο στην Livepedia
• Πιθανοθεωρία και Τυχαιότητα
• Introduction to Quantum Computing, pbit & qubit
• The Classical and Quantum Mechanical Probability Density Function for the Velocity of the Particle of a Harmonic Oscillator
• [probability distributions
• [mathematica.gr/forum
• [Πιθανότητα ίση με μηδέν, δεν αποκλείει την πραγμάτωση

Κίνδυνοι Χρήσης

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη, την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει. "Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο, η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης" του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει." Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς, και για μακρά χρονική περίοδο, αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία, ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε. Επίσης, Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)" (όχι μόνον, της Sciencepedia αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)), αν και άκρως απαραίτητοι, είναι αδύνατον να ελεγχθούν (λόγω της ρευστής φύσης του Web), και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο. Ο αναγνώστης πρέπει να είναι εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

---

>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)

---