Πλατωνικό Πολύεδρο

Πλατωνικόν Πολύεδρον

Polyhedron, Πολύεδρο

Πολύεδρο
Δυικότητα

Πολύγωνο
Πολύπλευρο
Πολύγωνα
Σχήμα
Σχήματα
Γεωμετρία
Μαθηματικά

Πλατωνικό Πολύεδρο

Πολύγωνο Πολύπλευρο

Πολύγωνο Πολύπλευρο

Πολύγωνο Πολύπλευρο

Τρίγωνο

Γεωμετρία Επιπεδομετρία Στερεομετρία Αναλυτική Γεωμετρία

---

Πολύγωνα Κανονικά Πολύγωνα
Τρίγωνο
Τετράγωνο
Πεντάγωνο
Εξάγωνο
Επτάγωνο
Οκτάγωνο
Εννεάγωνο
Δεκάγωνο
Ενδεκάγωνο
Δωδεκάγωνο
Εικασάγωνο

---

Πολύεδρα
Πλατωνικά Πολύεδρα
Τρίεδρο Τετράεδρο Πεντάεδρο Εξάεδρο Επτάεδρο Οκτάεδρο
Εννεάεδρο
Δεκάεδρο
Ενδεκάεδρο
Δωδεκάεδρο
Εικασάεδρο

---

Γεωμετρικό Σχήμα
Γεωμετρικά Σχήματα
Γεωμετρική Έδρα
Γεωμετρική Κορυφή
Γεωμετρική Ακμή
Γωνία
Ευθεία
Ορθογώνιο Παραλληλόγραμμο
Πλάγιο Παραλληλόγραμμο
Ρόμβος

---

Καμπύλη
Καμπύλες
Κύκλος
Κωνική Τομή

Πολύεδρα

Πολύεδρα
Πλατωνικά Πολύεδρα

Πολύεδρα

- Ένα στερεό γεωμετρικό σχήμα.

Ετυμολογία

Η ονομασία "Πολύεδρο" σχετίζεται ετυμολογικά με την λέξη "έδρα".

Περιγραφή

Πλατωνικό στερεό λέγεται ένα κυρτό κανονικό πολύεδρο, του οποίου όλες οι έδρες είναι ίσα κανονικά πολύγωνα και όλες οι πολυεδρικές γωνίες του είναι ίσες.

Επομένως, όλες οι ακμές του είναι ίσα ευθύγραμμα τμήματα, καθώς επίσης και όλες οι επίπεδες γωνίες των εδρών του είναι ίσες.

Υπάρχουν πέντε τέτοια πολύεδρα.

Τα Πλατωνικά στερεά ονομάστηκαν έτσι, επειδή μελετήθηκαν στην Ακαδημία του Πλάτωνα. Στη φιλοσοφία του Πλάτωνα, τα στερεά αυτά συμβόλιζαν τα δομικά στοιχεία του σύμπαντος:

• το τετράεδρο το πυρ,
• ο κύβος το χώμα,
• το εικοσάεδρο το ύδωρ,
• το οκτάεδρο τον αέρα και
• το δωδεκάεδρο τον αιθέρα.

Ο Ευκλείδης ασχολείται με αυτά στο 13ο βιβλίο των Στοιχείων του, όπου αποδεικνύει ότι υπάρχουν ακριβώς πέντε κυρτά κανονικά πολύεδρα και εκφράζεται η ακμή τους ως συνάρτηση της περιγεγραμμένης σφαίρας.

Γεωμετρικά χαρακτηριστικά

Για το πλήθος των κορυφών K, των ακμών A και των εδρών E ισχύει ο Τύπος Euler:

$E + K = A + 2\,$

Αν θεωρήσουμε ότι κάθε έδρα έχει ν κορυφές (ν-γωνο) και ότι μ τέτοιες έδρες ενώνονται για να διαμορφώσουν μια πολυεδρική γωνία, τότε ισχύει:

$E = \frac{4\mu}{2\mu + 2\nu - \mu\nu}$

Πολύεδρο		Κορυφές K	Ακμές A	Έδρες E	Σύμβολο Schläfli {ν, μ}	Διαμόρφωση κορυφής	Ανάπτυγμα
Τετράεδρο	Τετράεδρο	4	6	4	{3, 3}	3.3.3	ανάπτυγμα τετραέδρου
Κύβος	Κύβος	8	12	6	{4, 3}	4.4.4	ανάπτυγμα κύβου
Οκτάεδρο	Οκτάεδρο	6	12	8	{3, 4}	3.3.3.3	ανάπτυγμα οκτάεδρου
Δωδεκάεδρο	Δωδεκάεδρο	20	30	12	{5, 3}	5.5.5	ανάπτυγμα δωδεκάεδρου
Εικοσάεδρο	Εικοσάεδρο	12	30	20	{3, 5}	3.3.3.3.3	ανάπτυγμα εικοσάεδρου

Μεγέθη

Σε κάθε Πλατωνικό στερεό όλες οι κορυφές του ισαπέχουν από το κέντρο του πολυέδρου, πράγμα που σημαίνει ότι υπάρχει σφαίρα με κέντρο το κέντρο του πολυέδρου και η οποία περνάει από όλες τις κορυφές του πολυέδρου (περιγεγραμμένη σφαίρα). Το ίδιο ισχύει και για τις έδρες, δηλαδή ισαπέχουν από το κέντρο του πολυέδρου, πράγμα που σημαίνει ότι υπάρχει σφαίρα με κέντρο το κέντρο του πολυέδρου και η οποία εφάπτεται όλων των εδρών, στα κέντρα τους (εγγεγραμμένη σφαίρα). Επίσης όλες οι ακμές ισαπέχουν από το κέντρο του πολυέδρου, πράγμα που σημαίνει ότι υπάρχει σφαίρα με κέντρο το κέντρο του πολυέδρου και η οποία εφάπτεται όλων των ακμών, στα μέσα τους.

Αν θεωρήσουμε $\alpha\,\!$ το μήκος της ακμής, ισχύουν τα παρακάτω:

Πολύεδρο	Ακτίνα σφαίρας που περνά από			Επιφάνεια	Όγκος
	κέντρα εδρών	κορυφές	μέσα ακμών
Τετράεδρο	$\frac{\sqrt{6}}{12}\alpha$	$\frac{\sqrt{6}}{4}\alpha$	$\frac{\sqrt{2}}{4}\alpha$	$\sqrt{3}\alpha^2$	$\frac{\sqrt{2}}{12}\alpha^3$
Κύβος	$\frac{1}{2}\alpha$	$\frac{\sqrt{3}}{2}\alpha$	$\frac{\sqrt{2}}{2}\alpha$	$6\alpha^2\,\!$	$\alpha^3\,\!$
Οκτάεδρο	$\frac{\sqrt{6}}{6}\alpha$	$\frac{\sqrt{2}}{2}\alpha$	$\frac{1}{2}\alpha$	$2\sqrt{3}\alpha^2$	$\frac{\sqrt{2}}{3}\alpha^3$
Δωδεκάεδρο	$\frac{1}{20}\sqrt{(10(25+11\sqrt{5})}\alpha$	$\frac{\sqrt{3}}{4}(1+\sqrt{5}) \alpha$	$\frac{1}{4}(3+\sqrt{5})\alpha$	$3\sqrt{25+10\sqrt{5}}\alpha^2$	$\frac{1}{4}(15+7\sqrt{5})\alpha^3$
Εικοσάεδρο	$\frac{\sqrt{3}}{12}(3+\sqrt{5})\alpha$	$\frac{1}{4}\sqrt{(10+2\sqrt{5})}\alpha$	$\frac{1}{4}(1+\sqrt{5})\alpha$	$5\sqrt{3}\alpha^2$	$\frac{5}{12}(3+\sqrt{5})\alpha^3$

Συζυγή πολύεδρα - Συμμετρίες

Αν σε ένα Πλατωνικό στερεό λάβουμε τα κέντρα των εδρών του ως κορυφές ενός άλλου πολυέδρου, το δεύτερο αυτό πολύεδρο είναι επίσης Πλατωνικό στερεό. Τα δύο αυτά πολύεδρα ονομάζονται συζυγή πολύεδρα (ή δυϊκά πολύεδρα). Επομένως, το πλήθος των εδρών του πρώτου ισούται με το πλήθος των κορυφών του δεύτερου και το αντίστροφο. Το πλήθος των ακμών τους παραμένει ίδιο. Εάν το σύμβολο Schläfli του ενός πολυέδρου είναι {ν, μ}, τότε το σύμβολο Schläfli του συζυγούς του θα είναι {μ, ν}. Έτσι, τα Πλατωνικά στερεά είναι συζυγή ανά ζεύγη: ο κύβος με το οκτάεδρο, το δωδεκάεδρο με το εικοσάεδρο και το τετράεδρο με τον εαυτό του.

Τα συζυγή πολύεδρα μοιράζονται την ίδια ομάδα συμμετρίας: το τετράεδρο ανήκει στην τετραεδρική ομάδα συμμετρίας (T), το οκτάεδρο και ο κύβος ανήκουν στην οκταεδρική ομάδα συμμετρίας (O), το εικοσάεδρο και το δωδεκάεδρο ανήκουν στην εικοσαεδρική ομάδα συμμετρίας (I).

Πολύεδρο	Σύμβολο Schläfli	Συζυγές πολύεδρο	Ομάδα συμμετρίας
τετράεδρο	{3, 3}	τετράεδρο	Td (T)
κύβος	{4, 3}	οκτάεδρο	Oh (O)
οκτάεδρο	{3, 4}	κύβος
δωδεκάεδρο	{5, 3}	εικοσάεδρο	Ih (I)
εικοσάεδρο	{3, 5}	δωδεκάεδρο

Συνοπτικός Πίνακας

Πλατωνικά Πολύεδρα Πολυεδρικές Δυικότητες
Πρωτεύον Πολύεδρο (Όνομα)	Χαρακτηριστικά Στοιχεία	Δυϊκό Πολύεδρο (Όνομα )	Χαρακτηριστικά Στοιχεία
1D Πλατωνικά Πολύεδρα
Ευθύγραμμο Τμήμα		Σημείο
2D Πλατωνικά Πολύεδρα
"Ορθό" Τρίγωνο		"Ανάστροφο" Τρίγωνο
Τετράγωνο		Ρόμβος
3D Πλατωνικά Πολύεδρα
"Ορθό" Τετράεδρο		"Ανάστροφο" Τετράεδρο
Οκτάεδρο		Εξάεδρο ( = Κύβος)
Εικοσάεδρο		Δωδεκάεδρο

Εσωτερική Αρθρογραφία

• Σχήμα
• Στερεό Σχήμα
• γωνία
• Πλατωνικό Πολύεδρο

Βιβλιογραφία

• Κέντρο Έρευνας Επιστήμης και Εκπαίδευσης, «Ευκλείδη Στοιχεία», τόμος 3, κεφ. 3 (Αθήνα 2001, ISBN 960-86879-2-6)
• ΟΕΔΒ, Ευκλείδεια Γεωμετρία Α' - Β' Γενικού Λυκείου, κεφ. 13 (συμπιεσμένο αρχείο)
• Weisstein, Eric W., Platonic solid

Ιστογραφία

• Ομώνυμο άρθρο στην Βικιπαίδεια
• Ομώνυμο άρθρο στην Livepedia
• imitris.apeiro.gr
• ομάδες και πλατωνικά

Κίνδυνοι Χρήσης

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη, την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει. "Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο, η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης" του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει." Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς, και για μακρά χρονική περίοδο, αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία, ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε. Επίσης, Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)" (όχι μόνον, της Sciencepedia αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)), αν και άκρως απαραίτητοι, είναι αδύνατον να ελεγχθούν (λόγω της ρευστής φύσης του Web), και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο. Ο αναγνώστης πρέπει να είναι εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

---

>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)

---