Πολυώνυμον

Polynomial


Πολυώνυμο Πολυώνυμα

Πολυώνυμο Πολυώνυμα

Πολυώνυμο Πολυώνυμα

Πολυώνυμο Πολυώνυμα

Άλγεβρα
Στοιχειώδης Άλγεβρα Αφηρημένη Άλγεβρα Γραμμική Άλγεβρα Μεταθετική Άλγεβρα Υπολογιστική Άλγεβρα Ομολογιακή Άλγεβρα Παγκόσμια Άλγεβρα Αλγεβρική Αριθμοθεωρία Αλγεβρική Γεωμετρία Αλγεβρική Συνδυαστική

Πολυώνυμο

Πολυώνυμο

Πολυώνυμο (Γράφημα)

- Μία Αλγεβρική Παράσταση.

Ετυμολογία[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η ονομασία "Πολυώνυμο" σχετίζεται ετυμολογικά με την λέξη "όνομα".

Εισαγωγή[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Μονώνυμο είναι το γινόμενο μιας σταθεράς με μια μεταβλητή υψωμένη σε οποιαδήποτε φυσική δύναμη. Η σταθερά ονομάζεται σταθερό μέρος ή συντελεστής, ενώ η υψωμένη μεταβλητή μεταβλητό μέρος. Ως μονώνυμο, επίσης, ορίζεται και οποιαδήποτε σταθερά.

Πολυώνυμο είναι αλγεβρική παράσταση σταθερών και μιας μεταβλητής που συνδέονται μεταξύ τους μόνο με τις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού, ενώ η μεταβλητή μπορεί να εμφανίζεται υψωμένη σε διάφορες φυσικές δυνάμεις.

Ουσιαστικά το πολυώνυμο είναι άθροισμα μονωνύμων της ίδιας μεταβλητής.

Κάθε δύναμη εμφανίζεται μία φορά στο πολυώνυμο, δηλαδή στην τελική μορφή του αθροίσματος δεν εμφανίζονται δύο μονώνυμα με την ίδια δύναμη της μεταβλητής. Οι συντελεστές των μονωνύμων θεωρούνται και ως συντελεστές του πολυωνύμου.

Συνήθως, το πολυώνυμο της μεταβλητής x συμβολίζεται με P(x). Οι συντελεστές συμβολίζονται με ένα γράμμα με δείκτη συνήθως τη δύναμη της μεταβλητής που συνοδεύει. Ο σταθερός όρος έχει συνήθως δείκτη μηδέν.

Έτσι, η γενική μορφή του πολυωνύμου είναι:

ή συνοπτικά:

Σταθερό πολυώνυμο θεωρείται μια οποιαδήποτε σταθερά, ενώ αν η σταθερά είναι μηδέν, τότε το πολυώνυμο λέγεται μηδενικό πολυώνυμο. Το μηδενικό πολυώνυμο συμβολίζεται με 0, το οποίο είναι πάντα έντονα γραμμένο για να διακρίνεται από τον αριθμό μηδέν.

Βαθμός του πολυωνύμου ονομάζεται η μέγιστη δύναμη της μεταβλητής με μη μηδενικό συντελεστή. Σε σταθερό πολυώνυμο ορίζεται ως βαθμός του πολυωνύμου το μηδέν, ενώ σε μηδενικό πολυώνυμο δεν ορίζεται βαθμός. Ο βαθμός του πολυωνύμου P(x) συμβολίζεται με degP(x).

Ορισμένες εξαιρέσεις στους παραπάνω ορισμούς οφείλονται στο γεγονός ότι το 00 δεν ορίζεται, αλλά οι ιδιότητες των πολυωνύμων θέλουμε να ισχύουν για όλους τους πραγματικούς αριθμούς, ακόμα και για το μηδέν. Προσέξτε ότι στη γενική μορφή του πολυωνύμου ο τελευταίος όρος δεν είναι α0x0, αλλά α0.

Πράξεις με πολυώνυμα[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Στα πολυώνυμα (με κοινή μεταβλητή) διακρίνουμε τις πράξεις πρόσθεση και πολλαπλασιασμός, των οποίων το αποτέλεσμα είναι επίσης πολυώνυμο. Η αφαίρεση μπορεί να οριστεί μέσω της πρόσθεσης. Η διαίρεση πολυωνύμων είναι και αυτή σημαντική, αλλά είναι ευκλείδια, ώστε το αποτέλεσμα να είναι πάλι πολυώνυμα.

Πρόσθεση[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ο κάθε συντελεστής του νέου πολυωνύμου είναι το άθροισμα των συντελεστών των αντίστοιχων δυνάμεων της μεταβλητής. Αν η αντίστοιχη δύναμη σε ένα πολυώνυμο δεν υπάρχει ο συντελεστής μπορεί να θεωρηθεί ως μηδέν.

Παράδειγμα:

then

which can be simplified to

  • Αν ένας συντελεστής του αποτελέσματος είναι μηδέν τότε η αντίστοιχη δύναμη δεν αναγράφεται στο άθροισμα. Έτσι, ο βαθμός του πολυωνύμου αποτελέσματος είναι ίσος με το βαθμό του πολυωνύμου με το μεγαλύτερο βαθμό.
  • Αν οι βαθμοί είναι ίσοι τότε ο βαθμός του αποτελέσματος μπορεί να είναι ίσος ή μικρότερος ή να μην ορίζεται.

Η αφαίρεση μπορεί να γίνει με την πρόσθεση του πολυωνύμου με αντίθετους συντελεστές.

Πολλαπλασιασμός[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Οι πράξεις για την εύρεση του αποτελέσματος εκτελούνται σύμφωνα με την επιμεριστική ιδιότητα, ενώ οι νέες δυνάμεις βρίσκονται με βάση τον ορισμό της δύναμης.

Ο βαθμός του πολυωνύμου αποτελέσματος είναι σίγουρα ίσος με το άθροισμα των βαθμών των πολυωνύμων.

Αν ένας βαθμός από τους δύο δεν ορίζεται, τότε δεν ορίζεται ούτε ο βαθμός του αποτελέσματος, γιατί είναι το μηδενικό πολυώνυμο.

Παράδειγμα:

then

which can be simplified to

Διαίρεση[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Στη διαίρεση των πολυωνύμων Q(x) διά P(x) το πρόβλημα είναι να βρεθούν δύο άλλων πολυωνύμων q(x) και υ(x), ώστε Q(x)=P(x)q(x)+υ(x), με degυ(x)<degP(x). Αποδεικνύεται ότι τα δύο αυτά πολυώνυμα είναι μοναδικά σε κάθε διαίρεση. Το πολυώνυμο q(x) ονομάζεται πηλίκο, ενώ το πολυώνυμο υ(x) ονομάζεται υπόλοιπο. Αν υ(x)=0, τότε το πολυώνυμο P(x) ονομάζεται παράγοντας του Q(x) και η διαίρεση τέλεια. Ισχύει ότι degq(x)=degQ(x)-degP(x), αν ορίζονται βαθμοί στα δύο αρχικά πολυώνυμα.

Ταύτιση δύο πολυωνύμων[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Δύο πολυώνυμα είναι ίσα μεταξύ τους αν και μόνο αν είναι του ίδιου βαθμού και κάθε συντελεστής του ενός πολυωνύμου που αντιστοιχεί στη δύναμη α ισούται με το συντελεστή του άλλου πολυωνύμου που αντιστοιχεί επίσης στη δύναμη α. Συμβολικά ισχύει:

Πολυωνυμική συνάρτηση[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Μια συνάρτηση ονομάζεται πολυώνυμο ή πολυωνυμική συνάρτηση, αν υπάρχει πεπερασμένη ακολουθία τέτοια ώστε να ισχύει:

,

Η ταυτότητα ονομάζεται αναπαράσταση του πολυωνύμου p και τα συντελεστές του πολυωνύμου. Η αναπαράσταση ενός πολυωνύμου είναι μοναδική.

Ανάπτυγμα σειράς Taylor[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Έστω μία πραγματική συνάρτηση f πραγματικής μεταβλητής ορισμένη στους πραγματικούς αριθμούς η οποία είναι παραγωγίσιμη και κάθε παράγωγός της είναι παραγωγίσιμη. Αποδεικνύεται ότι για κάθε σημείο x0 του πεδίου ορισμού της ισχύει [1]:

Όπου fν(x0) η νιοστή παράγωγος της f στο x0.

Δηλαδή κάθε τέτοια συνάρτηση είναι πολυώνυμο άπειρων όρων. Επειδή ορίζονται δυνάμεις με μιγαδικές βάσεις το ανάπτυγμα της σειράς Taylor μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επέκταση των συναρτήσεων στους μιγαδικούς αριθμούς. Με βάση τη σειρά Taylor μπορούμε να υπολογίσουμε προσεγγίσεις της συνάρτησης, ειδικά αν η τελευταία είναι περίπλοκη. Συνήθως στους υπολογιστές ή τη μηχανική και τη φυσική, ανάλογα με την επιθυμητή ακρίβεια, αποφασίζουμε τους μ πρώτους όρους της σειράς, ώστε να μπορούμε να υπολογίζουμε με πιο εύχρηστο τύπο προσεγγίσεις μιας συνάρτησης. Αν λαμβάνουμε υπόψιν μόνο τους δύο πρώτους όρους, τότε η διαδικασία ονομάζεται γραμμικοποίηση.

Η ακρίβεια της προσέγγισης της σειράς εξαρτάται από την επιλογή του σημείου x0 και των μ πρώτων όρων που θα επιλέξουμε. Όσο πιο κοντά στο x0 και με όσους περισσότερους όρους υπολογίζουμε την προσέγγιση, τόσο καλύτερη είναι.

Προφανώς, η ανάπτυξη της σειράς Taylor, αν η f είναι πολυωνυμική, είναι η ίδια η f.

Κατάλογος επωνύμων πολυωνύμων[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]






Υποσημειώσεις[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Εσωτερική Αρθρογραφία[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Βιβλιογραφία[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Αλέξανδρος Π. Τραγανίτης, Μαθηματικά Γ΄ Γυμνασίου, Α΄ Τεύχος, εκδ. Σαβάλλας
  • Άλγεβρα Β΄ Γενικού Λυκείου, εκδόσεις ΟΕΔΒ 2007, ISBN 960-06-0357-X

Ιστογραφία[επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]


Ikl.jpg Κίνδυνοι ΧρήσηςIkl.jpg

Αν και θα βρείτε εξακριβωμένες πληροφορίες
σε αυτήν την εγκυκλοπαίδεια
ωστόσο, παρακαλούμε να λάβετε σοβαρά υπ' όψη ότι
η "Sciencepedia" δεν μπορεί να εγγυηθεί, από καμιά άποψη,
την εγκυρότητα των πληροφοριών που περιλαμβάνει.

"Οι πληροφορίες αυτές μπορεί πρόσφατα
να έχουν αλλοιωθεί, βανδαλισθεί ή μεταβληθεί από κάποιο άτομο,
η άποψη του οποίου δεν συνάδει με το "επίπεδο γνώσης"
του ιδιαίτερου γνωστικού τομέα που σας ενδιαφέρει."

Πρέπει να λάβετε υπ' όψη ότι
όλα τα άρθρα μπορεί να είναι ακριβή, γενικώς,
και για μακρά χρονική περίοδο,
αλλά να υποστούν κάποιο βανδαλισμό ή ακατάλληλη επεξεργασία,
ελάχιστο χρονικό διάστημα, πριν τα δείτε.



Επίσης,
Οι διάφοροι "Εξωτερικοί Σύνδεσμοι (Links)"
(όχι μόνον, της Sciencepedia
αλλά και κάθε διαδικτυακού ιστότοπου (ή αλλιώς site)),
αν και άκρως απαραίτητοι,
είναι αδύνατον να ελεγχθούν
(λόγω της ρευστής φύσης του Web),
και επομένως είναι ενδεχόμενο να οδηγήσουν
σε παραπλανητικό, κακόβουλο ή άσεμνο περιεχόμενο.
Ο αναγνώστης πρέπει να είναι
εξαιρετικά προσεκτικός όταν τους χρησιμοποιεί.

- Μην κάνετε χρήση του περιεχομένου της παρούσας εγκυκλοπαίδειας
αν διαφωνείτε με όσα αναγράφονται σε αυτήν

IonnKorr-System-00-goog.png



>>Διαμαρτυρία προς την wikia<<

- Όχι, στις διαφημίσεις που περιέχουν απαράδεκτο περιεχόμενο (άσεμνες εικόνες, ροζ αγγελίες κλπ.)


Community content is available under CC-BY-SA unless otherwise noted.